2020-2021学年甘肃省天水市高二（上）12月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年甘肃省天水市高二（上）12月月考数学试卷人教A版，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知方程x28−m+y24−m=1表示焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围是（ ）
A.4,+∞B.4,8C.8,+∞D.−∞,4∪8,+∞

2. 总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从该表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）

A.08B.07C.02D.01

3. 对某同学的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学数学成绩的以下说法：
①中位数为84； ②众数为85；③平均数为85； ④极差为12.
其中，正确说法的序号是( )

A.①②B.①③C.②④D.③④

4. 具有相关关系的变量x，y满足的线性回归直线方程为y=bx+a， x，y的数据如下：
则2a+1b的最小值为( )
A.4B.6C.8D.9

5. 将参加中美友好上海夏令营的600名学生编号为：001，002，⋯，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( )
A.26，16，8B.25，17，8C.25，16，9D.24，17，9

6. 若将个位数与十位数之和为奇数的两位数称为“单数”，则“从所有的单数中任取一个数，其个位数为9”的概率是( )
A.13B.29C.19D.445

7. 3个男生4个女生站成一排，要求相邻两人性别不同且男生甲与女生乙相邻，则这样的站法有（ ）
A.56种B.72种C.84种D.120种

8. 如图，已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=10，P是y轴正半轴上一点，PF1交椭圆于点A，若AF2⊥PF1，且△APF2的内切圆半径为22，则椭圆的离心率为( )

A.54B.53C.104D.154

9. 函数f(x)=x2−x−2，x∈[−5, 5]，在定义域内任取一点x0，使f(x0)≤0的概率是( )
A.110B.23C.310D.45

10. 如图所示，在圆心角为直角的扇形中，以扇形的两半径的中点为圆心作两个小半圆，现从该扇形中随机的取出一点，则该点来自阴影部分的概率是( )

