初中数学苏科版七年级上册第4章 一元一次方程4.3 用一元一次方程解决问题教案

4.3 用一元一次方程解决问题

【教学目标】

知识与技能：能用一元一次方程解决简单的实际问题，包括列方程、解方程，并能根据实际问题的意义检验所得结果是否合理提高分析问题和解决问题的能力.

过程与方法：经历“问题情境—建立数学模型—解释、应用与拓展”的过程，体会数学的应用价值.

情感态度与价值观：在积极参与教学活动的过程中，初步体验一元一次方程的使用价值，形成实事求是的态度和独立思考的习惯.

【重难点】

重点：通过分析问题中的基本等量关系，建立方程解决问题.

难点：从复杂问题中挖掘条件，由“未知”向“已知”转化，寻找相等关系.

【教学过程】

活动一：创设情境，导入新课

解方程的一般步骤：

由学生思考后口述，教师投影展示答案.

活动二：实践探究，交流新知

【探究一】产品配套问题

投影仪出示问题：某车间有工人660名，生产一种由一个螺栓和两个螺母组成的配套产品，每人每天平均生产螺栓14个或螺母20个．如果你是这个车间的车间主任，你应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？

学生思考并讨论，教师引导：找出此题中的等量关系：生产的螺栓数×2＝生产的螺母数，把相关的代数式代入即可列方程．

教师板书解题过程：

解：设分配x人生产螺栓，则有(660－x)人生产螺母，根据题意得

14x×2＝(660－x)×20，

解得x＝275.

所以660－x＝385.

答：应分配385人生产螺母，275人生产螺栓．

教师总结列一元一次方程解应用题的一般步骤：审清题意、设未知数、列出方程、解方程、写出答案．

【探究二】工程问题

投影仪出示问题：一个道路工程，甲队单独施工9天完成，乙队单独做24天完成．现在甲乙两队共同施工3天，因甲另有任务，剩下的工程由乙队完成，问乙队还需几天才能完成？

学生思考并讨论，教师引导：首先设乙队还需x天才能完成，由题意可得等量关系：甲队干三天的工作量＋乙队干(x＋3)天的工作量＝1，根据等量关系列出方程，求解即可．

教师板书解题过程：

解：设乙队还需x天才能完成，由题意得

19×3＋124(3＋x)＝1，

解得x＝13.

答：乙队还需13天才能完成．

师生共同归纳总结：找到等量关系是解决问题的关键．此题主要考查的等量关系为：工作效率×工作时间＝工作总量，当题中没有一些必须的量时，为了简便，应设其为1.

【探究三】销售问题

投影仪出示问题：某商店的某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？

学生先尝试利用上面有关商品盈亏的数量关系进行估算，再小组内讨论用方程思想求解验证估算结果.

师生合作探究解题思路：卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，取决于这两件衣服售价多少，进价多少.若售价大于进价，就盈利，反之就亏损．现已知这两件衣服总售价为 60×2=120（元），要求出这两件衣服的进价．假设一件商品地进价是40元，如果卖出后盈利25%，那么商品的利润是0.25×40.如果卖出后亏损25%，商品的利润是-0.25×40.

教师板书解题过程.

解：设盈利25%的那件衣服的进价是元，它的商品利润就是0.25x.

根据进价与利润的和等于售价，列出方程：

.

解得.

类似地，可以设另一件衣服的进价为元，它的利润是元，列出方程

.

解得.

两件衣服的总进价是元，而两件衣服的总售价是60+60=120元，进价大于售价，由此可知卖这两件衣服总共亏损8元.

【探究四】储蓄问题

投影仪出示问题：假设某银行一年定期储蓄的年利率为3.25%，小明取出一年到期的本金及利息1 032.5元，则小明存入银行的钱为多少元？

学生思考，教师引导，请学生代表板书解题过程：

解：设小明存入银行的钱为x元，根据题意，得

3.25%x＋x＝1 032.5，

解得x＝1 000.

答：小明存入银行的钱为1 000元．

师生共同总结：（1）利息＝本金×利率×期数；

（2）本息和（本利）＝本金＋利息；

（3）税后利息=利息-利息×利息税率.

【探究五】比赛问题

投影仪出示问题：下面是某次篮球联赛积分表，请认真观察后回答问题.

