2020-2021学年安徽省六安市某校高二（下）3月月考数学（文）试卷

这是一份2020-2021学年安徽省六安市某校高二（下）3月月考数学（文）试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 抛物线y2=ax 的焦点坐标为(−2, 0)，则抛物线方程为( )
A.y2=−4xB.y2=4xC.y2=−8xD.y2=8x

2. 已知a，b∈R，那么“lg12a>lg12b”是“3a<3b”的( )
A.充要条件B.必要不充分条件
C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

3. 下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是（ ）
A.a>b+1B.a>b−1C.a2>b2D.a3>b3

4. 若椭圆x2m+y24=1的离心率e=22，则实数m的值为( )
A.2B.8C.2或8D.6或83

5. 已知命题p：在△ABC中，"C>B"是"sinC>sinB"的充分不必要条件，命题q:"a>b"是"ac2>bc2"的充分不必要条件，则下列选项中正确的是( )
A.p真q假B.p假q真C. “p∨q”为假 D.“p∧q”为真

6. 已知双曲线经过点(33,1)，且它的两条渐近线的方程是y=±13x，则双曲线的方程( )
A.x236−y24=1B.x281−y29=1
C.x29−y2=1D.x218−y22=1

7. 已知a，b∈R，则“a2+b2≤1”是“|a|+|b|≤1”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8. 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率为( )
A.22B.23C.33D.32

9. 过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1, y1)，Q(x2, y2)两点，如果x1+x2=6，则|PQ|=( )
A.9B.8C.7D.6

10. 双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30∘的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为( )
A.6B.3C.2D.33

11. 如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(−25, 0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|=|OF|，且|PF|=4，则椭圆C的方程为( )

A.x225+y25=1B.x230+y210=1
C.x236+y216=1D.x245+y225=1

12. 已知AB是椭圆x225+y25=1的长轴，若把线段AB五等份，过每个分点作AB的垂线，分别与椭圆的上半部分相交于C，D，E，G四点，设F是椭圆的左焦点，则|FC|+|FD|+|FE|+|FG|的值是( )
A.15B.16C.18D.20
二、填空题

已知方程x22−k+y22k−1=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________．
三、解答题

命题p:∀x>0，x+1x>a；命题q:x2−2ax+1≤0解集非空．¬q假，p∧q假，求a的取值范围．

已知抛物线C:y2=2pxp>0与双曲线x23−y2=1有相同的焦点F．
(1)求C的方程，并求其准线l的方程；

(2)过F且斜率存在的直线与C交于不同的两点Ax1,y1，Bx2,y2，证明：x1x2，y1y2均为定值.

设命题p：函数f(x)=lg(x2−4x+a2)的定义域为R；命题q:∀m∈[−1, 1]，不等式a2−5a−3≥m2+8恒成立．如果命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=32,且椭圆C上的点P与左焦点F1的最小距离为4−23.
(1)求椭圆C的方程；

(2)过点P(2,1)作直线l与该椭圆相交于A,B两点，若线段AB恰被点P所平分，求直线l的方程.

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为22，且过点A(32, 12)．
(1)求椭圆C的方程；

