安徽省舒城中学2020-2021学年高二下学期第三次月考数学（文）试卷+答案

  舒城中学高二统考试卷（四）

         文  数    

                    时间：120分钟    满分：150分 

一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.

1．设全集，集合，那么为（     ）

A． B． C． D．

2．函数的部分图象大致是（      ）

A． B．

C． D．

3．下列4个说法中正确的有（     ）

①命题“若，则”的逆否命题为“若则”；

②若，则；

③若复合命题：“”为假命题，则p，q均为假命题；

④“”是“”的充分不必要条件．

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④

4．函数是奇函数的充要条件是（     ）

A． B． C． D．

5．已知函数的值域是，则函数的定义域为（    ）

A．[，2]         B．[2，4]        C．[4，8]            D．[1，2]

6．已知函数可表示为

则下列结论正确的是（     ）

A． B．的值域是

C．的值域是 D．在区间上单调递增

7．已知，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

8．已知函数，且，则（     ）

A． B． C． D．

9．如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：）与时间（单位：月）的关系为.关于下列说法：

①浮萍每月的增长率为1；②第5个月时，浮萍面积就会超过；

③浮萍每月增加的面积都相等；④若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则，其中正确的说法是（    ）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④

10．已知函数，若，则的取值范围是（      ）

A． B． C． D．

11．已知是定义在上的且以2为周期的偶函数，当时，，如果直线与曲线恰有两个不同的交点，则实数的值为 （      ）

A． B．

C．0 D．

12．已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是（      ）

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.

13．设命题：函数的定义域为；命题：当时， 恒成立，如果命题“p∧q”为真命题，则实数的取值范围是________．

14.若函数的图象关于点（1，1）对称，则实数=__________．

15．已知函数，则的值域为________.

16．若直线是曲线的一条切线，则______．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(本题12分)设的内角、、所对的边长分别为、、，满足，且.

（1）求角的大小：

（2）若，边上的中线的长为，求的面积.

18．(本题12分)如图所示，半圆弧所在平面与平面垂直，且是弧上异于 ，的点，，， .

（1）求证:平面;

（2）若为弧的中点，且，求点到平面的距离.

19．(本题12分)近年来，共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚．某公司计划对未开通共享单车的县城进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他县城的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示．

（1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合，请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程；

（2）已知每辆单车的购入成本为元，年调度费以及维修等的使用成本为每人次元，按用户每使用一次，收费元计算，若投入辆单车，则几年后可实现盈利？

参考数据：

其中，．

参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

20．(本题12分)设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与相交于点D，与椭圆相交于两点．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）求四边形面积的最大值．

21．(本题12分)已知函数，．

（1）令，求的最小值；

（2）若恒成立，求的取值范围．

选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22．(本题10分)在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）已知点，曲线与曲线相交于两点，求．

23．(本题10分)设函数．

解不等式：；

记函数的最小值为，已知，，且，求证：．

参考答案

1-5：BACDA  6-10：BCDCA  11-12:DA

13. 14. 1   15.   16.

17．（1）；（2）.

【分析】

（1）利用正弦定理进行边化角，再利用两角和的余弦公式整理可得，即可得解；（2）由向量的平行四边形法则可得，同时平方，再结合余弦定理可推出，求出c代入三角形面积公式即可得解.

【详解】

（1）因为，

由正弦定理得，又，

故，从而，

即；而，故为锐角，所以.

（2）因为为边上的中线，从而，，

所以有，，

又中，有，从而，

所以，为直角三角形，

在直角中，因为，，

所以，的面积.

【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，涉及两角和的余弦公式、向量的平行四边形法则、向量数量积，属于中档题.

18．（1）证明见解析；（2）.

【分析】

（1）先证明，再证明平面平面，证得，利用线面垂直的判定定理可以证明平面

（2）先证明，利用等体积法求点到平面的距离.

【详解】

解:（1）证明:取中点，连接

因为，

所以

因为，

所以四边形是平行四边形

又，，

所以四边形是正方形

设，

则，，，

所以，即

又平面平面，平面平面

所以平面，

又平面，

所以

因为，

又，

所以平面

（2）解:为弧的中点，

由可知，，，均为等腰直角三角形，

又，

所以可得，

因此，，

从而可得

所以

由的结论平面可知，

到平面的距离为

设点到平面的距离为

则

所以.

