苏科版七年级上册4.3 用一元一次方程解决问题知识点教学设计及反思

【知识要点】

知识点1用一元一次方程解决实际问题的一般步骤

列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类

题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．

知识点2 建立书写模型常见的数量关系

知识点3 分析数量关系的常用方法

 1）直译法分析数量关系

将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。

例1. 一个三位数，百位上的数字比十位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字的3倍少2，若将个位与百位数字调换位置后，所得的三位数与原来三位数的和是1171，求这个三位数。

故原数百位数为：3+1=4，十位数为：3，个位数为3×3－2=7    三位数为：437

2）列表分析数量关系

当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。

例2.超市以每支4元的价格购进100支钢笔，卖出时每支的标价为6元，当卖出一部分钢笔后，剩余的以9折出售，卖完时超市盈利188元，其中打9折的钢笔有几支？

 答：有20支钢笔打折出售

3）图解法分析数量关系

用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直观形象的体会题意。在行程问题中，我们常常用此类方法。

例3.甲、乙两人相距285m，相向而行，甲从A地除法每秒走8米，乙从B地出发每秒走6米。如果甲先走12米，那么甲出发几秒后与乙相遇？

   答：甲出发21秒后与乙相遇

题型1行程问题

【要点梳理】

解题技巧：行程问题总公式为：路程=速度×时间。行程问题可分为3大类，不同类型的问题，在求解速度时有所不同，具体如下：

①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间

Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．

②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间

Ⅱ．寻找相等关系：同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．

③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速；

Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．

（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．

【典例精讲】

1．小山娃要到城里参加运动会，如果每小时走4千米，那么走完预订时间离县城还有0.5千米，如果他每小时走5千米，那么比预订时间早半小时就可到达县城．试问学校到县城的距离是多少千米?

2、（2019·北京师大附中期中）一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同向行驶,客车的行驶速度是70km/h,卡车的行驶速度是60km/h,客车比卡车早2h到达B地.若设A、B两地间的路程是xkm,可列方程(    )

A． B． C． D．

3．（2020·全国单元测试）一辆汽车从甲地行驶到乙地，第一小时行驶了全程的，第二小时行驶了全程的，此时离乙地还有150千米的路程，设甲、乙两地间的距离为千米，则下列方程正确的是（    ）

A．   B．  C．  D．

2.相遇问题（相向问题）

1、小李骑自行车从A地到B地，小明骑自行车从B地到A地，两人都匀速前进.已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12点，两人又相距36千米.求A、B两地间的路程.

2．（2020·河北三河·初一期末）A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过t小时两车相距50千米，则t的值是(   )

A．2或2.5 B．2或10 C．10或12.5 D．2或12.5

3.（2020·全国单元测试）现有8位旅客要从60千米外的某地赶往火车站乘坐火车，此时离火车开车时间只有2小时20分，他们步行的速度是每小时5千米，唯一可以利用的交通工具只有一辆小汽车，但这辆小汽车连同司机在内最多能乘坐5人，小汽车的平均速度是每小时75千米．

（1）如果只有小汽车分两批来回接送，其他旅客在原地等待，这8位旅客都能赶上火车吗？为什么？

（2）如果在小汽车接送第一趟4位旅客的同时，让其他旅客步行，小汽车到达火车站后，立即返回接送步行的旅客，第二趟旅客到达火车站时，离火车开车时间还有几分钟？

4．（2020·山西浑源·初一期末）综合与实践：

甲乙两地相距900千米，一列快车从甲地出发匀速开往乙地，速度为120千米/时；快车开出30分钟时，一列慢车从乙地出发匀速开往甲地，速度为90千米/时．设慢车行驶的时间为x小时，快车到达乙地后停止行驶，根据题意解答下列问题：

（1）当快车与慢车相遇时，求慢车行驶的时间；

（2）当两车之间的距离为315千米时，求快车所行的路程；

（3）①在慢车从乙地开往甲地的过程中，直接写出快慢两车之间的距离；（用含x的代数式表示）

②若第二列快车也从甲地出发匀速驶往乙地，速度与第一列快车相同，在第一列快车与慢车相遇后30分钟时，第二列快车与慢车相遇，直接写出第二列快车比第一列快车晚出发多少小时．

3.追及问题（同向问题）

1．一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米/时的速度行进，走了18分钟时，学校要将一紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去，通讯员用多少分钟可以追上学生队伍?

