2020-2021学年安徽省铜陵高二（下）5月月考数学（理）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年安徽省铜陵高二（下）5月月考数学（理）试卷人教A版，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下面抽样方法是简单随机抽样的是（ ）
A.从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本
B.可口可乐公司从仓库中的1000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查
C.某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动
D.从10个手机中不放回地随机抽取2个进行质量检验(假设10个手机已编好号，对编号随机抽取)

2. 一个总体中有600个个体，随机编号为001，002，…，600，利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，则在编号为051∼125之间抽得的编号为( )
A.056，080，104B.054，078，102
C.054，079，104D.056，081，106

3. 某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比赛，如果每班每项限报1人，则这3名学生的参赛的不同方法有（ ）
A.24种B.48种C.64种D.81种

4. 中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应于十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，则选法有( )
A.30种B.50种C.60种D.90种

5. 在(2x3+1x2)n(n∈N∗)的展开式中，若存在常数项，则n的最小值是（ ）
A.3B.5C.8D.10

6. 设S=(x−1)4+4(x−1)3+6(x−1)2+4x−3，则S等于（ ）
A.x4B.x4+1C.(x−2)4D.x4+4

7. 某县从10名大学毕业生中选3人担任镇长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（ ）
A.85B.56C.49D.28

8. 若(1+2)5=a+b2（a，b为有理数），则a+b=( )
A.45B.55C.70D.80

9. 某科技小组有6名学生，现从中选出3人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为( )
A.2B.3C.4D.5

10. 在复平面内，O是原点，OA→，OC→，AB→表示的复数分别为−2+i，3+2i，1+5i，那么BC→表示的复数为（ ）
A.2+8iB.−6−6iC.4−4iD.−4+2i

11. 从只读过《论语》的3名同学和只读过《红楼梦》的3名同学中任选2人在班内进行读后分享，则选中的2人都读过《红楼梦》的概率为( )
A.15B.310C.25D.12

12. 已知函数y=f(x)在定义域[−4, 6]内可导，其图象如下图，记y=f(x)的导函数为y=f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为（ ）

A.[−43, 1]∪[113, 6]B.[−3, 0]∪[73, 5]
C.[−4, −43]∪[1, 73]D.[−4, −3]∪[0, 1]∪[5, 6]
二、填空题

函数f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，则a的取值范围是________．
三、解答题

在(x−124x)n(n≥3, n∈N∗)的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．
(1)求n的值；

(2)求展开式中含x2的项．

有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数（用数字作答）．
(1)全体排成一行，其中男生甲不在最左边；

(2)全体排成一行，其中4名女生必须排在一起；

(3)全体排成一行，3名男生两两不相邻.

某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160, 180)，[180, 200)，[200, 220)，[220, 240)，[240, 260)，[260, 280)，[280, 300]分组的频率分布直方图如图所示.

(1)求直方图中x的值；

(2)求月平均用电量的众数和中位数；

(3)在月平均用电量为[220,240)，[240, 260)，[260, 280)，[280, 300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220, 240)内的用户中应抽取多少户？

已知函数fx=ax3+bx在x=1处有极值2.
(1)求a，b的值；

(2)求函数f(x)在区间−2,12上的最大值．

已知△ABC的三个内角A, B, C成等差数列，且a, b, c分别为角A, B, C的对边，求证：(a+b)−1+(b+c)−1=3(a+b+c)−1.

