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2020-2021学年安徽省铜陵高二（下）5月月考数学试卷人教A版
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这是一份2020-2021学年安徽省铜陵高二（下）5月月考数学试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 命题“若a>b，则a−1>b−1”的否命题是( )
A.若a>b，则a−1≤b−1B.若a>b，则a−1C.若a≤b，则a−1≤b−1D.若a
2. 下列命题的说法错误的是( )
A.若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
B.“x=1”是“x2−3x+2=0”的充分不必要条件
C.对于命题p:∀x∈R，x2+x+1>0，则¬p:∃x∈R，x2+x+1≤0
D.命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2−3x+2≠0”
3. 已知i为虚数单位，复数z满足z⋅1−i=i，则复数z在复平面内对应的点在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
4. 已知z(1−2i)=i，则下列说法正确的是( )
A.复数z的虚部为i5
B.复数z对应的点在复平面的第二象限
C.复数z的共轭复数z=25−i5
D.|z|=15
5. 实数系的结构图如图所示，其中1、2、3三个方格中的内容分别为( )
A.有理数、零、整数B.有理数、整数、零
C.零、有理数、整数D.整数、有理数、零
6. 如图所示，程序框图的输出结果是( )
A.16B.34C.1112D.2524
7. 如图给出的是计算12+14+16+18+…+1100的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )
A.i<50B.i>50C.i<25D.i>25
8. 已知变量x,y之间具有线性相关关系，其回归方程为y=−3+bx．若i=110xi=20，i=110yi=30，则b的值为( )
A.1B.3C.−3D.−1
9. 给出下列结论：
①在回归分析中，可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好；
②某工厂加工的某种钢管，内径与规定的内径尺寸之差是离散型随机变量；
③随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离均值的平均程度，它们越小，则随机变量偏离均值的平均程度越小；
④甲、乙两人向同一目标同时射击一次，事件A：“甲、乙中至少一人击中目标”与事件B：“甲、乙都没有击中目标”是相互独立事件．
其中结论正确的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
10. 甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章．当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”．假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是（ ）
A.甲B.乙C.丙D.丁
11. 《聊斋志异》中有:“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．”在数学中，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223=223，338=338，4415=4415，则按照以上规律，若mmn=mmn具有“穿墙术”，则m，n满足的关系式为( )
A.n=2m−1B.n=2(m−1)C.n=(m−1)2D.n=m2−1
12. 已知三角形的三边分别为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积为s=12(a+b+c)r；四面体的四个面的面积分别为s1，s2，s3，s4，内切球的半径为R．类比三角形的面积可得四面体的体积为( )
A.V=12(s1+s2+s3+s4)RB.V=13(s1+s2+s3+s4)R
C.V=14(s1+s2+s3+s4)RD.V=(s1+s2+s3+s4)R
二、填空题
已知直线y=2x+1与曲线y=x3+ax+b相切于点1,3，则实数b的值为________.
三、解答题
已知a>0，设命题p：函数y=ax在R上单调递增；命题q：不等式ax2−ax+1>0对∀x∈R恒成立；若p且q为假，p或q为真，求实数a的取值范围．
甲乙两个班级均为40人，进行一门考试后，按学生考试成绩及格与不及格进行统计，甲班及格人数为36人，乙班及格人数为24人．
(1)根据以上数据建立一个2×2的列联表；
(2)试判断能否有99.5%的把握认为“考试成绩与班级有关”？
参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d.
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率e=33，焦距为2，直线l与椭圆C交于A，B两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l过椭圆的右焦点F，且|AF|=2|FB|，求直线l方程.
已知函数f(x)=ex+ax．
(1)设曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线x+(e−1)y=1垂直，求a的值；
(2)若对任意实数x>0，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围．
已知双曲线C的中心在原点，抛物线y2=25x的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线经过点(1,3)，又知直线l:y=kx+1与双曲线C相交于A，B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若OA→⊥OB→，求实数k值．
设函数f(x)=lnx−px+1.
(1)求函数f(x)的极值点；
(2)当p>0时，若对任意的x>0，恒有f(x)≤0，求p的取值范围；
(3)证明：ln2222+ln3232+ln4242+...+lnn2n2<2n2−n−12(n+1)(n∈N, n≥2).
参考答案与试题解析
2020-2021学年安徽省铜陵市高二（下）5月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
四种命题的定义
【解析】
本题考查的知识点是四种命题，根据若原命题为：若p，则q．否命题为：若¬p，则¬q．我们易得答案．
【解答】
解：根据否命题的定义：
若原命题为：若p，则q．否命题为：若¬p，则¬q．
∵ 原命题为“若a>b，则a−1>b−1”,
∴ 否命题为：若a≤b，则a−1≤b−1.
故选C.
2.