(2)已知l:y=kx−1，是否存在k使得点A关于l的对称点B（不同于点A）在椭圆C上？若存在求出此时直线l的方程，若不存在说明理由．

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，且a=2b.
(1)求C的方程；

(2)若A，B为C上的两个动点，过F2且垂直x轴的直线平分∠AF2B，证明：直线AB过定点．
参考答案与试题解析
2020-2021学年安徽省六安市某校高二（下）3月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
抛物线的标准方程
【解析】
由题意知抛物线y2=ax 焦点在x轴的负半轴上，且p=−a2，利用焦点为(−2, 0)，求出a即可．
【解答】
解：抛物线y2=ax的焦点在x轴的负半轴上，且p=−a2，
∴ −p2=−2，即a4=−2
∴ a=−8，
则抛物线方程为：y2=−8x.
故选C．
2.
【答案】
C
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
根据对数不等式和指数不等式的解法求出对应的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】
解：若lg12a>lg12b，则0若3a<3b，则a∴ “lg12a>lg12b”是“3a<3b”的充分不必要条件．
故选C．
3.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
本题考查充要条件的判定及其应用、不等式的性质．
【解答】
解：根据题目条件，由选项中的结论可以推出a>b成立，反之不成立，
则只有选项A中的条件满足，
B为a>b的必要不充分条件，
C为a>b的既不充分又不必要条件，
D为a>b的充要条件．
故选A．
4.
【答案】
C
【考点】
椭圆的定义
【解析】
根据题意，根据椭圆的焦点位置不同分2种情况讨论，①、椭圆的焦点在x轴上，②、椭圆的焦点在y轴上；每种情况下由标准方程求出a、b的值，结合a、b、c的关系求出c的值，进而由离心率公式可得关于m的方程，解可得m的值，综合两种情况即可得答案．
【解答】
解：根据题意，椭圆的方程为x2m+y24=1，分2种情况讨论：
①椭圆的焦点在x轴上，有a=m，b=4=2，
则c=m−4，
其离心率e=ca=m−4m=22，
解得m=8.
②椭圆的焦点在y轴上，有b=m，a=4=2，
则c=4−m，
其离心率e=ca=4−m2=22，
解可得m=2，
综上，m=2或8.
故选C．
5.
【答案】
C
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
根据充分条件和必要条件的定义集合复合命题之间的关系即可得到结论．
【解答】
解：在△ABC中，C>B等价为c>b，
根据正弦定理等价为sinC>sinB，C>B是sinC>sinB的充要条件，故p是假命题．
若c=0，当满足a>b时，ac2>bc2不成立，故a>b是ac2>bc2的充分不必要条件错误，故q是假命题．
则“p∨q”为假，
故选C.
6.
【答案】
D
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的渐近线
【解析】
根据题意中所给的双曲线的渐近线方，则可设双曲线的标准方程为 x29−y2=λ，(λ≠0)；将点 (6, 3)，代入方程，可得λ；即可得答案．
【解答】
解：根据题意，双曲线的渐近线方程是y=±13x，
则可设双曲线的标准方程为x29−y2=λ(λ≠0)，
又因为双曲线经过点(33,1)，
代入方程可得λ=2，
故双曲线的方程是x218−y22=1.
故选D．
7.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
由“|a|+|b|≤1”平方可得a2+b2≤1．反之不成立：例如取a=b=22，满足a2+b2≤1，不满足“|a|+|b|≤1”．
【解答】
解：由“|a|+|b|≤1”可得a2+b2+2|ab|≤1，∴ a2+b2≤1．
反之不成立：例如取a=b=22，满足a2+b2≤1，不满足“|a|+|b|≤1”．
∴ “a2+b2≤1”是“|a|+|b|≤1”的必要不充分条件．
故选B.
8.
【答案】
C
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
直接利用椭圆的通经与焦距的关系，求解即可．
【解答】
解：F1，F2是椭圆上的两个焦点，
过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，
因为△ABF2是正三角形，
可得32×2b2a=2c，即3b2=2ac，
所以3(a2−c2)=2ac，即3(1−e2)=2e，