现有9本不同的书，求下列情况下各有多少种不同分法．
(1)分成3组，一组4本，一组3本，一组2本；

(2)分给3人，一人4本，一人3本，一人2本；

(3)平均分成3组．
参考答案与试题解析
2020-2021学年安徽省铜陵市高二（下）5月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
简单随机抽样
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A中平面直角坐标系中有无数个点，这与要求总体中的个体数有限不相符，故错误；
B中一次性抽取不符合简单随机抽样逐个抽取的特点，故错误；
C中50名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故错误．
故选D.
2.
【答案】
D
【考点】
系统抽样方法
【解析】
将总体平均分组可知每组人数，根据系统抽样原则等距抽取得到结果
【解答】
解：将总体平均分为24组，则每组有600÷24=25人，
25×2+6=56，25×3+6=81，25×4+6=106，
故编号为051−125之间抽得的编号为：056，081，106.
故选D.
3.
【答案】
A
【考点】
分步乘法计数原理
【解析】
本题考查分步乘法计数原理，属于基础题．
【解答】
解：由于每班每项限报1人，故当前面的学生选了某项之后，后面的学生不能再报，
由分步乘法计数原理，共有4×3×2=24种不同的参赛方法．
故选A．
4.
【答案】
B
【考点】
计数原理的应用
【解析】
讨论甲同学选择的两种不同的情况，确定乙，丙的个数．
【解答】
解：①甲同学选择牛，则乙有2种选法，丙有10种选法，故选法有1×2×10=20种，
②甲同学选择马，则乙有3种选法，丙有10种选法，故选法有1×3×10=30种，
所以总共有20+30=50种选法．
故选B.
5.
【答案】
B
【考点】
二项式定理的应用
【解析】
利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0方程有解．由于n，r都是整数求出最小的正整数n．
【解答】
解：展开式的通项为Tr+1=Cnr(2x3)n−r(1x2)r=2n−rCnrx3n−5r，
令3n−5r=0可得n=53r．
当r=3时，n最小为5．
故选B．
6.
【答案】
A
【考点】
二项式定理的应用
【解析】
逆用二项式定理可得S=[(x−1)+1]4，从而可得答案．
【解答】
解：∵ S=(x−1)4+4(x−1)3+6(x−1)2+4x−3
=(x−1)4+4(x−1)3+6(x−1)2+4(x−1)+1
=[(x−1)+1]4=x4，
即S=x4．
故选A．
7.
【答案】
C
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 丙没有入选，
∴ 只要把丙去掉，把总的元素个数变为9个，
∵ 甲、乙至少有1人入选，
∴ 由条件可分为两类：一类是甲乙两人只选一个的选法有：C21⋅C72=42，
另一类是甲乙都选的选法有C22⋅C71=7，
根据分类计数原理知共有42+7=49，
故选C．
8.
【答案】
C
【考点】
二项式定理的应用
【解析】
利用二项式定理求出展开式，利用组合数公式求出各二项式系数，化简展开式求出a，b，求出a+b
【解答】
解：由二项式定理得：
(1+2)5=1+C512+C52(2)2+C53(2)3+C54(2)4+C55⋅(2)5
=1+52+20+202+20+42
=41+292，
∴ a=41，b=29，a+b=70．
故选C.
9.
【答案】
A
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
设有女生x人，结合题意得到关于女生人数的组合方程，求解关于x的方程即可确定女生人数．
详解：设有女生x人，则有男生6−x人，于是有C83−Ck3=16
即6−−15−x4−x=24，整理可得：x−2x2−13x+48=0
解得x=2
本题选择A选项．
【解答】
解：设有女生x人，则有男生6−x人，于是有
C63−Ck3=16
化简解得x=2.
故选A.
10.
【答案】
C
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
设B对应的复数为a+bi，则由题意可得1+5i=a+bi−(−2+i)，利用复数相等的充要条件，求出a和b的值，
即得点B对应的复数，用点C对应的复数减去点B对应的复数，即得BC→表示的复数．
【解答】
解：设B对应的复数为a+bi，
则由题意可得1+5i=a+bi−(−2+i)=a+2+(b−1)i，
∴ a+2=1，b−1=5，∴
a=−1，b=6，故B对应的复数为−1+6i．
那么BC→表示的复数为3+2i−(−1+6i )=4−4i，
故选C．
11.
【答案】
A
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
利用列举法，求得基本事件的总数，再求得选中的2人都读过《红楼梦》所含的基本事件个数，利用古典概型及其概率的计算公
式，即可求解．
【解答】
解：将只读过《论语》的3名同学分别记为xyz，只读过《红楼梦》的3名同学分别记为abc，
设“选中的2人都读过《红楼梦》”为事件A，
则从6名同学中任选2人的所有可能情况有x,y,x,z,x,a,x,b
x,cy,z,y,a,y,b,y,c,z,a,z,bz,c,a,ba,cb,c共15种，