【答案】
A
【考点】
且命题
必要条件、充分条件与充要条件的判断
命题的否定
四种命题的定义
【解析】
A．复合命题p∧q为假命题，则p，q至少有一个命题为假命题，即可判断出正误；
B．由x2−3x+2＝0，解得x＝1，2，可得：“x＝1”⇒“x2−3x+2＝0”，反之不成立，可判断出正误；
C．利用命题的否定定义，即可判断出正误；
D．利用逆否命题的定义即可判断出正误．
【解答】
解：A．p∧q为假命题，则p，q至少有一个命题为假命题，不正确；
B．由x2−3x+2=0，解得x=1或x=2，因此“x=1”是“x2−3x+2=0”的充分不必要条件，正确；
C．对于命题p:∀x∈R，x2+x+1>0，则¬p:∃x∈R，x2+x+1≤0，正确；
D．命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2−3x+2≠0”，正确．
故选A.
3.
【答案】
B
【考点】
复数代数形式的混合运算
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ z⋅1−i=i，
∴ z=i1−i=i(1+i)2=−12+12i，
∴ 复数z在复平面内对应的点在第二象限.
故选B.
4.
【答案】
B
【考点】
复数的基本概念
共轭复数
复数的模
复数代数形式的乘除运算
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个命题得答案．
【解答】
解：由z(1−2i)=i，得z=i1−2i=i(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−25+i5，
∴ 复数z的虚部为15，故A错误；
复数z对应的点的坐标为(−25,15)，在复平面的第二象限；
复数z的共轭复数z=−25−i5，故C错误；
|z|=(−25)2+(15)2=55，故D错误．
故选B.
5.
【答案】
B
【考点】
结构图应用
【解析】
【解答】
解：根据中学阶段数系的分类可得：有理数和无理数统称实数，分数和整数统称有理数，负整数、零、正整数统称整数，可得1，2，3三个方格中的内容分别为有理数、整数、零.
故选B．
6.
【答案】
C
【考点】
程序框图
【解析】
根据程序流程图模拟进行即可.
【解答】
解：S=0，n=2，
第一次循环：S=0+12=12，n=2+2=4，
第二次循环： S=12+14=34，n=4+2=6，
第三次循环： S=34+16=1112，n=6+2=8，循环结束，
输出S=1112.
故选C．
7.
【答案】
B
【考点】
程序框图
【解析】
分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S的值．
【解答】
解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：
第一圈：S=0+12，n=2+2=4，i=1+1=2；
第二圈：S=12+14，n=4+2=6，i=2+1=3；
第三圈：S=12+14+16，n=6+2=8，i=3+1=4；
…
依此类推，第50圈：S=12+14+16+18+…+1100，n=102，i=51，退出循环
故判断框内应填入的条件是：i>50.
故选B．
8.
【答案】
B
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由i=110xi=20，i=110yi=30可知x=2，y=3，
将点(2,3)代入回归方程，可得b=3.
故选B.
9.
【答案】
B
【考点】
回归分析
离散型随机变量及其分布列
极差、方差与标准差
相互独立事件
【解析】
①在回归分析中，可根据R2越大，模型的拟合效果越好，即可判断；
②可根据离散型随机变量的概念，来判断；
③根据样本的标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，样本的方差是标准差的平方，即可判断；
④由相互独立事件是一个事件对另一个事件发生的概率没有影响，即可判断A，B的关系．
【解答】
解：①用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好，故①正确；
②某工产加工的某种钢管，内径与规定的内径尺寸之差不确定，不可能一一列举出来，不是离散型随机变量，故②错误；
③样本的标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，样本的方差是标准差的平方，反映了样本数据的分散程度的大小，它们越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，故③正确；
④事件A：“甲、乙中至少一人击中目标”与事件B：“甲，乙都没有击中目标”是对立事件，但A与B不是相互独立事件，因为A对B发生的概率有影响，故④错误．
综上所述，其中结论正确的是①③，有两个.
故选B.
10.
【答案】
B
【考点】
进行简单的合情推理
【解析】
先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．
【解答】
解：①当读了该篇文章的学生是甲，则四位同学都错了，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是甲，
②当读了该篇文章的学生是乙，则丙，丁说的是对的，与题设相符，故读了该篇文章的学生是乙，
③当读了该篇文章的学生是丙，则甲，乙，丙说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丙，
④当读了该篇文章的学生是丁，则甲说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丁，
综合①②③④得：
读了该篇文章的学生是乙.
故选B.
11.
【答案】
D
【考点】
归纳推理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由223=223，338=338，4415=4415，
归纳猜想出一般规律为mmm2−1=m+mm2−1（m∈N∗，m≥2）．
下面证明：m+mm2−1=mm2−1+mm2−1
=m3m2−1=mmm2−1，故猜想正确．
所以n=m2−1．
故选D.
12.
【答案】
B
【考点】
类比推理
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
根据三角形的边应与四面体中的各个面进行类比，而面积与体积进行类比，进行猜想．
【解答】
解：根据几何体和平面图形的类比关系，
三角形的边应与四面体中的各个面进行类比，而面积与体积进行类比,
∴ △ABC的面积为s=12(a+b+c)r，
∴ 对应于四面体的体积为V=13(s1+s2+s3+s4)R.
