2020-2021学年江苏省扬州市高二（下）3月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年江苏省扬州市高二（下）3月月考数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. A42+C63=( )
A.26B.32C.126D.132

2. 某公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有( )
A.510种B.105种C.50种D.3024种

3. 已知a，b∈R，若a−2i=b+ii(i是虚数单位)，则复数a+bi是( )
A.1−2iB.1+2iC.2−iD.2+i

4. 2020年是全面建成小康社会的目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战的收官之年．为更好地将“精准扶贫”落到实处，某地安排7名干部(3男4女)到三个贫困村调研走访，每个村安排男、女干部各1名，剩下1名干部负责统筹协调，则不同的安排方案有( )
A.72种B.108种C.144种D.210种

5. 如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，⋯，a12，设1≤i≤j≤k≤12．若k−j=3且j−i=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k−j=4且j−i=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为( )

A.8B.10C.12D.15

6. 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）
A.150种B.180种C.300种D.345种

7. 一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )
A.3×3!B.3×(3!)3C.(3!)4D.9!

8. 用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取，“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )
A.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5
B.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5
C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)
D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)
二、多选题

对任意z1,z2,z∈C，下列结论成立的是( )
A.当m，n∈N∗时，有zmzn=zm+n
B.当z1，z2∈C时，若z12+z22=0，则z1=0且z2=0
C.互为共轭复数的两个复数的模相等，且|z¯|2=|z|2=z⋅z¯
D.z1=z2的充要条件是|z1|=|z2|

若复数z满足z⋅2+i=z¯⋅1−i+1，则关于复数z的说法不正确的是( )
A.复数z的实部为1
B.复数z的虚部为0
C.复数z的模长为1
D.复数z对应的复平面上的点在第一象限

如果4个学生和3个老师排成一排照相，规定两端不能排老师，那么排法种数是( )
A.A77B.A53A44C.A73A74D.A42A55

现安排甲，乙，丙，丁，戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是( )
A.每人都安排一项工作的不同方法数为1024
B.若每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为240
C.如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，那么这5名同学全部被安排的不同方法数为150
D.每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是162
三、填空题

复数z=i1+i在复平面上对应的点位于________象限.

用0，1，2，3，4，5六个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是________；可以组成有重复数字的三位数的个数为________.

设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2，z1+z2=3+i，则|z1−z2|=________.

A，B，C，D，E，F，G七个字母排成一行，且A，B均在C的同侧，则不同的排法有________种(用数字作答)．
四、解答题

书架的第1层放有6本不同的计算机书，第2层放有7本不同的文艺书，第3层放有8本不同的体育书．
(1)从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？

(2)从书架的第1，2，3层各取1本书，有多少种不同的取法？

(3)从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？

关于x的方程x2+2a−ix−ai+1=0有实根，求出该实根及实数a的值．

某班要从6名男生4名女生中选出5人担任5门不同学科的课代表，请分别求出满足下列条件的方法种数．
(1)所安排的男生人数不少于女生人数；

(2)男生甲必须是课代表，但不能担任语文课代表；

(3)女生乙必须担任数学课代表，且男生甲必须担任课代表，但不能担任语文课代表．

学校将要举行校园歌手大赛，现有3男3女参加，需要安排他们的出场顺序．
(1)如果3个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？

(2)如果男女相间，那么有多少种不同的出场顺序？

(3)如果女生甲在女生乙的前面(可以不相邻)，那么有多少种不同的出场顺序？

(4)如果3位男生都相邻，且女生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？

已知z为虚数，z+4z−2为实数.
(1)若z−2为纯虚数，求虚数z；

(2)求|z−4|的取值范围.