(1)用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系；

(2)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？并说明理由．

学生思考，教师引导： (1)如果一个队胜x场，根据比赛场次为16次，从而可得出负(16－x)场，再根据积分＝胜场积分＋负场的积分即可求解；

(2)根据等量关系：某队的胜场总积分能等于它的负场总积分得出方程，解出x的值后结合实际进行判断即可．

解：(1)由H队得分可知，负一场积1分，再根据表中其他队比分可知胜一场积2分，如果一个队胜x场，则负(16－x)场，胜场积分为2x分，负场积分为(16－x)分，总积分为2x＋(16－x)＝(16＋x)分．故总积分与胜、负场数之间的数量关系为：2x＋(16－x)＝16＋x；

(2)设某队胜x场时胜场总积分等于它的负场总积分．根据题意得2x＝16－x，3x＝16，x＝，不是正整数，则某队的胜场总积分不能等于它的负场总积分．

师生共同总结：解答本题的关键是根据表格得出胜一场、负一场各自所得的积分．

【探究六】追及问题

1.时间不同的追及问题

小明每天早上要在7:50之前赶到距家1 000 m的学校上学. 一天，小明以80 m/min的速度出发，5 min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书. 于是，爸爸立即以180 m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他.

（1）爸爸追上小明用了多长时间？

（2）追上小明时，距离学校还有多远?

教师让学生自己来分析问题，列出方程，并要求学生讲述分析的过程和这样列方程的理由.

如果学生有利用线段图分析问题的，教师要立刻给予肯定. 如果没有利用线段图分析问题的，教师要引导学生利用线段图分析问题.

分析：当爸爸追上小明时，两人所行的路程相等（如图）.

解：（1）设爸爸追上小明用了x min.

根据题意，得180x=80x+80×5. 解得x=4.

答：爸爸追上小明用了4 min.

（2）180×4=720（m），1 000-720=280（m）.

答：追上小明时，距离学校还有280 m.

小结：①同向而行，甲先走，乙后走，v甲<v乙；

②等量关系：甲的路程=乙的路程，甲的时间=乙的时间+时间差.

2.起点不同的追及问题

甲、乙两站之间的距离为450 km，一列慢车从甲站开出，每小时行驶65 km，一列快车从乙站开出，每小时行驶85 km. 设两车同时开出，同向而行，则快车几小时后追上慢车？

教师先让学生利用刚才学到的线段图分析问题，再设未知数，列方程，最后解方程.

分析：快车所用的时间=慢车所用的时间，快车行驶的路程=慢车行驶的路程+甲、乙两站之间的距离（如图）.

解：设快车x小时后追上慢车.

根据题意，得85x=65x+450. 解得x=22.5.

答：快车22.5小时后追上慢车.  

小结：①同向而行，甲、乙同时走，v甲<v乙；

②等量关系：甲的时间=乙的时间，乙的路程=甲的路程+起点距离.

【探究七】相遇问题

A，B两地相距280 m，甲、乙两人同时出发，甲从A地向B地走，每秒走8 m，乙从B地向A地走，每秒走6 m，那么甲出发几秒后与乙相遇？

教师首先让学生利用线段图分析问题，然后设未知数，列方程，最后解方程.

分析：甲走的时间=乙走的时间，甲走过的路程+乙走过的路程=A，B两地的距离（如图）.

解：设甲出发x秒后与乙相遇.

根据题意，得8x+6x=280. 解得x=20.

答：甲出发20秒后与乙相遇. 

小结：①相向而行；

②等量关系：甲所用的时间=乙所用的时间，甲的路程+乙的路程=总路程.

【当堂反馈】

1.用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身16个或制盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有100张白铁片，用多少张制作盒身，多少张制作盒底，可以既使做出的盒身和盒底配套，又能充分地利用白铁皮？

2.一件工作由一个人做要50小时，现在计划由一部分人先做5小时，再增加2人和他们一起做10小时，完成了这项工作，问先安排多少人工作？

3.某天，一蔬菜经营户用114元从蔬菜批发市场购进黄瓜和土豆共40kg到菜市场去卖，黄瓜和土豆这天的批发价和零售价(单位：元/kg)如下表：

(1)他当天购进黄瓜和土豆各多少千克？

(2)如果黄瓜和土豆全部卖完，他能赚多少钱？

4.某商品的进价是1 000元，售价是1 500元，由于销售情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润率不低于5%，那么商店最多可打几折出售此商品？

5.两列火车同时从相距600千米的甲乙两地相向而行，经过4小时两列火车在途中相遇. 已知客车每小时行驶80千米，则货车每小时行驶多少千米？

【课后小结】

列一元一次方程解应用题的一般步骤：审、设、找、列、解、验、答.