故选B.
二、填空题
【答案】
3
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由曲线y=x3+ax+b可知，y′=3x2+a.
因为直线y=2x+1与曲线y=x3+ax+b相切于点1,3，
所以1+a+b=3,3+a=2,
解得a=−1,b=3.
故答案为：3.
三、解答题
【答案】
解：若p真，则a>1；
若q真，则Δ=a2−4a<0，解得0∵ p且q为假，p或q为真，
∴ 命题p，q一真一假；
∴ 当p真q假时，a>1a≥4，
∴ a≥4；
当p假q真时，0∴ 0综上，a的取值范围是(0, 1]∪[4, +∞)．
【考点】
逻辑联结词“或”“且”“非”
【解析】
通过指数函数的单调性，一元二次不等式的解为R时判别式△的取值求出命题p，q下a的取值范围，而根据p且q为假，p或q为真知道p真q假，或p假q真，分别求出这两种情况下a的取值范围再求并集即可．
【解答】
解：若p真，则a>1；
若q真，则Δ=a2−4a<0，解得0∵ p且q为假，p或q为真，
∴ 命题p，q一真一假；
∴ 当p真q假时，a>1a≥4，
∴ a≥4；
当p假q真时，0∴ 0综上，a的取值范围是(0, 1]∪[4, +∞)．
【答案】
解：(1)由题意，列2×2列联表如下：
(2)由表可知，K2=80×(4×24−16×36)240×40×20×60=9.6，
由P(K2≥7.879)=0.005，
所以有99.5%的把握认为“成绩与班级有关系”．
【考点】
独立性检验
【解析】
（1）由题意知按学生考试成绩及格与不及格进行统计，甲班及格人数为36人，乙班及格人数为24，从而做出甲班不及格的人数是40−36和乙班不及格的人数是40−24，列出表格，填入数据．
（2）根据所给的数据，代入求观测值的公式，求出观测值，把观测值与临界值比较，得到有1−0.005=99.5%的把握认为“成绩与班级有关系”．
【解答】
解：(1)由题意，列2×2列联表如下：
(2)由表可知，K2=80×(4×24−16×36)240×40×20×60=9.6，
由P(K2≥7.879)=0.005，
所以有99.5%的把握认为“成绩与班级有关系”．
【答案】
解：1设椭圆的焦距为2c，则由2c=2⇒c=1，
所以ca=13⇒a=3⇒b=2，
所以椭圆C:x23+y22=1.
(2)设直线l:x=ty+1，
联立x=ty+1,x23+y22=1，⇒2t2+3y2+4ty−4=0.
设Ax1,y1,Bx2,y2，
则y1+y2=−4t2t2+3,y1y2=−42t2+3，
又y1y2=−2⇒y1y2+y2y1=−52
⇒y1+y22y1y2=−12⇒t2=12⇒t=±12，
故直线l:2x±y−2=0.
【考点】
椭圆的标准方程
圆锥曲线的综合问题
【解析】
1已知焦距和离心率，可求方程.
2方程联立求解，根据韦达定理算出斜率.
【解答】
解：1设椭圆的焦距为2c，则由2c=2⇒c=1，
所以ca=13⇒a=3⇒b=2，
所以椭圆C:x23+y22=1.
(2)设直线l:x=ty+1，
联立x=ty+1,x23+y22=1，⇒2t2+3y2+4ty−4=0.
设Ax1,y1,Bx2,y2，
则y1+y2=−4t2t2+3,y1y2=−42t2+3，
又y1y2=−2⇒y1y2+y2y1=−52
⇒y1+y22y1y2=−12⇒t2=12⇒t=±12，
故直线l:2x±y−2=0.
【答案】
解：(1)f′(x)=ex+a，因此y=f(x)在(1, f(1))处的切线l的斜率为e+a，
又直线x+(e−1)y=1的斜率为11−e，
∴ (e+a)×11−e=−1，
∴ a=−1．
(2)∵ 当x>0时，f(x)=ex+ax>0恒成立，则a>−exx恒成立.
设ℎ(x)=−exx，则ℎ′(x)=(1−x)exx2，
当x∈(0, 1)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0, 1)上单调递增；
当x∈(1, +∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(1, +∞)上单调递减，
故当x=1时，ℎ(x)取得极大值，ℎ(x)max=ℎ(1)=−e，
∴ 实数a的取值范围为(−e, +∞)．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
（1）求导数，利用导数的几何意义，即可求a的值；
（2）当x>0时，由f(x)>0恒成立，分离参数a，然后构造辅助函数ℎ(x)=−exx，由导数求其最大值，则a的范围可求．
【解答】
解：(1)f′(x)=ex+a，因此y=f(x)在(1, f(1))处的切线l的斜率为e+a，
又直线x+(e−1)y=1的斜率为11−e，
∴ (e+a)×11−e=−1，
∴ a=−1．
(2)∵ 当x>0时，f(x)=ex+ax>0恒成立，则a>−exx恒成立.