A.1−1πB.1−2πC.1πD.2π
二、填空题

已知F是抛物线C:y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|=________.
三、解答题

一个包装箱内有6件产品，其中4件正品，2件次品．现随机抽出两件产品.
(1)求恰好有一件次品的概率．

(2)求都是正品的概率．

(3)求抽到次品的概率．

已知抛物线C:y2=4x的焦点是F，准线是l．
(1)写出F的坐标和l的方程；

(2)已知点P(9, 6)，若过F的直线交抛物线C于不同两点A，B（均与P不重合），直线PA，PB分别交l于点M，N．求证：MF⊥NF．

已知函数f(x)=ax2+2bx+1．
(1)若f(x)中的a，b是从区间[−1, 3]中任取的两个不同的整数，求f(x)为二次函数且存在零点的概率；

(2)若a∈1,3,b∈−2,2，求f1−3⋅f−1−3≤0的概率．
参考答案与试题解析
2020-2021学年甘肃省天水市高二（上）12月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
双曲线的标准方程
【解析】
由于方程表示焦点在x轴上的双曲线，故8−m>0，4−m<0，即可求出m的范围．
【解答】
解：∵ 方程x28−m+y24−m=1表示焦点在x轴上的双曲线，
∴ 8−m>0,4−m<0,解得4故选B.
2.
【答案】
D
【考点】
简单随机抽样
【解析】
从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，分别为：65，72，08，02，……，进而得出．
【解答】
解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，
分别为：65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，……．
则选出来的第5个个体的编号为01．
故选D.
3.
【答案】
B
【考点】
茎叶图
众数、中位数、平均数
极差、方差与标准差
【解析】
根据统计知识，将数据按从小到大排列，求出相应值，即可得出结论．
【解答】
解：将各数据按从小到大排列为：78，83，83，85，90，91．
可见：中位数是83+852=84，①正确；
众数是83，②不正确；
(78+83+83+85+90+91)÷6=85，③正确．
极差是91−78=13，④不正确．
故选B．
4.
【答案】
C
【考点】
求解线性回归方程
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程，可得a+2b=1，再利用基本不等式求2a+1b的最小值．
【解答】
解：由数据得到x¯=−1+1+3+54=2，y¯=0+0.8+1.2+24=1，
将(2,1)代入直线方程为y=bx+a中，
可得a+2b=1，
∴ 2a+1b=a+2b2a+1b=4+ab+4ba≥8，
当且仅当ab=4ba，即a=12， b=14时“=”成立．
故选C．
5.
【答案】
B
【考点】
系统抽样方法
【解析】
由题意知间隔为60050=12，故抽到的号码为12k+3k=0,1,⋯,49，观察选项可得.
【解答】
解：由题意知间隔为60050=12，
故抽到的号码为12k+3k=0,1,⋯,49，
所以第Ⅰ营区抽25人，第Ⅱ营区抽17人，第Ⅲ营区抽8人．
故选B.
6.
【答案】
D
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
由题个位数与十位数之和为奇数的两位数共有45个，其中个位数为9的数有4个，由此能求出“从所有的单数中任取一个数，其个位数为9的概率．
【解答】
解：将个位数与十位数之和为奇数的两位数称为“单数”.
个位数与十位数之和为奇数的两位数共有45个，其中个位数为9的数有4个，
所以“从所有的单数中任取一个数，其个位数为9”的概率是P=445.
故选D．
7.
【答案】
B
【考点】
基本事件个数（列举法、列表法、树状图法）
【解析】
根据甲乙相邻，看出一个元素，男女性别不相邻，可以插空法进行求解即可．
【解答】
解：3个男生4个女生站成一排，要求相邻两人性别不同，则站法为“女男女男女男女”.
∵ 男生甲与女生乙相邻，甲乙的位置站法共有6种.
剩下的位置站法应为“女男女男女”，
剩余2个男生记为A，B，3个女生记为a，b，c，
则(a,A,b,B,c)，(a,B,b,A,c)，(a,A,c,B,b)，(a,B,c,A,b)，
(b,A,a,B,c)，(b,B,a,A,c)，(b,A,c,B,a)，(b,B,c,A,a)，
(c,A,b,B,a)，(c,B,b,A,a)，(c,A,a,B,b)，(c,B,a,A,b)共12种站法，
共有6×12=72(种).
故选B．
8.
【答案】
B
【考点】
椭圆的定义
椭圆的离心率
【解析】
由题意，直角三角形的内切圆半径r=22，结合|F1F2|=10，可得|AF1|2+|AF2|2=10，从而可求|AF1|+|AF2|=32=2a，即可求得椭圆的离心率．