按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？
(1)5个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；

(2)5个不同的小球放入3个不同的盒子，恰有1个空盒；

(3)5个相同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；

(4)5个相同的小球放入3个不同的盒子．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江苏省扬州市高二(下)3月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
组合及组合数公式
排列及排列数公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵A42=4×3=12，
C63=6×5×43×2×1=20，
∴A42+C63=32.
故选B.
2.
【答案】
A
【考点】
分步乘法计数原理
【解析】
每个人有五种下车的方式，乘客下车这个问题可以分为十步完成，故有乘法原理得出结论，再选出正确选项
【解答】
解：由题意，每个人有五种下车的方式，
要完成10位乘客全部下车，可以分为十步完成，
故乘客下车可能的方式有510种.
故选A.
3.
【答案】
B
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数相等的充要条件
【解析】
根据复数的除法，先得到a−2i=−bi+1，根据复数相等，求出参数，即可得出结果．
【解答】
解：因为a−2i=b+ii=b+i−ii−i=−bi+1，
所以a=1，b=2，
所以a+bi=1+2i.
故选B．
4.
【答案】
C
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
每个村男、女干部各1名，∴ 可先安排男干部，共A33=6种，再安排女干部，共有C41A33=24种，∴ 共有6×24=14种不同的安排方案，故选C．
【解答】
解：∵ 每个村男、女干部各1名，
∴ 可先安排男干部，共A33=6种，
再安排女干部，共有C43A33=24种，
∴ 共有6×24=144种不同的安排方案.
故选C．
5.
【答案】
B
【考点】
基本事件个数（列举法、列表法、树状图法）
【解析】
由原位大三和弦、原位小三和弦的定义，运用列举法，即可得到所求和.
【解答】
解：原位大三和弦：i=1，j=5，k=8；
i=2，j=6，k=9；i=3，j=7，k=10；
i=4，j=8，k=11；i=5，j=9，k=12，共5个；
原位小三和弦：i=1，j=4，k=8；
i=2，j=5，k=9；i=3，j=6，k=10；
i=4，j=7，k=11；i=5，j=8，k=12，共5个.
总计10个.
故选B.
6.
【答案】
D
【考点】
分类加法计数原理
【解析】
选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．
【解答】
解：一名女生来自甲组有C51⋅C31⋅C62=225种选法，
一名女生来自乙组有C52⋅C61⋅C21=120种选法，
故共有225+120=345种选法．
故选D.
7.
【答案】
C
【考点】
排列、组合的应用
排列、组合及简单计数问题
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】