设ℎ(x)=−exx，则ℎ′(x)=(1−x)exx2，
当x∈(0, 1)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0, 1)上单调递增；
当x∈(1, +∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(1, +∞)上单调递减，
故当x=1时，ℎ(x)取得极大值，ℎ(x)max=ℎ(1)=−e，
∴ 实数a的取值范围为(−e, +∞)．
【答案】
解：(1)抛物线的焦点是(52,0)，则双曲线的c=52．
设双曲线方程：x2a2−y2b2=1，则1a2−3b2=1，
解得：a2=14，b2=1⇒双曲线的方程为：4x2−y2=1.
(2)联立方程：y=kx+1,4x2−y2=1⇒(4−k2)x2−2kx−2=0,
当Δ>0时，得−22由韦达定理：x1+x2=2k4−k2，x1x2=−24−k2，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由OA→⊥OB→，x1x2+y1y2=0，即(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=0，
代入可得：k2=2，k=±2.
【考点】
双曲线的标准方程
圆锥曲线的综合问题
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
（1）先求抛物线的焦点为F(52,0)，从而设双曲线方程，再将点(1,3)代入，可求双曲线C的方程；
（2）将直线方程与双曲线方程联立，将向量垂直条件转化为数量积为0，从而可得方程，进而可解．
【解答】
解：(1)抛物线的焦点是(52,0)，则双曲线的c=52．
设双曲线方程：x2a2−y2b2=1，则1a2−3b2=1，
解得：a2=14，b2=1⇒双曲线的方程为：4x2−y2=1.
(2)联立方程：y=kx+1,4x2−y2=1⇒(4−k2)x2−2kx−2=0,
当Δ>0时，得−22由韦达定理：x1+x2=2k4−k2，x1x2=−24−k2，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由OA→⊥OB→，x1x2+y1y2=0，即(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=0，
代入可得：k2=2，k=±2.
【答案】
(1)解：∵ f(x)=lnx−px+1，
∴ f(x)的定义域为(0, +∞)，f′(x)=1x−p=1−pxx.
当p≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0, +∞)上无极值点.
当p>0时，令f′(x)=0，∴ x=1p∈(0, +∞).
f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
从上表可以看出：当p>0时，f(x)有唯一的极大值点x=1p.
(2)解：当p>0时，在x=1p处取得极大值f(1p)=ln1p，此极大值也是最大值，
要使f(x)≤0恒成立，只需f(1p)=ln1p≤0，
∴ p≥1，
∴ p的取值范围为[1, +∞).
(3)证明：令p=1，由(2)知，lnx−x+1≤0，
∴ lnx≤x−1.
∵ n∈N，n≥2，
∴ lnn2≤n2−1，
∴ lnn2n2≤n2−1n2=1−1n2，
∴ ln2222+ln3232+...+lnn2n2
≤(1−122)+(1−132)+...+(1−1n2)
=(n−1)−(122+132+142+...+1n2)
<(n−1)−(12×3+13×4+...+1n(n+1))
=(n−1)−(12−13+13−14+...+1n−1n+1)
=(n−1)−(12−1n+1)
=2n2−n−12(n+1).
【考点】
利用导数研究函数的极值
函数恒成立问题
不等式的证明
【解析】
（1）对f(x)进行求导，令f′(x)=0，解方程，求出f(x)的极值点；
（2）由（1）利用导数研究函数的单调区间，求出f(x)的极大值，再求出f(x)的最大值小于0，即可求出p的范围；
（3）可以令p=1，得出不等式lnx≤x−1，将x换为n2，利用不等式lnn2≤n2−1，进行放缩证明；
【解答】
(1)解：∵ f(x)=lnx−px+1，
∴ f(x)的定义域为(0, +∞)，f′(x)=1x−p=1−pxx.
当p≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0, +∞)上无极值点.
当p>0时，令f′(x)=0，∴ x=1p∈(0, +∞).
f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
从上表可以看出：当p>0时，f(x)有唯一的极大值点x=1p.
(2)解：当p>0时，在x=1p处取得极大值f(1p)=ln1p，此极大值也是最大值，
要使f(x)≤0恒成立，只需f(1p)=ln1p≤0，
∴ p≥1，
∴ p的取值范围为[1, +∞).
(3)证明：令p=1，由(2)知，lnx−x+1≤0，
∴ lnx≤x−1.