2．（2020·全国初一课时练习）如图所示，两人沿着边长为90 m的正方形，按A→B→C→D→A…的方向行走，甲从A点以65 m/min的速度、乙从B点以75 m/min的速度行走，当乙第一次追上甲时，将在正方形的（    ）边上．

A．BC            B．DC            C．AD            D．AB

3．（2020·湖南茶陵·初一期末）甲、乙两人练习短距离赛跑，测得甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，如果甲让乙先跑2秒，那么几秒钟后甲可以追上乙．若设x秒后甲追上乙，列出的方程应为（　　）

A．7x=6.5            B．7x=6.5（x+2）         C．7（x+2）=6.5x           D．7（x﹣2）=6.5x

4．（2020·陕西西安·西北工业大学附属中学期末）一队学生去校外进行军事野营训练，他们以6千米/时的速度行进，在他们走了一段时间后，学校要将一个紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，以10千米/时的速度按原路追上去，用了15分钟追上了学生队伍，问通讯员出发前，学生走了多少时间？

5．（2020·广东郁南·初一期末）某中学学生步行到郊外旅行，七年级班学生组成前队，步行速度为4千米小时，七班的学生组成后队，速度为6千米小时；前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑车的速度为10千米小时．

后队追上前队需要多长时间？后队追上前队的时间内，联络员走的路程是多少？七年级班出发多少小时后两队相距2千米？

6．（2019·山西浑源·初一期末）七年级开展迎新年“迷你小马拉松健身跑”活动，跑步路线为学校附近一段笔直的的健身步道，全长4200米．甲、乙两名同学相约健身，二人计划沿预定路线由起点A跑向终点B．由于乙临时有事，于是甲先出发，3分钟后，乙才出发．已知甲跑步的平均速度为150米/分，乙跑步的平均速度为200米/分．根据题意解决以下问题：（1）求乙追上甲时所用的时间；（2）在乙由起点A到终点B的过程中，若设乙跑步的时间为m分，请用含m的代数式表示甲乙二人之间的距离；（3）当乙到达终点B后立即步行沿原路返回，速度降为50米/分．直接写出乙返回途中与甲相遇时甲离终点B的距离．

4.航行问题（顺逆风问题）

1、一艘船航行于A、B两个码头之间，轮船顺水航行需3小时，逆水航行需5小时，已知水流速度是4千米/时，求这两个码头之间的距离．

2．（2020·河北饶阳·初一期末）轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若船速为26千米/时，水速为2千米/时，求A港和B港相距多少千米．设A港和B港相距x千米．根据题意，可列出的方程是：(    )

A．   B．   C．  D．

3．（2020·新疆初一期末）一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了3小时．已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的平均速度．

5.其他问题

1、某桥长1200m，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了50s，而整个火车在桥上的时间是30s，求火车的长度和速度．

2．（2020·江西南昌·初一期末）如图，时钟是我们常见的生活必需品，其中蕴含着许多数学知识.

（1）我们知道，分针和时针转动一周都是      度，分针转动一周是      分钟，时针转动一周有12小时，等于720分钟；所以，分针每分钟转动      度，时针每分钟转动      度.

（2）从5:00到5:30，分针与时针各转动了多少度？

（3）请你用方程知识解释：从1:00开始，在1:00到2:00之间，是否存在某个时刻，时针与分针在同一条直线上？若不存在，说明理由；若存在，求出从1:00开始经过多长时间，时针与分针在同一条直线上.

3．（2020·江西赣州·）如图，是小虔和小刚两位同学进行一次长跑训练的路程S（单位：米）与所用时间t（单位：秒）之间的函数图象，根据图象解下列问题

（1）这次长跑训练的距离是      米（2）当小虔到达终点时，小刚离终点还有多远？（3）两人起跑后，多少时间第一次相遇？

4．（2019·云南楚雄·初一期末）周末小新去爬山，他上山花了0.8小时，下山时按原路返回，用了0.5小时，已知他下山的平均速度比上山的平均速度快1.5千米/时，求小新上山时的平均速度．

5．（2020·全国）甲、乙两城相距800千米，一辆客车从甲城开往乙城，车速为千米小时，同时一辆出租车从乙城开往甲城，车速为90千米小时，设客车行驶时间为小时

当时，客车与乙城的距离为多少千米用含a的代数式表示

已知，丙城在甲、乙两城之间，且与甲城相距260千米

求客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间；列方程解答

已知客车和出租车在甲、乙之间的服务站M处相遇时，出租车乘客小王突然接到开会通知，需要立即返回，此时小王有两种返回乙城的方案：

方案一：继续乘坐出租车到丙城，加油后立刻返回乙城，出租车加油时间忽略不计；

方案二：在M处换乘客车返回乙城．

试通过计算，分析小王选择哪种方案能更快到达乙城？

题型2工程问题

【要点梳理】

解题技巧：我们常常把工作总量看做单位“1”，工作效率则用几分之几表示。在工程问题中，常常用“不同的对象所完成的工作量之和等于总工作量”这个关系来列写等式方程。

工程问题（多个未知数）

解题技巧：工程问题关键是把“一项工程”看成单位“1”，工作效率就可以用工作时间的倒数来表示。复杂的工程问题，往往需要设多个未知数，不要担心，在求解过程中，有一些未知数是可以约掉的。