【解答】
解：根据题意，分2步进行：
①将每个三口之家都看成一个元素，每个家庭都有A33种排法，
则三个三口之家共有A33⋅A33⋅A33=A333种排法；
②将三个整体元素进行排列，共有A33种排法，
故不同的坐法种数为A33(A33)3=3!4.
故选C．
8.
【答案】
B
【考点】
归纳推理
排列与组合的综合
【解析】
根据“1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来”，分别取红球蓝球黑球，根据分步计数原理，分三步，每一步取一种球，问题得以解决．
【解答】
解：从5个无区别的红球中取出若干个球，
可以1个球都不取或取1个，2个，3个，4个，5个球，共6种情况，
则其所有取法为1+a+a2+a3+a4+a5；
从5个无区别的蓝球中取出若干个球，
因为所有的蓝球都取出或都不取出，
所以其所有取法为1+b5；
从5个有区别的黑球中取出若干个球，
可以1个球都不取或取1个，2个，3个，4个，5个球，共6种情况，
则其所有取法为1+C51c+C52c2+C53c3+C54c4+C55c5=(1+c)5，
根据分步乘法计数原理得，适合要求的所有取法是：
(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5．
故选B．
二、多选题
【答案】
A,C
【考点】
命题的真假判断与应用
复数的基本概念
【解析】
本题主要考查复数的概念以及运算问题 .
【解答】
解：设z1=a+bi，z2=c+di，
∴ zm⋅zn=z(m+n)，
∴ A正确 ；
∴ (z1)2+(z2)2=a2−b2+2abi+c2−d2+2cdi
=(a2+c2−b2−d2)+(2ab+2dc)i=0,
∴ a2+c2−b2−d2=0且2ab+2cd=0，
∴ B错误 ；
∵ z¯=a−bi，
∴ |z|2=|z¯|2=a2+b2=z⋅z¯，
∴ C正确 ；
若z1，z2是共轭复数，则|z1|=|z2|
但z1不等于z2，
∴ D错误 .
故选AC .
【答案】
B,C,D
【考点】
复数的模
复数的运算
复数的基本概念
复数代数形式的乘除运算
【解析】
首先求出复数z，再判断相关概念即可.
【解答】
解：设z=a+bi ，则z¯=a−bi，
∴ (a+bi)(2+i)=(a−bi)(1−i)+1，
则2a+2bi+ai−b=a−ai−bi−b+1，
∴ a−1+(2a+3b)i=0，
∴ a−1=0，2a+3b=0，
则a=1，b=−23，
∴ z=1−23i.
A，复数z的实部为1，故A正确；
B，复数z的虚部为−23，故B不正确；
C，复数z的模长为1+49≠1，故C不正确；
D，复数z对应的复平面上的点为1,−23，位于第四象限，故D不正确.
故选BCD.
【答案】
B,D
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
利用两种不同的方法，即可得到结果.
【解答】
解：先选2名学生排在两端，
剩下的学生和老师有A42A55种排法.
先排4个学生，老师再站学生中间，
则有A53A44种.
故选BD.
【答案】
A,B,C
【考点】
进行简单的合情推理
排列、组合的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A，每人有四项工作可以安排，
则五人都安排一项工作的不同方法数为45=1024，故选项A正确；
B，若每项工作至少有一人参加，则有一项工作安排两人，
则不同的方法数为C41C52A33=240，故选项B正确；
C，由于司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，
则这5名同学全部被安排的不同方法数为：
C53A33+C52C32A22A33=150，故选项C正确；
D，分以下两种情况讨论：
第一种只安排一人开车工作，有3种选择，
然后将其余4人分为3组，分配给其余三种工作，
则安排方案的种数为C31C42A33=108；
第二种有两人从事开车工作，有C32种选择，
然后将其余3人分配给其他三种工作，
则安排方案的种数为C32A33=18．
综上所述，不同安排方案的种数为108+18=126，故选项D错误.
故选ABC.
三、填空题
【答案】
一
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数代数形式的乘除运算
【解析】
首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母根据平方差公式得到一个实数，分子进行复数的乘法运算，得到最简结果，写出对应的点的坐标，得到位置．
【解答】
解：∵ z=i1+i=i(1−i)1−i2=12+12i，
∴ 复数z在复平面上对应的点位于第一象限．
故答案为：一.
【答案】
100,180
【考点】
计数原理的应用
【解析】
无重复数字的三位数中，特殊位置优先考虑，百位数字不能为0，后面两位不能重复，分步计数要相乘；有重复数字的三位数
，直接分步考虑即可．
【解答】
解：百位的数字可以选择的种数为5种，
当组成没有重复数字的三位数时，
十位，个位可以选的种数分别为5种，4种，
则可组成没有重复数字的三位数的种数为5×5×4=100(种).
当组成有重复数字的三位数时，
十位，个位可以选的种数分别为6种，6种，
则可组成有重复数字的三位数的种数为5×6×6=180(种).