∵ n∈N，n≥2，
∴ lnn2≤n2−1，
∴ lnn2n2≤n2−1n2=1−1n2，
∴ ln2222+ln3232+...+lnn2n2
≤(1−122)+(1−132)+...+(1−1n2)
=(n−1)−(122+132+142+...+1n2)
<(n−1)−(12×3+13×4+...+1n(n+1))
=(n−1)−(12−13+13−14+...+1n−1n+1)
=(n−1)−(12−1n+1)
=2n2−n−12(n+1).P(K2>k)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
不及格
及格
总计
甲班
4
36
40
乙班
16
24
40
总计
20
60
80
不及格
及格
总计
甲班
4
36
40
乙班
16
24
40
总计
20
60
80
x
(0, 1p)
1p
(1p, +∞)
f′(x)
+
0
-
f(x)
递增
极大值
递减
x
(0, 1p)
1p
(1p, +∞)
f′(x)
+
0
-
f(x)
递增
极大值
递减
1. 命题“若a>b，则a−1>b−1”的否命题是( )
A.若a>b，则a−1≤b−1B.若a>b，则a−1
2. 下列命题的说法错误的是( )
A.若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
B.“x=1”是“x2−3x+2=0”的充分不必要条件
C.对于命题p:∀x∈R，x2+x+1>0，则¬p:∃x∈R，x2+x+1≤0
D.命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2−3x+2≠0”
3. 已知i为虚数单位，复数z满足z⋅1−i=i，则复数z在复平面内对应的点在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
4. 已知z(1−2i)=i，则下列说法正确的是( )
A.复数z的虚部为i5
B.复数z对应的点在复平面的第二象限
C.复数z的共轭复数z=25−i5
D.|z|=15
5. 实数系的结构图如图所示，其中1、2、3三个方格中的内容分别为( )
A.有理数、零、整数B.有理数、整数、零
C.零、有理数、整数D.整数、有理数、零
6. 如图所示，程序框图的输出结果是( )
A.16B.34C.1112D.2524
7. 如图给出的是计算12+14+16+18+…+1100的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )
A.i<50B.i>50C.i<25D.i>25
8. 已知变量x,y之间具有线性相关关系，其回归方程为y=−3+bx．若i=110xi=20，i=110yi=30，则b的值为( )
A.1B.3C.−3D.−1
9. 给出下列结论：
①在回归分析中，可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好；
②某工厂加工的某种钢管，内径与规定的内径尺寸之差是离散型随机变量；
③随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离均值的平均程度，它们越小，则随机变量偏离均值的平均程度越小；
④甲、乙两人向同一目标同时射击一次，事件A：“甲、乙中至少一人击中目标”与事件B：“甲、乙都没有击中目标”是相互独立事件．
其中结论正确的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
10. 甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章．当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”．假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是（ ）
A.甲B.乙C.丙D.丁
11. 《聊斋志异》中有:“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．”在数学中，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223=223，338=338，4415=4415，则按照以上规律，若mmn=mmn具有“穿墙术”，则m，n满足的关系式为( )
A.n=2m−1B.n=2(m−1)C.n=(m−1)2D.n=m2−1
12. 已知三角形的三边分别为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积为s=12(a+b+c)r；四面体的四个面的面积分别为s1，s2，s3，s4，内切球的半径为R．类比三角形的面积可得四面体的体积为( )
A.V=12(s1+s2+s3+s4)RB.V=13(s1+s2+s3+s4)R
C.V=14(s1+s2+s3+s4)RD.V=(s1+s2+s3+s4)R
二、填空题
已知直线y=2x+1与曲线y=x3+ax+b相切于点1,3，则实数b的值为________.
三、解答题
已知a>0，设命题p：函数y=ax在R上单调递增；命题q：不等式ax2−ax+1>0对∀x∈R恒成立；若p且q为假，p或q为真，求实数a的取值范围．
甲乙两个班级均为40人，进行一门考试后，按学生考试成绩及格与不及格进行统计，甲班及格人数为36人，乙班及格人数为24人．
(1)根据以上数据建立一个2×2的列联表；
(2)试判断能否有99.5%的把握认为“考试成绩与班级有关”？
参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d.
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率e=33，焦距为2，直线l与椭圆C交于A，B两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l过椭圆的右焦点F，且|AF|=2|FB|，求直线l方程.
已知函数f(x)=ex+ax．
(1)设曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线x+(e−1)y=1垂直，求a的值；
(2)若对任意实数x>0，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围．
已知双曲线C的中心在原点，抛物线y2=25x的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线经过点(1,3)，又知直线l:y=kx+1与双曲线C相交于A，B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若OA→⊥OB→，求实数k值．
设函数f(x)=lnx−px+1.
(1)求函数f(x)的极值点；
(2)当p>0时，若对任意的x>0，恒有f(x)≤0，求p的取值范围；
(3)证明：ln2222+ln3232+ln4242+...+lnn2n2<2n2−n−12(n+1)(n∈N, n≥2).
参考答案与试题解析
2020-2021学年安徽省铜陵市高二（下）5月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
四种命题的定义
【解析】
本题考查的知识点是四种命题，根据若原命题为：若p，则q．否命题为：若¬p，则¬q．我们易得答案．
【解答】
解：根据否命题的定义：
若原命题为：若p，则q．否命题为：若¬p，则¬q．
∵ 原命题为“若a>b，则a−1>b−1”,
∴ 否命题为：若a≤b，则a−1≤b−1.
故选C.
2.
