2020-2021学年甘肃省天水市高二（下）7月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年甘肃省天水市高二（下）7月月考数学试卷人教A版，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 设全集I={0, 1, 2, 3}，集合M={0, 1, 2}，N={0, 2, 3}，则M∩∁IN等于( )
A.{1}B.{2, 3}C.{0, 1, 2}D.⌀

2. 在等比数列{an}中，a5=−16，a8=8，则a11=( )
A.−4B.±4C.−2D.±2

3. 下列四个函数中，在区间(0, +∞)上是减函数的是（ ）
A.y=lg3xB.y=3xC.y=x12D.y=1x

4. 若sinα=45，且α为锐角，则tanα的值等于（ ）
A.35B.−35C.43D.−43

5. 在△ABC中，a=2，b=2，∠A=π4，则∠B=( )
A.π3B.π6C.π6或5π6D.π3或2π3

6. 等差数列{an}中，若S9=9，则a4+a6=( )
A.0B.1C.2D.3

7. 若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( )
A.1a<1bB.a2>b2C.ac2+1>bc2+1D.a|c|>b|c|

8. 已知二次函数f(x)=(x−2)2+1，那么（ ）
A.f(2)
9. 若函数f(x)=3x+5，x≤1，−x+9，x>1， 则f(x)的最大值为（ ）
A.9B.8C.7D.6

10. 在下列命题中，正确的是（ ）
A.垂直于同一个平面的两个平面互相平行
B.垂直于同一个平面的两条直线互相平行
C.平行于同一个平面的两条直线互相平行
D.平行于同一条直线的两个平面互相平行
二、填空题

某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间[4, 5)上的数据的频数为________．


函数fx=lga1−x2的定义域为________.

一个骰子连续投2次，点数和为4的概率________．

阅读程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S=________；T=________．
三、解答题

如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AC为底面ABCD的对角线，E为D1D的中点.

(1)求证：D1B⊥AC；

(2)求证：D1B // 平面AEC．

在△ABC中，A，B，C为三个内角，f(B)=4sinBsin2B2+sin2B+1．
(1)若f(B)=2，求角B；

(2)若f(B)−m<2恒成立，求实数m的取值范围．

已知函数y=f(x)，x∈N∗，y∈N∗，满足：
①对任意a，b∈N∗，a≠b，都有af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a)；
②对任意n∈N∗都有f[f(n)]=3n．
(1)试证明：f(x)为N∗上的单调增函数；

