2020-2021学年甘肃省天水市高二（下）3月月考数学试卷 (1)人教A版

这是一份2020-2021学年甘肃省天水市高二（下）3月月考数学试卷 (1)人教A版，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 复数z=1+i1−2i，则z的虚部是( )
A.−3B.−1C.1D.3

2. 设一个回归方程为y=3+1.2x，则变量x增加一个单位时( )
A.y平均增加1.2个单位B.y平均增加3个单位
C.y平均减少1.2个单位D.y平均减少3个单位

3. 复数a2−2a−3+a2−a−6i为纯虚数的一个必要不充分条件是（ ）
A.a=−1B.a=3
C.a=−2或a=3D.a=−1或a=−2

4. “干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、⋯、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、⋯、癸未，甲申、乙酉、丙戌、⋯、癸巳，⋯，共得到60个组合，周而复始，循环记录．2010年是“干支纪年法”中的庚寅年，那么2020年是“干支纪年法”中的( )
A.己亥年B.庚子年C.戊戌年D.辛丑年

5. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )

A.r2C.r4
6. 2020年，受新冠肺炎疫情的影响，在全国的许多地方都采取了在家线上学习的方式，此种方式对学生的自制力、自觉性有极高的要求．某校某学习小组调查研究“学生线上学习时智能手机对学习成绩的影响“，得到了如下样本数据：
附：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，n=a+b+c+d.
根据表中的数据，下列说法中正确的是( )
A.有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习无影响
B.有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响
C.在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为中学生使用手机对学习无影响
D.在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为中学生使用手机对学习有影响

7. 函数y=12x2−lnx的单调递减区间为( )
A.(−1, 1)B.(0, 1]C.[1, +∞)D.(0, +∞)

8. “m≤4”是“函数fx=2x2−mx+lnx在0,+∞上单调递增”的( )
A.充要条件B.必要不充分条件
C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

9. 若函数y=f(x)在R上可导，且满足不等式xf′(x)>−f(x)恒成立，且常数a，b满足a>b，则下列不等式一定成立的是( )
A.af(b)>bf(a)B.af(a)>bf(b)C.af(a)
10. 由伦敦著名建筑事务所Steyn Studi设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y2a2−x2b2=1(a>0，b>0)下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为( )

A.y=±3xB.y=±33xC.y=±xD.y=±2x
二、填空题

已知i为虚数单位，则i2021=________.
三、解答题

m为何实数时，复数z=1+im2+2i+1m−2−3i是：
(1)实数；

(2)虚数；

(3)纯虚数？

已知曲线fx=x3−3x及曲线y=fx上一点P1,−2．
(1)求曲线y=fx在P点处的切线方程；

(2)求曲线y=fx过P点的切线方程．

已知函数gx=xlnx.
(1)讨论函数gx的单调性；

(2)若gx=a有两个不同的解，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年甘肃省天水市高二（下）3月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
复数的基本概念
复数代数形式的乘除运算
【解析】
先计算复数，再利用复数的概念求解即可.
【解答】
解：复数z=1+i1−2i=1−2i2+i−2i=3−i，
所以z的虚部为−1.
故选B.
2.
【答案】
A
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
由回归直线斜率可得结果．
【解答】
解：由回归直线斜率知：变量x增加一个单位时，y平均增加1.2个单位．
故选A．
3.
【答案】
D
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
复数的运算
【解析】