【典例精讲】

1．（2020·全国初一课时练习）某地为了打造千年古镇旅游景点，将修建一条长为的旅游大道.此项工程由、两个工程队接力完成，共用时20天.若、两个工程队每天分别能修建、，设工程队修建此项工程，则可列方程为（    ）

A． B．

C． D．

2．（2020·湖北广水·初一期末）某工程甲单独完成要45天，乙单独完成要30天．若乙先单独干22天，剩下的由甲单独完成，则甲、乙一共用几天可以完成全部工作？设甲、乙一共用x天完成，则符合题意的方程是(  )

A． B． C． D．

3．（2020·广西兴宁·南宁三中初三三模）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（   ）

A．24里 B．12里 C．6里 D．3里

4．（2020·丹东市第二十中学初二期中）一项工程，甲独做ah完成，乙单独做bh完成，甲、乙两人一起完成这项工程所需的时间为（　　）

A．h B．（a+b）h C．h D．h

5．（2020·深圳市高级中学初一期末）一项工程，甲单独做5天完成，乙单独做8天完成.若甲先做1天,然后甲、乙合作完成此项工作的.若设甲一共做了x天，则所列方程为（     ）

A． B． C． D．

6．（2020·江苏南京·南师附中宿迁分校初一期末）列方程解应用题：

用甲、乙、丙三部抽水机从矿井里抽水，单独用一部抽水机抽完，用甲需要24小时，用乙需要30小时，用丙需要40小时，现在甲、丙同时抽了6小时后，把乙机加入，问乙加入后还需要多少时间才能把井里的水抽完．

7．（2020·四川汶川·初一期末）某中学库存若干套桌椅，准备修理后支援贫困山区学校．现有甲、乙两修理组，甲修理组单独完成任务需要天，乙修理组单独完成任务需要天．若由甲、乙两修理组同时修理，需多少天可以修好这些套桌椅?若甲、乙两修理组合作天后，甲修理组因新任务离开，乙修理组继续工作．甲完成新任务后，回库与乙又合作天，恰好完成任务．问:甲修理组离开几天?

8．（2020·哈尔滨工业大学附属中学校开学考试）某小区建完之后，需要做内墙粉刷装饰，现有甲、乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天能粉刷个房间，乙工程队每天能粉刷个房间．且单独粉刷这些墙面甲工程队比乙工程队要多用天，在粉刷的过程中，该开发商要付甲工程队每天费用元，付乙工程队每天费用元．（1）求这个小区共有多少间房间？（2）为了尽快完成这项工程，若先由甲、乙两个工程队按原粉刷速度合作一段时间后，甲工程队停工了，而乙工程队每天的粉刷速度提高乙工程队单独完成剩余部分，且乙工程队的全部工作时间是甲工程队的工作时间的倍还多天，求乙工程队共粉刷多少天？（3）经开发商研究制定如下方案:

方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由乙工程队单独完成；方案三：按（3）问方式完成；

请你通过计算帮开发商选择一种既省时又省钱的粉刷方案．

9．（2020·内蒙古乌兰浩特·初一期末）有一批共享单车需要维修，维修后继续投放骑用，现有甲、乙两人做维修，甲每天维修16辆，乙每天维修的车辆比甲多8辆，甲单独维修完成这批共享单车比乙单独维修完多用20天，公司每天付甲80元维修费，付乙120元维修费．

（1）问需要维修的这批共享单车共有多少辆？

（2）在维修过程中，公司要派一名人员进行质量监督，公司负担他每天10元补助费，现有三种维修方案：①由甲单独维修；②由乙单独维修；③甲、乙合作同时维修，你认为哪种方案最省钱，为什么？

10．（2020·全国初一课时练习）松雷中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天能加工这种校服24件．且单独加工这批校服甲工厂比乙工厂要多用20天在加工过程中，学校每天需付甲工厂费用80元，乙工厂费用120元．

（1）这批校服共有多少件？

（2）在实际加工过程中，甲、乙两个工厂按原生产效率合作一段时间后，甲工厂停工了，乙工厂每天的生产效率提高25%，乙工厂单独完成剩余部分，且乙工厂的全部工作时间比甲工厂工作时间的2倍还多4天，则乙工厂共加工多少天？