【解答】
解：由题意得，△APF2的内切圆半径
r=PA+AF2−PF22=PA−PF1+AF22
=AF2−AF12=22，
∵ |F1F2|=10，
∴ |AF1|2+|AF2|2=10，
∴ 2|AF1||AF2|=8，
∴ (|AF1|+|AF2|)2=18，
∴ |AF1|+|AF2|=32=2a，
∵ |F1F2|=10，
∴ 椭圆的离心率是e=ca=1032=53．
故选B.
9.
【答案】
C
【考点】
一元二次不等式的解法
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
先解不等式f(x0)≤0，得能使事件f(x0)≤0发生的x0的取值长度为3，再由x0总的可能取值，长度为定义域长度10，得事件f(x0)≤0发生的概率是0.3
【解答】
解：∵ f(x)≤0，
即x2−x−2≤0，
解得−1≤x≤2，
∴ f(x0)≤0⇔−1≤x0≤2，即x0∈[−1, 2]，
∵ 在定义域内任取一点x0，
∴ x0∈[−5, 5]，
∴ 使f(x0)≤0的概率P=2−(−1)5−(−5)=310.
故选C.
10.
【答案】
B
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设扇形的半径为r，则扇形OAB的面积为14πr2，
连接OC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，
然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，
则阴影部分的面积为：14πr2−12r2，
∴ 此点取自阴影部分的概率是14πr2−12r214πr2=1−2π．
故选B．
二、填空题
【答案】
6
【考点】
抛物线的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得，抛物线C:y2=8x的焦点F(2,0)，
M是抛物线C上一点，FM的延长线交y轴于点N.
∵ M为FN的中点，
∴ M的横坐标为1，
则M的纵坐标为±22，
∴ M(1,±22)，
∴ |FN|=2|FM|=2(1−2)2+(±22−0)2=6．
故答案为：6.
三、解答题
【答案】
解：(1)设4件正品为A，B，C，D，2件次品为e,f，
从中选出2件的基本事件有
(A,B)，A,C，A,D，A,e，A,f，
B，C,(B,D),(B,e),(B,f),
C，D，C,e，C，f，
(D,e),(D,f)，e,f，共15种，
恰有一件次品包含的基本事件有(A,e)，A，f，B，e，B，f，
C，e,C，f,D，e,D，f共8种，
∴ 恰有一件次品的概率p1=815；
(2)都是正品包含的基本事件有A,B,A,C,A,D，
B,C,B,D，(C,D)共6种，
∴ 都是正品的概率p2=615=25；
(3)抽到次品包含的基本事件有(A,e),(A,f),(B,e),B,f,
(C,e),(C,f),(D,e),D,f,(e,f)共9种，
∴ 抽到次品的概率p3=915=35.
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
古典概型及其概率计算公式
【解析】
(1)把随机抽出两件产品恰好有一件次品这一事件列举出来，看方法数有多少，再列举总的方法数，两者相除即可．
(2)用列举法计算都是正品的情况，再除以总的方法数．
(3)用互斥事件的概率来求，先计算都是正品的概率，再让1减去都是正品的概率即可．
【解答】
解：(1)设4件正品为A，B，C，D，2件次品为e,f，
从中选出2件的基本事件有
(A,B)，A,C，A,D，A,e，A,f，
B，C,(B,D),(B,e),(B,f),
C，D，C,e，C，f，
(D,e),(D,f)，e,f，共15种，
恰有一件次品包含的基本事件有(A,e)，A，f，B，e，B，f，
C，e,C，f,D，e,D，f共8种，
∴ 恰有一件次品的概率p1=815；
(2)都是正品包含的基本事件有A,B,A,C,A,D，
B,C,B,D，(C,D)共6种，
∴ 都是正品的概率p2=615=25；
(3)抽到次品包含的基本事件有(A,e),(A,f),(B,e),B,f,
(C,e),(C,f),(D,e),D,f,(e,f)共9种，
∴ 抽到次品的概率p3=915=35.
【答案】
(1)解：由题意得F的坐标为(1, 0)，l的方程是x=−1.
(2)证明：设A(x1, y1)，B(x2, y2)(y1≠±6)，
直线AB的方程为x=my+1(m∈R)，
代入y2=4x，得 y2−4my−4=0，
于是y1+y2=4m，y1y2=−4，
由P(9, 6)得，kPA=4y1+6，
直线PA的方程为：y−6=4y1+6(x−9)，
令x=−1，得 M(−1, 6y1−4y1+6)，
同理可得 N(−1, 6y2−4y2+6)．
所以KMF⋅kNF=yF−yMxF−xM⋅yF−yNxF−xN