(2)求f(1)+f(6)+f(28)；

(3)令an=f(3n)，n∈N∗，试证明：1a1+1a2+…+1an<14．
参考答案与试题解析
2020-2021学年甘肃省天水市高二（下）7月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
直接利用交集和补集的运算得答案．
【解答】
解：∵ 全集I={0, 1, 2, 3}，N={0, 2, 3}，
∴ ∁IN={1}，
又M={0, 1, 2}，
则M∩∁IN={1}．
故选A．
2.
【答案】
A
【考点】
等比数列的性质
【解析】
根据等比数列的性质得到a8等于a5的与q3的积，把已知的a5和a8的值代入即可求出q3的值，然后再利用等比数列的性质得到a11为a8与q3的积，将a8及求出的q3的值代入即可求出值．
【解答】
解：根据等比数列的性质得：a8=a5q3，
由a5=−16，a8=8，得到q3=8−16=−12，
则a11=a8q3=8×(−12)=−4．
故选A.
3.
【答案】
D
【考点】
函数单调性的性质
【解析】
由对数函数，指数函数，幂函数的单调性很容易得到答案．
【解答】
解：A、∵ y=lg3x在 (0, +∞)上是增函数，故不符合题意；
B、y=3x在R上是增函数，∴ y=3x在 (0, +∞)上是增函数，故不符合题意；
C、y=x12在 (0, +∞)上是增函数，故不符合题意；
D、y=1x在 (0, +∞)上是减函数，故符合题意.
故选D.
4.
【答案】
C
【考点】
同角三角函数间的基本关系
【解析】
由题意求出csα的值，然后求出正切值．
【解答】
解：若sinα=45，且α为锐角，
所以csα=35，
所以tanα=4535=43．
故选C．
5.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
【解析】
利用正弦定理和已知的两边和其中一边的对角求得sinB的值，进而求得B．
【解答】
解：由正弦定理可知asinA=bsinB，
∴ sinB=sinAa⋅b=222×2=12，
∵ b∴ B∴ B=π6.
故选B.
6.
【答案】
C
【考点】
等差数列的性质
【解析】
（法一）用公式S9=9×(a1+a9)2=9，解a1+a9=2，利用性质可得a4+a6=a1+a9=2
（法二）用公式S9=9a1+9×8d2=9，解得a1+4d=1，而a4+a6=2(a1+4d)=2
【解答】
解：设等差数列的首项为a1
由等差数列的前n项和可得S9=a1+a92×9=9，
所以a1+a9=2，
又因为a4+a6=a1+a9，
所以a4+a6=2.
故选C.
7.
【答案】
C
【考点】
不等式的基本性质
不等式比较两数大小
【解析】
本选择题利用取特殊值法解决，即取符合条件的特殊的a，b的值，可一一验证A，B，D不成立，而由不等式的基本性质知C成立，从而解决问题．
【解答】
解：对于A，取a=1，b=−1，即知不成立，故错；
对于B，取a=1，b=−1，即知不成立，故错；
对于C，由于c2+1>0，由不等式基本性质即知成立，故对；
对于D，取c=0，即知不成立，故错.
故选C．
8.
【答案】
A
【考点】
二次函数的性质
函数单调性的性质
【解析】
根据已知可知二次函数的对称轴和开口方向，从而求得函数的单调区间，利用函数的对称性和单调性即可求得结果．
【解答】
解：∵ 已知二次函数f(x)=(x−2)2+1对称轴为x=2，
且在(−∞, 2)上单调递减，
∴ f(3)=f(1)，
∴ f(2)故选A．
9.
【答案】
B
【考点】
函数的最值及其几何意义
【解析】
由解析式可以看出，所给的函数是一个分段函数，在(−∞, 1]上增，在(1, +∞)上减，故可得函数的最大值在x=1处取到，代入求值即可
【解答】
解：由f(x)=3x+5，x≤1，−x+9，x>1， 函数的最大值在x=1处取到，
∴ f(1)=3×1+5=8.
故选B．
10.
【答案】
B
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
根据题意，分析命题，根据平面与直线平行的理论知，①三个平面或三条直线两两平行，则平面或直线平行，②若平面和直线在一起判断则不一定正确，③直线都与一个平面垂直，则直线平行，④几个平面都与一个平面垂直，不能确定位置关系，综合可得答案．
【解答】
解：A：垂直于同一平面的两个平面可能相交，可能平行，故A不正确；
B：垂直于同一平面的两条直线互相平行，故B正确；
C：平行于同一平面的两条直线可能平行，可能相交，可能异面，故C不正确；
D：平行于同一条直线的两个平面互相平行也可能相交，故D不正确.
故选B．
二、填空题
【答案】
30
【考点】
频数与频率
【解析】
根据频率分布直方图各组频率之和为1，从图中的各段的频数计算出在区间[4, 5)上的频率，再由频率=频数数据总和，计算其频数．
【解答】
解：根据题意，
在区间[4, 5)的频率为：0.3，
而总数为100，因此频数为100×0.3=30．
故答案为：30．
【答案】
−1,1
【考点】
对数函数的定义域
【解析】
令真数部位大于0即可求解
【解答】
解：要使函数有意义，则1−x2>0，
解得−1故答案为：−1,1.
【答案】
112
【考点】
古典概型及其概率计算公式
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共6×6个，满足条件的事件是点数和为4的可以列举出有(1, 3)、(2, 2)、(3, 1)共3个，根据古典概型概率公式得到结果．
【解答】
解：由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的基本事件共6×6=36个，
满足条件的事件是点数和为4的可以列举出有(1, 3)、(2, 2)、(3, 1)共3个，
∴ P=36×6=112.
故答案为：112.
【答案】
2550,2500
【考点】
循环结构的应用
等差数列的前n项和
【解析】
根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加循环变量n的值，并将其保存在S、T中．
【解答】
解：依据框图可得：
S=100+98+96+...+2=2550，
T=99+97+95+...+1=2500.
故答案为：2550；2500．
三、解答题
【答案】
证明：(1)连接BD，
在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，