其中事件A包含的可能情况有a,b,a,cb,c共3种，故PA=315=15.
故选A．
12.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
根据函数单调性和导数之间的关系，只要判断函数单调递减的区间即可得到结论．
【解答】
解：由函数图象可知，不等式f′(x)≤0的解集，
对应函数单调递减的区间，
由图象可知函数的单调递减区间为
[−43, 1]∪[113, 6]，
故选A.
二、填空题
【答案】
(−∞, 0)
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
求出函数f(x)的导数，要使f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，则f′(x)=0，有两个不等的实根，利用判别式△>0，进行求解即可．
【解答】
解：∵ f(x)=ax3+x，
∴ f′(x)=3ax2+1，
若a≥0，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)在(−∞, +∞)上为增函数，函数只有一个增区间，不满足条件．
若a<0，由f′(x)>0，得−−13a由f′(x)<0，得x>−13a，或x<−−13a
∴ 满足f(x)=ax3+x恰有三个单调区间的a的范围是(−∞, 0).
故答案为：(−∞, 0).
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ 在(x−124x)n(n≥3, n∈N∗)的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，
即 2Cn2=Cn1+Cn3，求得n=7，或n=2（舍去）．
(2)展开式的通项公式为 Tr+1=C7r⋅(−12)r⋅x14−3r4，
令14−3r4=2，求得r=2，
可得展开式中含x2的项为T3=C72⋅14⋅x2=214⋅x2．
【考点】
等差中项
二项式定理的应用
【解析】
（1）由题意可得 2Cn2=Cn1+Cn3，由此求得n的值．
（2）先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的含x2的项．
【解答】
解：(1)∵ 在(x−124x)n(n≥3, n∈N∗)的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，
即 2Cn2=Cn1+Cn3，求得n=7，或n=2（舍去）．
(2)展开式的通项公式为 Tr+1=C7r⋅(−12)r⋅x14−3r4，
令14−3r4=2，求得r=2，
可得展开式中含x2的项为T3=C72⋅14⋅x2=214⋅x2．
【答案】
解：(1)全体排在一行，其中男生甲不在最左边的方法总数为C61A66=4320种.
(2)将女生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，共有A44A44=576种.
(3)先排好女生，然后将男生插入其中的五个空位，共有A44⋅A53=1440种．
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
（1）特殊位置用优先法，先排最左边，再排余下位置．
（2）相邻问题用捆绑法，将女生看成一个整体，进行全排列，再与其
他元素进行全排列．
（3）不相邻问题用插空法，先排好女生，然后将男生插入其中的五个空位．
【解答】
解：(1)全体排在一行，其中男生甲不在最左边的方法总数为C61A66=4320种.
(2)将女生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，共有A44A44=576种.
(3)先排好女生，然后将男生插入其中的五个空位，共有A44⋅A53=1440种．
【答案】
解：(1)由直方图的性质可得
(0.002+0.0095+0.011+0.0125+
x+0.005+0.0025)×20=1，
解方程可得x=0.0075，
∴ 直方图中x的值为0.0075.
(2)月平均用电量的众数是220+2402=230，
∵ (0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5，
∴ 月平均用电量的中位数在[220, 240)内，
设中位数为a，
由(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125×(a−220)=0.5，
可得a=224，
∴ 月平均用电量的中位数为224.
(3)月平均用电量为[220, 240)的用户有0.0125×20×100=25（户），
月平均用电量为[240, 260)的用户有0.0075×20×100=15（户），
月平均用电量为[260, 280)的用户有0.005×20×100=10（户），
月平均用电量为[280, 300)的用户有0.0025×20×100=5（户），
∴ 抽取比例为1125+15+10+5=15，
∴ 月平均用电量在[220, 240)的用户中应抽取25×15=5（户）.
【考点】
频率分布直方图
众数、中位数、平均数
分层抽样方法
【解析】
（1）由直方图的性质可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20=1，解方程可得；