（3）经学校研究制定如下方案：方案一：由甲工厂单独完成；方案二：由乙工厂单独完成；方案三：按第（2）问方式完成并且每种方案在加工过程中，每个工厂需要一名工程师进行技术指导，并由学校提供每天10元的午餐补助费，请你通过计算帮学校选择一种既省时又省钱的加工方案．

【课后巩固】

1、（2020春•金湖县模拟）5月的第二个周日是母亲节，小东准备精心设计一份手工礼物送给妈妈，为尽快完成手工礼物，小东骑自行车到位于家正西方向的商店购买材料．小东离家15分钟时自行车出现故障，小东立即打电话通知在家看报纸的父亲贺明带上工具箱来帮忙维修，同时小东以原来一半的速度推着自行车继续走向商店．父亲贺明接到电话后（接电话时间忽略不计），立即骑车出发追赶小东，15分钟时追上小东，并修好了自行车，父亲贺明以原速返家，小东以原骑行速度骑车前往商店，10分钟时到达商店，此时两人相距5000米．

（1）求父亲贺明和小东骑车的速度；

（2）求小东家到商店的路程．

2、（2020•泰州二模）某市水果批发欲将A市的一批水果运往本市销售，有火车和汽车两种运输方式，运输过程中的损耗均为200元/时，其它主要参考数据如下：

（1）如果汽车的总支出费用比火车费用多1100元，你知道本市与A市之间的路程是多少千米吗？请你列方程解答．（总支出包含损耗、运费和装卸费用）

（2）如果A市与B市之间的距离为S千米，你若是A市水果批发部门的经理，要想将这种水果运往B市销售，试分析以上两种运输工具中选择哪种运输方式比较合算呢？

3、（2020春•洪泽区模拟）小明、小杰两人在400米的环形赛道上练习跑步，小明每分钟跑300米，小杰每分钟跑220米．

（1）若小明、小杰两人同时同地反向出发，那么出发几分钟后，小明，小杰第一次相遇？

（2）若小明、小杰两人同时同向出发，起跑时，小杰在小明前面100米处．

①出发几分钟后，小明、小杰第一次相遇？

②出发几分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米？

4、（2020春•阜宁县校级期末）已知高铁的速度比动车的速度快50km/h，小路同学从苏州去北京游玩，本打算乘坐动车，需要6h才能到达；由于得知开通了高铁，决定乘坐高铁，她发现乘坐高铁比乘坐动车节约72min．求高铁的速度和苏州与北京之间的距离．

5、（2009秋•太仓市期末）在一条直的河流中有甲、乙两条船，现同时由A地顺流而下．乙船到B地时接到通知需立即返回到C地执行任务，甲船继续顺流航行．已知甲、乙两船在静水中的速度都为每小时7.5km，水流速度为每小时2.5km，A、C两地间的距离为10km．如果乙船由A地经B地到达C共用了4h，问乙船从B地到达C地时，甲船离B地多远？

6、（2010秋•常熟市期末）一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小时，如果小船在静水中航行的速度为14km/h．问A、B两港之间的距离是多少km及小船在顺流时的速度比逆流时的速度快多少？

7、（2013秋•海陵区期末）一艘轮船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2h，从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5h．已知水流速度是4km/h，求船在静水中的速度，以及甲、乙码头之间的距离．

8、（2019•安徽模拟）在某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，乙队单独完成这项工程需要90天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙两队合作完成．

（1）甲、乙两队合作多少天？

（2）甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？

9、（2019秋•兴化市校级期末）某地为了打造风光带，将一段长为360m的河道整治任务分配给甲，乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24m，乙工程队每天整治16m．求：

（1）甲，乙两个工程队分别整治了多长的河道？

（2）甲、乙两工程队各整治河道的天数．

10、（2019秋•建湖县模拟）某中学库存若干套桌凳，准备修理后支援贫困山区学校，现有甲、乙两木工组，甲每天修桌凳16套，乙每天修桌凳比甲多8套，甲单独修完这些桌凳比乙单独修完多用20天，学校每天付甲组80元修理费，付乙组120元修理费．

（1）问该中学库存多少套桌凳？

（2）在修理过程中，学校要派一名工人进行质量监督，学校负担他每天10元生活补助费，现有三种修理方案：①由甲单独修理；②由乙单独修理；③甲、乙合作同时修理．你认为哪种方案省时又省钱，为什么？

11、（2019秋•如皋市月考）整理一批图书，由一个人做要40h完成．现计划由一部分人先做4h，再增加2人和他们一起做8h，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？