解得e=33．
故选C.
9.
【答案】
B
【考点】
抛物线的性质
抛物线的定义
【解析】
根据抛物线方程，算出焦点为F(1, 0)，准线方程为x＝−1．利用抛物线的定义，证出|PF|+|QF|＝(x1+x2)+2，结合PQ经过焦点F且x1+x2＝6，即可得到|PQ|＝|PF|+|QF|＝8．
【解答】
解：∵ 抛物线的方程为y2=4x，
∴ 2p=4，p2=1，
∴ 抛物线的焦点为F(1, 0)，准线方程为x=−1．
根据抛物线的定义，得|PF|=x1+p2=x1+1，
|QF|=x2+p2=x2+1，
∴ |PF|+|QF|=(x1+1)+(x2+1)=(x1+x2)+2，
又∵ PQ经过焦点F，且x1+x2=6，
∴ |PQ|＝|PF|+|QF|=(x1+x2)+2=6+2=8．
故选B.
10.
【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
先在Rt△MF1F2中，利用∠MF1F2和F1F2求得MF1和MF2，进而根据双曲线的定义求得a，最后根据a和c求得离心率．
【解答】
解：如图，
在Rt△MF1F2中，∠MF1F2=30∘，|F1F2|=2c，
∴ |MF1|=2ccs30∘=433c，|MF2|=2c⋅tan30∘=233c,
∴ 2a=|MF1|−|MF2|=433c−233c=233c,
∴ e=ca=3，
故选B.
11.
【答案】
C
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
设椭圆的右焦点为F′，由|OP|＝|OF|及椭圆的对称性知，△PFF′为直角三角形；由勾股定理，得|PF′|；由椭圆的定义，得a2；由b2＝a2−c2，得b2；然后根据椭圆标准方程的形式，直接写出椭圆的方程．
【解答】
解：如图，
设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1，右焦点为F′，
由题意，得c=25，
由|OP|=|OF|=|OF′|知，
∠PFF′=∠FPO，∠OF′P=∠OPF′，
所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′，
由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180∘知，
∠FPO+∠OPF′=90∘，即PF⊥PF′．
在Rt△PFF′中，由勾股定理，
得|PF′|=|FF′|2−|PF|2=(45)2−42=8，
由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，
从而a=6，得a2=36，
于是 b2=a2−c2=36−(25)2=16，
所以椭圆的方程为x236+y216=1．
故选C.
12.
【答案】
D
【考点】
椭圆的定义
【解析】
根据椭圆的对称性与椭圆定义知：|FG|+|FC|=|FE|+|FD|=2a=10，进而得到答案．
【解答】
解：过每个分点作AB的垂线交椭圆的上半部分于C，D，E，G四点，
F是椭圆的左焦点，
所以根据椭圆的对称性与椭圆定义知：
|FG|+|FC|=|FE|+|FD|=2a=10，
所以|FC|+|FD|+|FE|+|FG|=4a=20.
故选D.
二、填空题
【答案】
(1,2)
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
利用方程x22−k+y22k−1=1表示焦点在y轴上的椭圆，可得2k−1>2−k>0，即可求出实数k的取值范围．
【解答】
解：∵ 方程x22−k+y22k−1=1表示焦点在y轴上的椭圆，
∴ 2k−1>2−k>0，
∴ 1故答案为：(1,2)．
三、解答题
【答案】
解：不妨设p为真，要使得不等式恒成立，
只需a<(x+1x)min，
又∵ 当x>0时，(x+1x)≥2，
∴ a<2，
不妨设q为真，要使得不等式有解，
只需Δ≥0，即(−2a)2−4≥0，
解得a≤−1或a≥1；
∵ ¬q假，且“p∧q”为假命题，
故q真p假，
所以a≥2,a≤−1或a≥1,
∴ 实数a的取值范围为a≥2．
【考点】
复合命题及其真假判断
【解析】
利用分类讨论思想，利用恒成立问题首先求出a的取值范围，进一步利用不等式有解的条件求出a的范围，进一步利用命题的：且、或、非”最后求出结果．
【解答】
解：不妨设p为真，要使得不等式恒成立，
只需a<(x+1x)min，
又∵ 当x>0时，(x+1x)≥2，
∴ a<2，
不妨设q为真，要使得不等式有解，
只需Δ≥0，即(−2a)2−4≥0，
解得a≤−1或a≥1；
∵ ¬q假，且“p∧q”为假命题，
故q真p假，
所以a≥2,a≤−1或a≥1,
∴ 实数a的取值范围为a≥2．
【答案】
(1)解：∵ 双曲线x23−y2=1的右焦点为F2,0，