（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220, 240)内，设中位数为a，解方程(0.002+0.0095++0.011)×20+0.0125×(a−220)=0.5可得；
（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．
【解答】
解：(1)由直方图的性质可得
(0.002+0.0095+0.011+0.0125+
x+0.005+0.0025)×20=1，
解方程可得x=0.0075，
∴ 直方图中x的值为0.0075.
(2)月平均用电量的众数是220+2402=230，
∵ (0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5，
∴ 月平均用电量的中位数在[220, 240)内，
设中位数为a，
由(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125×(a−220)=0.5，
可得a=224，
∴ 月平均用电量的中位数为224.
(3)月平均用电量为[220, 240)的用户有0.0125×20×100=25（户），
月平均用电量为[240, 260)的用户有0.0075×20×100=15（户），
月平均用电量为[260, 280)的用户有0.005×20×100=10（户），
月平均用电量为[280, 300)的用户有0.0025×20×100=5（户），
∴ 抽取比例为1125+15+10+5=15，
∴ 月平均用电量在[220, 240)的用户中应抽取25×15=5（户）.
【答案】
解：(1)f′x=3ax2+b，
由题可知f′1=0，f1=2，即3a+b=0，a+b=2，
解得a=−1,b=3.
(2)由(1)得fx=−x3+3x，
令f′x=−3x2+3<0，得x<−1或x>1，
令f′x=−3x2+3>0，得−1所以函数fx在区间−∞,−1和1,+∞上单调递减，
在区间−1,1上单调递增．
又因为f−2=−(−2)3−6=2 ，f1=2.
故fx在区间−2,12上的最大值为2.
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的最值
【解析】
由题意可得f′1=0f1=2，即可求解.
利用导数结合其单调性即可求解.
【解答】
解：(1)f′x=3ax2+b，
由题可知f′1=0，f1=2，即3a+b=0，a+b=2，
解得a=−1,b=3.
(2)由(1)得fx=−x3+3x，
令f′x=−3x2+3<0，得x<−1或x>1，
令f′x=−3x2+3>0，得−1所以函数fx在区间−∞,−1和1,+∞上单调递减，
在区间−1,1上单调递增．
又因为f−2=−(−2)3−6=2 ，f1=2.
故fx在区间−2,12上的最大值为2.
【答案】
证明：要证a+b−1+b+c−1=3a+b+c−1，
即证1a+b+1b+c=3a+b+c，
只需证a+b+ca+b+a+b+cb+c=3，
化简，得ca+b+ab+c=1
即cb+c+aa+b=a+bb+c，
所以只需证:c2+a2=b2+ac.
因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，
易得∠B=60∘，
所以csB=a2+c2−b22ac=12，
所以a2+c2−b2=ac，所以原式成立.
【考点】
等差数列的性质
余弦定理
反证法
【解析】
试题分析：要证a+b−1+b+c−1=3a+b+c−1，即证1a+b+1b+c=3a+b+c，整理得只需证c2+a2=b2+ac，结合余弦定理即可证得．
试题解析：
要证a+b11+b+c−1=3a+b+c1，即证1a+b+1b+c=3a+b+c
只需证a+b+ca+b+a+b+cb+c=3，化简，得ca+b+ab+c=1
即cb+c+a+b=a+bb+c，所以只需证:22+a2=b2+ac
因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，所以∠B=60∘
所以csB=a2+c2−b22ac=12，所以a2+c2⋅b2=ac，所以原式成立
【解答】
证明：要证a+b−1+b+c−1=3a+b+c−1，
即证1a+b+1b+c=3a+b+c，
只需证a+b+ca+b+a+b+cb+c=3，
化简，得ca+b+ab+c=1
即cb+c+aa+b=a+bb+c，
所以只需证:c2+a2=b2+ac.
因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，
易得∠B=60∘，
所以csB=a2+c2−b22ac=12，
所以a2+c2−b2=ac，所以原式成立.
【答案】
解：(1)分成三组，一组4本，一组3本，一组2本有：C94C53C22=1260.
(2)分给三人，一人4本，一人3本，一人2本有：C94C53C22A33=7560.
(3)平均分成三组有C93C63C33÷A33=280．
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
（1）直接利用组合知识求解；
（2）先分组，再分给三人；
（3）平均分成三份，每份3本，这是平均分组问题．
【解答】
解：(1)分成三组，一组4本，一组3本，一组2本有：C94C53C22=1260.
(2)分给三人，一人4本，一人3本，一人2本有：C94C53C22A33=7560.
(3)平均分成三组有C93C63C33÷A33=280．