【答案】
A
【考点】
且命题
必要条件、充分条件与充要条件的判断
命题的否定
四种命题的定义
【解析】
A．复合命题p∧q为假命题，则p，q至少有一个命题为假命题，即可判断出正误；
B．由x2−3x+2＝0，解得x＝1，2，可得：“x＝1”⇒“x2−3x+2＝0”，反之不成立，可判断出正误；
C．利用命题的否定定义，即可判断出正误；
D．利用逆否命题的定义即可判断出正误．
【解答】
解：A．p∧q为假命题，则p，q至少有一个命题为假命题，不正确；
B．由x2−3x+2=0，解得x=1或x=2，因此“x=1”是“x2−3x+2=0”的充分不必要条件，正确；
C．对于命题p:∀x∈R，x2+x+1>0，则¬p:∃x∈R，x2+x+1≤0，正确；
D．命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2−3x+2≠0”，正确．
故选A.
3.
【答案】
B
【考点】
复数代数形式的混合运算
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ z⋅1−i=i，
∴ z=i1−i=i(1+i)2=−12+12i，
∴ 复数z在复平面内对应的点在第二象限.
故选B.
4.
【答案】
B
【考点】
复数的基本概念
共轭复数
复数的模
复数代数形式的乘除运算
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个命题得答案．
【解答】
解：由z(1−2i)=i，得z=i1−2i=i(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−25+i5，
∴ 复数z的虚部为15，故A错误；
复数z对应的点的坐标为(−25,15)，在复平面的第二象限；
复数z的共轭复数z=−25−i5，故C错误；
|z|=(−25)2+(15)2=55，故D错误．
故选B.
5.
【答案】
B
【考点】
结构图应用
【解析】
【解答】
解：根据中学阶段数系的分类可得：有理数和无理数统称实数，分数和整数统称有理数，负整数、零、正整数统称整数，可得1，2，3三个方格中的内容分别为有理数、整数、零.
故选B．
6.
【答案】
C
【考点】
程序框图
【解析】
根据程序流程图模拟进行即可.
【解答】
解：S=0，n=2，
第一次循环：S=0+12=12，n=2+2=4，
第二次循环： S=12+14=34，n=4+2=6，
第三次循环： S=34+16=1112，n=6+2=8，循环结束，
输出S=1112.
故选C．
7.
【答案】
B
【考点】
程序框图
【解析】
分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S的值．
【解答】
解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：
第一圈：S=0+12，n=2+2=4，i=1+1=2；
第二圈：S=12+14，n=4+2=6，i=2+1=3；
第三圈：S=12+14+16，n=6+2=8，i=3+1=4；
…
依此类推，第50圈：S=12+14+16+18+…+1100，n=102，i=51，退出循环
故判断框内应填入的条件是：i>50.
故选B．
8.
【答案】
B
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由i=110xi=20，i=110yi=30可知x=2，y=3，
将点(2,3)代入回归方程，可得b=3.
故选B.
9.
【答案】
B
【考点】
回归分析
离散型随机变量及其分布列
极差、方差与标准差
相互独立事件
【解析】
①在回归分析中，可根据R2越大，模型的拟合效果越好，即可判断；
②可根据离散型随机变量的概念，来判断；
③根据样本的标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，样本的方差是标准差的平方，即可判断；
④由相互独立事件是一个事件对另一个事件发生的概率没有影响，即可判断A，B的关系．
【解答】
解：①用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好，故①正确；
②某工产加工的某种钢管，内径与规定的内径尺寸之差不确定，不可能一一列举出来，不是离散型随机变量，故②错误；
③样本的标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，样本的方差是标准差的平方，反映了样本数据的分散程度的大小，它们越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，故③正确；
④事件A：“甲、乙中至少一人击中目标”与事件B：“甲，乙都没有击中目标”是对立事件，但A与B不是相互独立事件，因为A对B发生的概率有影响，故④错误．
综上所述，其中结论正确的是①③，有两个.
故选B.
10.
【答案】
B
【考点】
进行简单的合情推理
【解析】
先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．
【解答】
解：①当读了该篇文章的学生是甲，则四位同学都错了，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是甲，
②当读了该篇文章的学生是乙，则丙，丁说的是对的，与题设相符，故读了该篇文章的学生是乙，
③当读了该篇文章的学生是丙，则甲，乙，丙说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丙，
④当读了该篇文章的学生是丁，则甲说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丁，
综合①②③④得：
读了该篇文章的学生是乙.
故选B.
11.
【答案】
D
【考点】
归纳推理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由223=223，338=338，4415=4415，
归纳猜想出一般规律为mmm2−1=m+mm2−1（m∈N∗，m≥2）．
下面证明：m+mm2−1=mm2−1+mm2−1
=m3m2−1=mmm2−1，故猜想正确．
所以n=m2−1．
故选D.
12.
【答案】
B
【考点】
类比推理
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
根据三角形的边应与四面体中的各个面进行类比，而面积与体积进行类比，进行猜想．
【解答】
解：根据几何体和平面图形的类比关系，
三角形的边应与四面体中的各个面进行类比，而面积与体积进行类比,
∴ △ABC的面积为s=12(a+b+c)r，
∴ 对应于四面体的体积为V=13(s1+s2+s3+s4)R.