故答案为：100；180.
【答案】
23
【考点】
复数的模
【解析】
首先设出复数z1=a+bi，根据z1+z2=3+i求出z2，利用复数模的计算公式求解即可.
【解答】
解：由题设z1=a+bi，则z2=3−a+1−bi，
故 |z1|2=a2+b2=4，
|z2|2=3−a2+1−b2
=a2+b2−23a−2b+4=4，
则|z1−z2|2=2a−32+2b−12
=4a2+4b2−43a−4b+4
=2a2+b2+2a2+b2−23a−2b+4
=2×4+4=12，
故|z1−z2|=23.
故答案为：23.
【答案】
3360
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
分别讨论左侧和右侧，再插空排列即可.
【解答】
解：若A，B排在C的左侧，有A22种，
再将D，E，F，G逐个插空，有4×5×6×7种，
共有A22×4×5×6×7=1680 (种).
若A，B排在C的右侧，同样有1680种，
所以共有1680×2=3360(种)．
故答案为：3360.
四、解答题
【答案】
解：1从书架上任取1本书，有3类方法：
第1类方法是从第1层取1本计算机书，有6种方法；
第2类方法是从第2层取1本文艺书，有7种方法；
第3类方法是从第3层取1本体育书，有8种方法.
根据分类加法计数原理，
不同取法的种数是：6+7+8=21(种).
2从书架的第1，2，3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：
第1步从第1层取1本计算机书，有6种方法；
第2步从第2层取1本文艺书，有7种方法；
第3步从第3层取1本体育书，有8种方法.
根据分步乘法计数原理，
不同取法的种数是：6×7×8=336(种).
3从书架上任取2本不同学科的书，有3类办法：
第1类办法是取1本计算机书与1本文艺书，有6×7=42种方法；
第2类办法是取1本计算机书与1本体育书，有6×8=48种方法；
第3类办法是取1本文艺书与1本体育书，有7×8=56种方法.
根据分类计数原理，不同取法的种数是42+48+56=146(种).
【考点】
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
计数原理的应用
【解析】
1利用分类计数原理即可得到答案；
2利用分步计数原理，即可得到答案；
3直接分三类考虑，每次取不同类型的两种，即可得到答案.
【解答】
解：1从书架上任取1本书，有3类方法：
第1类方法是从第1层取1本计算机书，有6种方法；
第2类方法是从第2层取1本文艺书，有7种方法；
第3类方法是从第3层取1本体育书，有8种方法.
根据分类加法计数原理，
不同取法的种数是：6+7+8=21(种).
2从书架的第1，2，3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：
第1步从第1层取1本计算机书，有6种方法；
第2步从第2层取1本文艺书，有7种方法；
第3步从第3层取1本体育书，有8种方法.
根据分步乘法计数原理，
不同取法的种数是：6×7×8=336(种).
3从书架上任取2本不同学科的书，有3类办法：
第1类办法是取1本计算机书与1本文艺书，有6×7=42种方法；
第2类办法是取1本计算机书与1本体育书，有6×8=48种方法；
第3类办法是取1本文艺书与1本体育书，有7×8=56种方法.
根据分类计数原理，不同取法的种数是42+48+56=146(种).
【答案】
解：设x0是方程的一个实根，
代入方程有x02+(2a−i)x0−ai+1=0，
则x02+2ax0+1−a+x0i=0，
则x02+2ax0+1=0，a+x0=0，
解得a=1，x0=−1或a=−1，x0=1.
【考点】
复数相等的充要条件
【解析】
直接设出实数根，再利用复数相等，构造即可.
【解答】
解：设x0是方程的一个实根，
代入方程有x02+(2a−i)x0−ai+1=0，
则x02+2ax0+1−a+x0i=0，
则x02+2ax0+1=0，a+x0=0，
解得a=1，x0=−1或a=−1，x0=1.
【答案】
解：1根据题意，分3种情况讨论：
①选出的5人全部是男生，有C65A55种情况；
②选出的5人中有4名男生，1名女生，有C41C64A55种情况；
③选出的5人中有3名男生，2名女生，有C42C63A55种情况，
则男生人数不少于女生人数的种数有：
C65A55+C64C41A55+C63C42A55=22320(种).
2根据题意，分3步分析：
①在其他9人中任选4人，有C94种选法；
②由于甲不能担任语文课代表，
则甲可以担任其他4科的课代表，有C41种选法；
③将其他4人全排列，担任其他4科的课代表，有A44种情况，
则有C94C41A44=12096种安排方法.
3根据题意，分3步分析：
①由于女生乙必须担任数学课代表，甲不能担任语文课代表，
则甲可以担任其他3科的课代表，有C31种选法；
②在其他8人中任选3人，有C83种选法；
③将其他3人全排列，担任其他3科的课代表，有A33种情况，
则有C31C83A33=1008种安排方法．
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
1根据题意，分3种情况讨论：
①，选出的5人全部是男生，
②，选出的5人中有4名男生、1名女生，
③，选出的5人中有3名男生、2名女生，由加法原理计算可得答案；