∴ p2=2，
解得p=4，
∴ 抛物线C的方程为y2=8x，其准线l的方程为x=−2．
(2)证明：由题意可知，直线AB过点F且斜率存在，
设直线AB的方程为y=kx−2k≠0，
联立y=kx−2,y2=8x,
整理，得ky2−8y−16k=0，
∵ Ax1,y1，Bx2,y2，
∴ y1y2=−16kk=−16，
则x1x2=y1y2282=−16264=4，
∴ x1x2，y1y2均为定值.
【考点】
抛物线的标准方程
圆锥曲线中的定点与定值问题
抛物线的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)解：∵ 双曲线x23−y2=1的右焦点为F2,0，
∴ p2=2，
解得p=4，
∴ 抛物线C的方程为y2=8x，其准线l的方程为x=−2．
(2)证明：由题意可知，直线AB过点F且斜率存在，
设直线AB的方程为y=kx−2k≠0，
联立y=kx−2,y2=8x,
整理，得ky2−8y−16k=0，
∵ Ax1,y1，Bx2,y2，
∴ y1y2=−16kk=−16，
则x1x2=y1y2282=−16264=4，
∴ x1x2，y1y2均为定值.
【答案】
解：命题p:Δ=16−4a2<0⇒a>2或a<−2，
命题q：∵ m∈[−1, 1]，∴ m2+8∈[22, 3]，
∵ 对∀m∈[−1, 1]，不等式a2−5a−3≥m2+8恒成立，
只须满足 a2−5a−3≥3，
∴ a≥6或a≤−1．
∵ 命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，
根据复合命题真值表，命题p与q一真一假，
当p真q假时，则a>2或a<−2,−1当p假q真时，则−2≤a≤2,a≤−1或a≥6⇒−2≤a≤−1，
综上所述，实数a的取值范围为−2≤a≤−1或2【考点】
逻辑联结词“或”“且”“非”
【解析】
根据对数函数的定义域分析求解命题P为真命题时的条件；通过求m2+8，(m∈[−1, 1])的最大值，求出命题q为真命题时的条件，再根据复合命题真值表求解即可．
【解答】
解：命题p:Δ=16−4a2<0⇒a>2或a<−2，
命题q：∵ m∈[−1, 1]，∴ m2+8∈[22, 3]，
∵ 对∀m∈[−1, 1]，不等式a2−5a−3≥m2+8恒成立，
只须满足 a2−5a−3≥3，
∴ a≥6或a≤−1．
∵ 命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，
根据复合命题真值表，命题p与q一真一假，
当p真q假时，则a>2或a<−2,−1当p假q真时，则−2≤a≤2,a≤−1或a≥6⇒−2≤a≤−1，
综上所述，实数a的取值范围为−2≤a≤−1或2【答案】
解：(1)∵椭圆的离心率e=32
∴e=ca=32
设a=2k,c=3k,
∵椭圆C上点P与左焦点F1的最小距离为4−23
∴a−c=4−23
∴k=2,
∴c=23, a=4 , b=2,
∴椭圆C的方程为x216+y24=1 .
(2)过点P(2,1)作直线l与该椭圆相交于A,B,
设Ax1,y1 Bx2,y2,直线l:y−1=m(x−2),
∵P(2,1)为AB的中点,
∴x1+x22=2，y1+y22=1，
∴x1+x2=4，y1+y2=2，
∵A,B都在椭圆C上,
∴x1216+y124=1，x2216+y224=1，
∴y1−y2x1−x2=−12
∴mAB=y1−y2x1−x2=−12
∴直线l的方程为y−1=−12(x−2),
即x+2y−4=0.
【考点】
椭圆的离心率
直线与椭圆结合的最值问题
椭圆的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵椭圆的离心率e=32
∴e=ca=32
设a=2k,c=3k,
∵椭圆C上点P与左焦点F1的最小距离为4−23
∴a−c=4−23
∴k=2,
∴c=23, a=4 , b=2,
∴椭圆C的方程为x216+y24=1 .
(2)过点P(2,1)作直线l与该椭圆相交于A,B,
设Ax1,y1 Bx2,y2,直线l:y−1=m(x−2),
∵P(2,1)为AB的中点,
∴x1+x22=2，y1+y22=1，
∴x1+x2=4，y1+y2=2，
∵A,B都在椭圆C上,
∴x1216+y124=1，x2216+y224=1，
∴y1−y2x1−x2=−12
∴mAB=y1−y2x1−x2=−12
∴直线l的方程为y−1=−12(x−2),
即x+2y−4=0.
【答案】
解：(1)设椭圆C的半焦距为c.
∵ 椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为22，
∴ c=2，
∴ a2−b2=2①，
∵ 椭圆C过点A(32, 12)，
∴ 94a2+14b2=1②，
联立①②可得a2=3，b2=1，