故选B.
二、填空题
【答案】
3
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由曲线y=x3+ax+b可知，y′=3x2+a.
因为直线y=2x+1与曲线y=x3+ax+b相切于点1,3，
所以1+a+b=3,3+a=2,
解得a=−1,b=3.
故答案为：3.
三、解答题
【答案】
解：若p真，则a>1；
若q真，则Δ=a2−4a<0，解得0
∴ 命题p，q一真一假；
∴ 当p真q假时，a>1a≥4，
∴ a≥4；
当p假q真时，0
【考点】
逻辑联结词“或”“且”“非”
【解析】
通过指数函数的单调性，一元二次不等式的解为R时判别式△的取值求出命题p，q下a的取值范围，而根据p且q为假，p或q为真知道p真q假，或p假q真，分别求出这两种情况下a的取值范围再求并集即可．
【解答】
解：若p真，则a>1；
若q真，则Δ=a2−4a<0，解得0
∴ 命题p，q一真一假；
∴ 当p真q假时，a>1a≥4，
∴ a≥4；
当p假q真时，0
【答案】
解：(1)由题意，列2×2列联表如下：
(2)由表可知，K2=80×(4×24−16×36)240×40×20×60=9.6，
由P(K2≥7.879)=0.005，
所以有99.5%的把握认为“成绩与班级有关系”．
【考点】
独立性检验
【解析】
（1）由题意知按学生考试成绩及格与不及格进行统计，甲班及格人数为36人，乙班及格人数为24，从而做出甲班不及格的人数是40−36和乙班不及格的人数是40−24，列出表格，填入数据．
（2）根据所给的数据，代入求观测值的公式，求出观测值，把观测值与临界值比较，得到有1−0.005=99.5%的把握认为“成绩与班级有关系”．
【解答】
解：(1)由题意，列2×2列联表如下：
(2)由表可知，K2=80×(4×24−16×36)240×40×20×60=9.6，
由P(K2≥7.879)=0.005，
所以有99.5%的把握认为“成绩与班级有关系”．
【答案】
解：1设椭圆的焦距为2c，则由2c=2⇒c=1，
所以ca=13⇒a=3⇒b=2，
所以椭圆C:x23+y22=1.
(2)设直线l:x=ty+1，
联立x=ty+1,x23+y22=1，⇒2t2+3y2+4ty−4=0.
设Ax1,y1,Bx2,y2，
则y1+y2=−4t2t2+3,y1y2=−42t2+3，
又y1y2=−2⇒y1y2+y2y1=−52
⇒y1+y22y1y2=−12⇒t2=12⇒t=±12，
故直线l:2x±y−2=0.
【考点】
椭圆的标准方程
圆锥曲线的综合问题
【解析】
1已知焦距和离心率，可求方程.
2方程联立求解，根据韦达定理算出斜率.
【解答】
解：1设椭圆的焦距为2c，则由2c=2⇒c=1，
所以ca=13⇒a=3⇒b=2，
所以椭圆C:x23+y22=1.
(2)设直线l:x=ty+1，
联立x=ty+1,x23+y22=1，⇒2t2+3y2+4ty−4=0.
设Ax1,y1,Bx2,y2，
则y1+y2=−4t2t2+3,y1y2=−42t2+3，
又y1y2=−2⇒y1y2+y2y1=−52
⇒y1+y22y1y2=−12⇒t2=12⇒t=±12，
故直线l:2x±y−2=0.
【答案】
解：(1)f′(x)=ex+a，因此y=f(x)在(1, f(1))处的切线l的斜率为e+a，
又直线x+(e−1)y=1的斜率为11−e，
∴ (e+a)×11−e=−1，
∴ a=−1．
(2)∵ 当x>0时，f(x)=ex+ax>0恒成立，则a>−exx恒成立.
设ℎ(x)=−exx，则ℎ′(x)=(1−x)exx2，
当x∈(0, 1)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0, 1)上单调递增；
当x∈(1, +∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(1, +∞)上单调递减，
故当x=1时，ℎ(x)取得极大值，ℎ(x)max=ℎ(1)=−e，
∴ 实数a的取值范围为(−e, +∞)．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
（1）求导数，利用导数的几何意义，即可求a的值；
（2）当x>0时，由f(x)>0恒成立，分离参数a，然后构造辅助函数ℎ(x)=−exx，由导数求其最大值，则a的范围可求．
【解答】
解：(1)f′(x)=ex+a，因此y=f(x)在(1, f(1))处的切线l的斜率为e+a，
又直线x+(e−1)y=1的斜率为11−e，
∴ (e+a)×11−e=−1，
∴ a=−1．
(2)∵ 当x>0时，f(x)=ex+ax>0恒成立，则a>−exx恒成立.