∵ DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴ DD1⊥AC，
∵ ABCD是正方形，
∴ AC⊥BD，
∵ DD1⊥AC，AC⊥BD，BD∩DD1=D，
∴ AC⊥平面D1DB，
∵ D1B⊂平面D1DB，
∴ AC⊥D1B.
(2)设BD∩AC=O连接OE，
∵ ABCD是正方形，
∴ BO=DO，
∵ E是D1D的中点，
∴ EO是△D1DB的中位线，
∴ D1B//EO，
∵ D1B⊄平面AEC，EO⊂平面AEC，
∴ D1B//平面AEC.
【考点】
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的性质
平面与平面平行的判定
【解析】
（I）连接BD，由正四棱柱的结构特征，用正方形对角线互相垂直的性质，结合线面垂直的判定定理我们可以证明出AC⊥平面D1DB，进而根据线面垂直的性质得到D1B⊥AC；
(Ⅱ)BD∩AC=O，连接OE，由三角形中位线定理，我们可得D1B // EO，再由线面平行的判定定理，即可得到D1B // 平面AEC．
【解答】
证明：(1)连接BD，
在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，
∵ DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴ DD1⊥AC，
∵ ABCD是正方形，
∴ AC⊥BD，
∵ DD1⊥AC，AC⊥BD，BD∩DD1=D，
∴ AC⊥平面D1DB，
∵ D1B⊂平面D1DB，
∴ AC⊥D1B.
(2)设BD∩AC=O连接OE，
∵ ABCD是正方形，
∴ BO=DO，
∵ E是D1D的中点，
∴ EO是△D1DB的中位线，
∴ D1B//EO，
∵ D1B⊄平面AEC，EO⊂平面AEC，
∴ D1B//平面AEC.
【答案】
解：(1)∵ f(B)=2sinB+1=2，
∴ sinB=12，
∵ 0∴ B=π6或5π6．
(2)∵ f(B)−m<2恒成立，
∴ 2sinB−1∵ 0∴ 2sinB−1∈(−1, 1)，
∴ m>1．
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
三角函数的最值
函数恒成立问题
【解析】
（1）由f(B)=2sinB+1=2，可得sinB=12，根据0（2）由f(B)−m<2恒成立，可得2sinB−11．
【解答】
解：(1)∵ f(B)=2sinB+1=2，
∴ sinB=12，
∵ 0∴ B=π6或5π6．
(2)∵ f(B)−m<2恒成立，
∴ 2sinB−1∵ 0∴ 2sinB−1∈(−1, 1)，
∴ m>1．
【答案】
(1)证明：由①知，对任意a，b∈N∗，a0，
由于a−b<0，从而f(a)所以函数f(x)为N∗上的单调增函数．
(2)解：令f(1)=a，则a≥1，显然a≠1，否则f（f(1)）=f(1)=1，与f（f(1)）=3矛盾．
从而a>1，而由f（f(1)）=3，
即得f(a)=3．
又由(1)知f(a)>f(1)=a，即a<3．
于是得1从而a=2，即f(1)=2．
进而由f(a)=3知，f(2)=3．
于是f(3)=f（f(2)）=3×2=6，
f(6)=f（f(3)）=3×3=9，
f(9)=f（f(6)）=3×6=18，
f(18)=f（f(9)）=3×9=27，
f(27)=f（f(18)）=3×18=54，
f(54)=f（f(27)）=3×27=81，
由于54−27=81−54=27，
而且由(1)知，函数f(x)为单调增函数，
因此f(28)=54+1=55．
从而f(1)+f(6)+f(28)=2+9+55=66．
(3)证明：f(an)=f（f(3n)）=3×3n=3n+1，
an+1=f(3n+1)=f（f(an)）=3an，a1=f(3)=6．
即数列{an}是以6为首项，以3为公比的等比数列．
∴ an=6×3n−1=2×3n(n=1, 2, 3⋯)．
于是1a1+1a2++1an=12(13+132++13n)
=12×13(1−13n)1−13=14(1−13n)，
显然14(1−13n)<14，
综上所述，1a1+1a2++1an<14．
【考点】
函数单调性的判断与证明
函数的求值
不等式的证明
等差数列的前n项和
【解析】
（1）由已知条件中对任意a，b∈N∗，a≠b，我们不妨令aaf(b)+bf(a)变形为(a−b)（f(a)−f(b)）>0由a（2）由对任意n∈N∗都有f[f(n)]=3n．我们不妨令f(1)=a，然后分a<1，a=1，a>1三类进行讨论，再由a∈N∗，可以求出a值，结合（1）的结论，及y∈N∗，我们不难得到函数值与自变量之间的对应关系．
（3）an=f(3n)，则易得f(an)=f（f(3n)）=3×3n=3n+1，an+1=f(3n+1)=f（f(an)）=3an，a1=f(3)=6．分析可知数列{an}是以6为首项，以3为公比的等比数列再利用放缩法可证明n4n+2≤1a1+1a2+…+1an<14成立．
【解答】
(1)证明：由①知，对任意a，b∈N∗，a0，
由于a−b<0，从而f(a)所以函数f(x)为N∗上的单调增函数．
(2)解：令f(1)=a，则a≥1，显然a≠1，否则f（f(1)）=f(1)=1，与f（f(1)）=3矛盾．
从而a>1，而由f（f(1)）=3，
即得f(a)=3．
又由(1)知f(a)>f(1)=a，即a<3．
于是得1从而a=2，即f(1)=2．
进而由f(a)=3知，f(2)=3．
于是f(3)=f（f(2)）=3×2=6，
f(6)=f（f(3)）=3×3=9，
f(9)=f（f(6)）=3×6=18，
f(18)=f（f(9)）=3×9=27，
f(27)=f（f(18)）=3×18=54，
f(54)=f（f(27)）=3×27=81，
由于54−27=81−54=27，
而且由(1)知，函数f(x)为单调增函数，
因此f(28)=54+1=55．
从而f(1)+f(6)+f(28)=2+9+55=66．
(3)证明：f(an)=f（f(3n)）=3×3n=3n+1，
an+1=f(3n+1)=f（f(an)）=3an，a1=f(3)=6．
即数列{an}是以6为首项，以3为公比的等比数列．
∴ an=6×3n−1=2×3n(n=1, 2, 3⋯)．
于是1a1+1a2++1an=12(13+132++13n)
=12×13(1−13n)1−13=14(1−13n)，
显然14(1−13n)<14，
综上所述，1a1+1a2++1an<14．