3根据题意，分3步分析：
①，由于女生乙必须担任数学课代表，甲不能担任语文课代表，则甲可以担任其他3科的课代表，
②，在其他8人中任选3人，
③，将其他3人全排列，担任其他3科的课代表，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】
解：1根据题意，分3种情况讨论：
①选出的5人全部是男生，有C65A55种情况；
②选出的5人中有4名男生，1名女生，有C41C64A55种情况；
③选出的5人中有3名男生，2名女生，有C42C63A55种情况，
则男生人数不少于女生人数的种数有：
C65A55+C64C41A55+C63C42A55=22320(种).
2根据题意，分3步分析：
①在其他9人中任选4人，有C94种选法；
②由于甲不能担任语文课代表，
则甲可以担任其他4科的课代表，有C41种选法；
③将其他4人全排列，担任其他4科的课代表，有A44种情况，
则有C94C41A44=12096种安排方法.
3根据题意，分3步分析：
①由于女生乙必须担任数学课代表，甲不能担任语文课代表，
则甲可以担任其他3科的课代表，有C31种选法；
②在其他8人中任选3人，有C83种选法；
③将其他3人全排列，担任其他3科的课代表，有A33种情况，
则有C31C83A33=1008种安排方法．
【答案】
解：1先排3个男生，总共有A33种可能；
再在产生的四个空中，选出3个，将女生进行排列，有A43种可能，
故所有不同出场顺序有： A33A43=144(种).
2第一步，先排3个男生，总共有A33种可能；
第二步，去除男生左端的位置，插空全排有A33种可能，
去除男生右端的位置，插空全排有A33种可能，
故此时有2A33种可能，
故所有不同出场顺序有： 2A33A33=72(种).
3先计算全部的排列可能有A66种可能，
因为每一次全排列，甲乙都有A22种可能，
故甲和乙定序的排列有A66A22=360(种).
4将3个男生进行捆绑后，总共有4个元素进行排列，
先从女生甲以外的3个元素中选取1个第一个出场，
再对剩余3个元素进行全排列，
同时对3个男生也要进行全排列，
故所有的可能有A33C31A33=108(种).
【考点】
排列、组合的应用
排列、组合及简单计数问题
【解析】
1先排男生，再插空即可；
2首先排男生，再插空排列即可；
3先全排，再除序即可；
4将3个男生进行捆绑后，总共有4个元素进行排列，先从甲女生以外的3个元素中选取1个第一个出场，再对剩余3个元素进行全排列，同时对3个男生也要进行全排列.
【解答】
解：1先排3个男生，总共有A33种可能；
再在产生的四个空中，选出3个，将女生进行排列，有A43种可能，
故所有不同出场顺序有： A33A43=144(种).
2第一步，先排3个男生，总共有A33种可能；
第二步，去除男生左端的位置，插空全排有A33种可能，
去除男生右端的位置，插空全排有A33种可能，
故此时有2A33种可能，
故所有不同出场顺序有： 2A33A33=72(种).
3先计算全部的排列可能有A66种可能，
因为每一次全排列，甲乙都有A22种可能，
故甲和乙定序的排列有A66A22=360(种).
4将3个男生进行捆绑后，总共有4个元素进行排列，
先从女生甲以外的3个元素中选取1个第一个出场，
再对剩余3个元素进行全排列，
同时对3个男生也要进行全排列，
故所有的可能有A33C31A33=108(种).
【答案】
解：(1)设z=a+bi(a,b∈R,b≠0)，z−2=a−2+bi.
由z−2为纯虚数得a=2，所以z=2+bi，
则z+4z−2=2+bi+4bi=2+b−4bi.
因为z+4z−2为实数，
得b−4b=0，b=±2，
所以z=2+2i或z=2−2i.
(2)z+4z−2=a+bi+4a−2+bi=a+bi+4(a−2−bi)(a−2)2+b2
=a+4(a−2)(a−2)2+b2+b−4b(a−2)2+b2i，
所以b−4b(a−2)2+b2=0.
因为b≠0，所以(a−2)2+b2=4.
由(a−2)2