【点睛】

立体几何解答题的基本结构：

(1)第一问一般是几何位置关系的证明，用判定定理；

(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离）.如果求体积（或求距离），常用的方法有：(1) 直接法；(2)等体积法；(3) 补形法；(4)向量法.

19．（1）适宜，；（2）6年.

【分析】

（1）由散点图可判断适宜，设，则，再根据参考数据及公式即可得解；

（2）先将代入得年使用人次，进而可得收益和总投资比较大小即可得解.

【详解】

（1）由散点图判断，适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型．

由，两边同时取常用对数得．

设，则．

因为，，，，

所以．

把代入，得，

所以，所以，

则，

故关于的回归方程为．

（2）投入千辆单车，则年使用人次为千人次，

每年的收益为（千元），

总投资千元，

假设需要年开始盈利，则，即，

故需要年才能开始盈利．

【点睛】

关键点点睛：对于非线性回归方程的求解，一般要结合题意作变换，转化为线性回归方程来求解，同时也要注意相应数据的变化.

20．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为，

直线的方程分别为，．············ 2分

如图，设，其中，

且满足方程，故．①

由知，得；

由在上知，得．所以，

化简得，解得或．················ 6分

（Ⅱ）根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，

．9分

又，所以四边形的面积为

，

当，即当时，上式取等号．所以的最大值为．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题意易得椭圆方程，直线的方程，再设，满足方程，把用坐标表示出来得，又点在直线上，则，根据以上关系式可解得的值；（Ⅱ）先求点E、F到AB的距离，再求，则可得面积，然后利用不等式求面积的最大值.

试题解析：（I）依题意，得椭圆的方程为， 1分

直线的方程分别为， 2分

如图设，其中，

满足方程且故，

由知，得， 4分

由点在直线上知，得， 5分

，化简得解得或. 7分

（II）根据点到直线的距离公式和①式知，点E、F到AB的距离分别为

， 8分

， 9分

又，所以四边形AEBF的面积为

， 11分

当即当时，上式取等号，所以S的最大值为 13分

考点：1、椭圆的性质；2、直线与椭圆相交的综合应用；3、不等式.

21．（1）0；（2）．

【分析】

（1）有题意知，，，根据导数求出函数的单调性，由此可求出函数的最小值；

（2）原不等式等价于在上恒成立，令，求导得，令，易得在存在唯一的零点，即，得，结合函数的单调性得，，由此可求出答案．

【详解】

解：（1）有题意知，，，

∴，

∴当，，即在上单调递减，

当，，即在上单调递增，

故，

∴的最小值为0；

（2）原不等式等价于，

即，在上恒成立，

等价于，在上恒成立，

令，，

∴，

令，则为上的增函数，

又当时，，，

∴在存在唯一的零点，即，

由，

又有在上单调递增，

∴，，

∴，

∴，

∴的取值范围是．

【点睛】

本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于难题．

22．（1），；（2）.

【分析】

（1）将已知极坐标方程利用两角和的余弦公式展开，利用极直互化公式得到的直角坐标方程，利用同角三角函数的平方关系消去参数的值，得到的普通方程；

（2）写出以为基点的直线的参数方程，代入的普通方程，利用参数的几何意义，结合韦达定理运算.

【详解】

（1）∵，∴,

的直角坐标方程为，的普通方程为；

(2)的参数方程为(为参数)，

将曲线的参数方程代入的普通方程，整理得.

令，由韦达定理,

则有,

， .

【点睛】

本题考查参数方程，普通方程，极坐标方程之间的互化，考查直线的参数方程的应用，关键是要掌握直线参数方程中参数的几何意义.

23．（1）；（2）见解析

【解析】

【分析】

对x分三种情况讨论去绝对值；

变形后用基本不等式证明．本题考查了绝对值不等式的解法属中档题．

【详解】

解：，

，

当时，不等式即为，解得，，

当时，不等式即为，解得，

当时，不等式即为，解得

综上所述，不等式的解集为

证明：由可知，，

，即，

，

即．

【点睛】

绝对值不等式的解法：

法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．