设ℎ(x)=−exx，则ℎ′(x)=(1−x)exx2，
当x∈(0, 1)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0, 1)上单调递增；
当x∈(1, +∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(1, +∞)上单调递减，
故当x=1时，ℎ(x)取得极大值，ℎ(x)max=ℎ(1)=−e，
∴ 实数a的取值范围为(−e, +∞)．
【答案】
解：(1)抛物线的焦点是(52,0)，则双曲线的c=52．
设双曲线方程：x2a2−y2b2=1，则1a2−3b2=1，
解得：a2=14，b2=1⇒双曲线的方程为：4x2−y2=1.
(2)联立方程：y=kx+1,4x2−y2=1⇒(4−k2)x2−2kx−2=0,
当Δ>0时，得−22
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由OA→⊥OB→，x1x2+y1y2=0，即(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=0，
代入可得：k2=2，k=±2.
【考点】
双曲线的标准方程
圆锥曲线的综合问题
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
（1）先求抛物线的焦点为F(52,0)，从而设双曲线方程，再将点(1,3)代入，可求双曲线C的方程；
（2）将直线方程与双曲线方程联立，将向量垂直条件转化为数量积为0，从而可得方程，进而可解．
【解答】
解：(1)抛物线的焦点是(52,0)，则双曲线的c=52．
设双曲线方程：x2a2−y2b2=1，则1a2−3b2=1，
解得：a2=14，b2=1⇒双曲线的方程为：4x2−y2=1.
(2)联立方程：y=kx+1,4x2−y2=1⇒(4−k2)x2−2kx−2=0,
当Δ>0时，得−22
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由OA→⊥OB→，x1x2+y1y2=0，即(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=0，
代入可得：k2=2，k=±2.
【答案】
(1)解：∵ f(x)=lnx−px+1，
∴ f(x)的定义域为(0, +∞)，f′(x)=1x−p=1−pxx.
当p≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0, +∞)上无极值点.
当p>0时，令f′(x)=0，∴ x=1p∈(0, +∞).
f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
从上表可以看出：当p>0时，f(x)有唯一的极大值点x=1p.
(2)解：当p>0时，在x=1p处取得极大值f(1p)=ln1p，此极大值也是最大值，
要使f(x)≤0恒成立，只需f(1p)=ln1p≤0，
∴ p≥1，
∴ p的取值范围为[1, +∞).
(3)证明：令p=1，由(2)知，lnx−x+1≤0，
∴ lnx≤x−1.
∵ n∈N，n≥2，
∴ lnn2≤n2−1，
∴ lnn2n2≤n2−1n2=1−1n2，
∴ ln2222+ln3232+...+lnn2n2
≤(1−122)+(1−132)+...+(1−1n2)
=(n−1)−(122+132+142+...+1n2)
<(n−1)−(12×3+13×4+...+1n(n+1))
=(n−1)−(12−13+13−14+...+1n−1n+1)
=(n−1)−(12−1n+1)
=2n2−n−12(n+1).
【考点】
利用导数研究函数的极值
函数恒成立问题
不等式的证明
【解析】
（1）对f(x)进行求导，令f′(x)=0，解方程，求出f(x)的极值点；
（2）由（1）利用导数研究函数的单调区间，求出f(x)的极大值，再求出f(x)的最大值小于0，即可求出p的范围；
（3）可以令p=1，得出不等式lnx≤x−1，将x换为n2，利用不等式lnn2≤n2−1，进行放缩证明；
【解答】
(1)解：∵ f(x)=lnx−px+1，
∴ f(x)的定义域为(0, +∞)，f′(x)=1x−p=1−pxx.
当p≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0, +∞)上无极值点.
当p>0时，令f′(x)=0，∴ x=1p∈(0, +∞).
f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
从上表可以看出：当p>0时，f(x)有唯一的极大值点x=1p.
(2)解：当p>0时，在x=1p处取得极大值f(1p)=ln1p，此极大值也是最大值，
要使f(x)≤0恒成立，只需f(1p)=ln1p≤0，
∴ p≥1，
∴ p的取值范围为[1, +∞).
(3)证明：令p=1，由(2)知，lnx−x+1≤0，
∴ lnx≤x−1.
∵ n∈N，n≥2，
∴ lnn2≤n2−1，
∴ lnn2n2≤n2−1n2=1−1n2，
∴ ln2222+ln3232+...+lnn2n2
≤(1−122)+(1−132)+...+(1−1n2)
=(n−1)−(122+132+142+...+1n2)
<(n−1)−(12×3+13×4+...+1n(n+1))
=(n−1)−(12−13+13−14+...+1n−1n+1)
=(n−1)−(12−1n+1)
=2n2−n−12(n+1).P(K2>k)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
不及格
及格
总计
甲班
4
36
40
乙班
16
24
40
总计
20
60
80
不及格
及格
总计
甲班
4
36
40
乙班
16
24
40
总计
20
60
80
x
(0, 1p)
1p
(1p, +∞)
f′(x)
+
0
-
f(x)
递增
极大值
递减
x
(0, 1p)
1p
(1p, +∞)
f′(x)
+
0
-
f(x)
递增
极大值
递减
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