=9y1y2−6(y1+y2)+4(y1+6)(y2+6)
=−9×4−6×4m+4−4+36+24m
=−1，
故MF⊥NF．
【考点】
抛物线的标准方程
抛物线的应用
直线与抛物线的位置关系
【解析】
(1)由抛物线的几何性质可得；
(2)设出A，B坐标，用A，B的坐标表示M，N的坐标，再用斜率公式计算斜率乘积．
【解答】
(1)解：由题意得F的坐标为(1, 0)，l的方程是x=−1.
(2)证明：设A(x1, y1)，B(x2, y2)(y1≠±6)，
直线AB的方程为x=my+1(m∈R)，
代入y2=4x，得 y2−4my−4=0，
于是y1+y2=4m，y1y2=−4，
由P(9, 6)得，kPA=4y1+6，
直线PA的方程为：y−6=4y1+6(x−9)，
令x=−1，得 M(−1, 6y1−4y1+6)，
同理可得 N(−1, 6y2−4y2+6)．
所以KMF⋅kNF=yF−yMxF−xM⋅yF−yNxF−xN
=9y1y2−6(y1+y2)+4(y1+6)(y2+6)
=−9×4−6×4m+4−4+36+24m
=−1，
故MF⊥NF．
【答案】
解：(1)∵ a，b是从区间[−1, 3]中任取的两个不同的整数，
则基本事件为(−1, 0)，(−1, 1)，(−1, 2)，(−1, 3)，
(0, −1)，(0, 1)，(0, 2)，(0, 3)，
(1, −1)，(1, 0)，(1, 2)，(1, 3)，
(2, −1)，(2, 0)，(2, 1)，(2, 3)，
(3, −1)，(3, 0)，(3, 1)，(3, 2)，
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，共20个基本事件.
设“f(x)为二次函数且存在零点“为事件A，
f(x)=ax2+2bx+1为二次函数且存在零点，等价于b2≥a，且a≠0，
∴ 事件A包含的基本事件有：
(−1, 0)，(−1, 1)，(−1, 2)，(−1, 3)，(1, −1)，(1, 2)，(1, 3)，(2, 3)，(3, 2)，共9个，
∴ f(x)为二次函数且存在零点的概率：P(A)=920.
(2)设“[f(1)−3]⋅[f(−1)−3]≤0“为事件B，
试验的全部结果所构成的区域为{(a, b)|1≤a≤3,−2≤b≤2,}，
这是一个长方形区域，面积为S=2×4=8，
构成事件B的区域为{(a,b)|(a+2b−2)(a−2b−2)≤0,1≤a≤3,−2≤b≤2,}，
这是一对对顶的五边形区域，如图，
其面积为SB=8−2×12×1×1=7，
∴ [f(1)−3]⋅[f(−1)−3]≤0的概率为P(B)=78．
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
（1）a，b是从区间[−1, 3]中任取的两个不同的整数，基本事件有20个基本事件，设“f(x)为二次函数且存在零点“为事件A，f(x)=ax2+2bx+1为二次函数且存在零点，等价于b2≥a，且a≠0，事件A包含的基本事件有8个，由此能求出f(x)为二次函数且存在零点的概率．
（2）设“[f(1)−3]•[f(−1)−3]≤0“为事件B，试验的全部结果所构成的区域为{(a, b)|1≤a≤3−2≤b≤2}，构成事件B的区域为{((a+2b−2)(a−2b−2)≤01≤a≤3−2≤b≤2}，由此能求出[f(1)−3]•[f(−1)−3]≤0的概率．
【解答】
解：(1)∵ a，b是从区间[−1, 3]中任取的两个不同的整数，
则基本事件为(−1, 0)，(−1, 1)，(−1, 2)，(−1, 3)，
(0, −1)，(0, 1)，(0, 2)，(0, 3)，
(1, −1)，(1, 0)，(1, 2)，(1, 3)，
(2, −1)，(2, 0)，(2, 1)，(2, 3)，
(3, −1)，(3, 0)，(3, 1)，(3, 2)，
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，共20个基本事件.
设“f(x)为二次函数且存在零点“为事件A，
f(x)=ax2+2bx+1为二次函数且存在零点，等价于b2≥a，且a≠0，
∴ 事件A包含的基本事件有：
(−1, 0)，(−1, 1)，(−1, 2)，(−1, 3)，(1, −1)，(1, 2)，(1, 3)，(2, 3)，(3, 2)，共9个，
∴ f(x)为二次函数且存在零点的概率：P(A)=920.
(2)设“[f(1)−3]⋅[f(−1)−3]≤0“为事件B，
试验的全部结果所构成的区域为{(a, b)|1≤a≤3,−2≤b≤2,}，
这是一个长方形区域，面积为S=2×4=8，
构成事件B的区域为{(a,b)|(a+2b−2)(a−2b−2)≤0,1≤a≤3,−2≤b≤2,}，
这是一对对顶的五边形区域，如图，
其面积为SB=8−2×12×1×1=7，
∴ [f(1)−3]⋅[f(−1)−3]≤0的概率为P(B)=78．x
−1
1
3
5
y
0
0.8
1.2
2