∴ 椭圆C的方程为x23+y2=1.
(2)由l:y=kx−1可知，直线l恒过点P(0, −1)，
设点A关于l的对称点B坐标为(x0, y0)，
因为点A，B关于l对称，所以|PA|=|PB|，
所以x02+(y0+1)2=92①.
又B在椭圆上，所以x023+y02=1②，
联立①②解得x0=32,y0=12,或x0=−32,y0=12.
因为B(32,12)与A点重合，舍去，
因为B(−32,12)与A关于x=0对称，
所以不存在k满足条件．
【考点】
椭圆的标准方程
圆锥曲线的综合问题
【解析】
（1）通过椭圆的焦距求出c，利用a、b、c的关系以及点的坐标适合椭圆方程，求出a，b，即可求椭圆的方程；
（2）法1：当k=0时，验证点B(32，−52)不在椭圆上；当k≠0时，可设直线AB：y=−1k(x−32)+12，代入x23+y2=1利用韦达定理，以及对称综上，说明不存在k满足条件．
法2：设AB:x=−ky+m，代入椭圆方程x23+y2=1利用韦达定理，以及对称知识，说明k=1，导出对称点B与点A重合，不合题意，不存在k满足条件．
法3：由l:y=kx−1可知直线l恒过点P(0, −1)，设点A关于l的对称点B坐标为(x0, y0)，
利用|PA|=|PB|，求出B(−32，12)与A关于x=0对称，不存在k满足条件．
【解答】
解：(1)设椭圆C的半焦距为c.
∵ 椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为22，
∴ c=2，
∴ a2−b2=2①，
∵ 椭圆C过点A(32, 12)，
∴ 94a2+14b2=1②，
联立①②可得a2=3，b2=1，
∴ 椭圆C的方程为x23+y2=1.
(2)由l:y=kx−1可知直线l恒过点P(0, −1)，
设点A关于l的对称点B坐标为(x0, y0)，
因为点A，B关于l对称，所以|PA|=|PB|，
所以x02+(y0+1)2=92①.
又B在椭圆上，所以x023+y02=1②，
联立①②解得x0=32,y0=12,或x0=−32,y0=12.
因为B(32,12)与A点重合，舍去，
因为B(−32,12)与A关于x=0对称，
所以不存在k满足条件．
【答案】
(1)解：因为|F1F2|=4=2c，
所以c=2，
又a=2b，且a2−b2=c2，
所以2b2−b2=4，
解得b2=4，
所以a2=8，
故椭圆C的方程为x28+y24=1．
(2)证明：由题意可知，直线AB的斜率存在，F22,0，
设直线AB的方程为y=kx+m，设Ax1,y1，Bx2,y2，
由x28+y24=1,y=kx+m,
整理，得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−8=0，
则Δ=16k2m2−4(1+2k2)(2m2−8)=64k2−8m2+32，
且x1+x2=−4km1+2k2，x1x2=2m2−81+2k2．
设直线F2A，F2B的倾斜角分别为α，β，
则α=π−β，k F2 A+k F2 B=y1x1−2+y2x2−2=0，
所以y1(x2−2)+y2(x1−2)=0，
即kx1+mx2−2+kx2+mx1−2=0，
所以2kx1x2+m−2kx1+x2−4m=0，
所以2k×2m2−81+2k2+(2k−m)×4km1+2k2−4m=0，
化简，得m=−4k，
所以直线AB的方程为y=kx−4k=k(x−4)，
所以直线AB过定点4,0．
【考点】
椭圆的标准方程
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
无
无
【解答】
(1)解：因为|F1F2|=4=2c，
所以c=2，
又a=2b，且a2−b2=c2，
所以2b2−b2=4，
解得b2=4，
所以a2=8，
故椭圆C的方程为x28+y24=1．
(2)证明：由题意可知，直线AB的斜率存在，F22,0，
设直线AB的方程为y=kx+m，设Ax1,y1，Bx2,y2，
由x28+y24=1,y=kx+m,
整理，得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−8=0，
则Δ=16k2m2−4(1+2k2)(2m2−8)=64k2−8m2+32，
且x1+x2=−4km1+2k2，x1x2=2m2−81+2k2．
设直线F2A，F2B的倾斜角分别为α，β，
则α=π−β，k F2 A+k F2 B=y1x1−2+y2x2−2=0，
所以y1(x2−2)+y2(x1−2)=0，
即kx1+mx2−2+kx2+mx1−2=0，
所以2kx1x2+m−2kx1+x2−4m=0，
所以2k×2m2−81+2k2+(2k−m)×4km1+2k2−4m=0，
化简，得m=−4k，
所以直线AB的方程为y=kx−4k=k(x−4)，
所以直线AB过定点4,0．