【解答】
解：当复数(a2−2a−3)+(a2−a−6)i为纯虚数时，
a2−2a−3=0,a2−a−6≠0,
解得：a=−1．
所以复数(a2−2a−3)+(a2−a−6)i为纯虚数的一个必要不充分条件是a=−1或a=−2.
故选D．
4.
【答案】
B
【考点】
进行简单的合情推理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题可得2020−2010=10，
因为“天干”：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，以10为周期，所以2020年仍为“庚”，
因为“地支”：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，以12为周期，所以2020年为“子”.
故2020年为“庚子”年.
故选B.
5.
【答案】
A
【考点】
相关系数
【解析】
根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小．
【解答】
解：由给出的四组数据的散点图可以看出，
图1和图3是正相关，相关系数大于0，
图2和图4是负相关，相关系数小于0，
图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以r1接近于1，r2接近于−1，
由此可得r2故选A.
6.
【答案】
B
【考点】
独立性检验
独立性检验的应用
【解析】
利用k2=nad−bc2a+bc+da+cb+d=30×128−8212×18×10×20=10，
7.897【解答】
解：由题意可知，a=8，b=4，c=2，d=16，n=30，
则K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d
=30×128−8212×18×10×20=10，
又7.879所以有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响.
故选B.
7.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
由y=12x2−lnx得y′=x2−1x，由y′≤0即可求得函数y=12x2−lnx的单调递减区间．
【解答】
解：∵ y=12x2−lnx的定义域为(0, +∞)，且y′=x2−1x，
∴ 由y′≤0得：0∴ 函数y=12x2−lnx的单调递减区间为(0, 1]．
故选B．
8.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
已知函数的单调性求参数问题
【解析】
无
【解答】
解：若fx=2x2−mx+lnx在0,+∞上单调递增，
则f′x=4x−m+1x≥0对任意的x∈0,+∞恒成立，
故有4x+1x≥m对任意的x∈0,+∞恒成立，
即m≤4x+1xmin ，
而4x+1x≥24x⋅1x=4，
当且仅当x=12时等号成立，则m≤4，
故“m≤4n”是“函数fx=2x2−mx+lnx在0,+∞单调递增”的充要条件．
故选A．
9.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
构造g(x)=xf(x)，利用其单调性即可得出．
【解答】
解：令g(x)=xf(x)，则g′(x)=xf′(x)+f(x)>0，
∴ 函数g(x)在R上单调递增．
∵ a>b，
∴ g(a)>g(b)，
∴ af(a)>bf(b)．
故选B．
10.
【答案】
B
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的离心率
双曲线的渐近线
【解析】
利用已知条件求出方程组，得到a，b，c，即可求解双曲线的渐近线方程．
【解答】
解：因为双曲线y2a2−x2b2=1(a>0，b>0)的下焦点0,−c
到渐近线ax±by=0的距离为2，且离心率为2，
所以bca2+b2=2,ca=2,a2+b2=c2,
解得a=233，b=2，
所以渐近线方程为y=±abx=±33x.
故选B.
二、填空题
【答案】
i
【考点】
复数代数形式的乘除运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：i2021=(i4)505⋅i=i.
故答案为：i.
三、解答题
【答案】
解：(1)z=1+im2+2i+1m−2−3i
=m2+m2i+2im+m−2−3i
=m2+m−2+m2+2m−3i
=m−1m+2+m−1m+3i．
∵复数z是实数，
∴m−1m+3=0，
解得m=1或−3,
即m=1或−3时，z为实数．
(2)∵复数z是虚数，
∴m−1m+3≠0，
解得m≠1且m≠−3，
即m≠1且m≠−3时，z为虚数．
(3)∵复数z是纯虚数，
∴(m−1)(m+2)=0，(m−1)(m+3)≠0，
解得m=−2，
即m=−2时，z为纯虚数．
【考点】
复数的基本概念
【解析】



【解答】
解：(1)z=1+im2+2i+1m−2−3i
=m2+m2i+2im+m−2−3i
=m2+m−2+m2+2m−3i
=m−1m+2+m−1m+3i．
∵复数z是实数，
∴m−1m+3=0，
解得m=1或−3,
即m=1或−3时，z为实数．
(2)∵复数z是虚数，
∴m−1m+3≠0，
解得m≠1且m≠−3，
即m≠1且m≠−3时，z为虚数．
(3)∵复数z是纯虚数，
∴(m−1)(m+2)=0，(m−1)(m+3)≠0，
解得m=−2，
即m=−2时，z为纯虚数．
【答案】
解：(1)∵ fx=x3−3x，∴ f′x=3x2−3，
∴ 曲线y=fx在P1,−2处直线的斜率k1=f′1=0，
∴ 切线的方程为y=−2.
(2)设切点坐标为x0,x03−3x0，
则直线l的斜率k2=f′x0=3x02−3，
∴ 切线方程为y−x03−3x0=3x02−3x−x0，
∵ 点P在切线上，
∴ −2−x03−3x0=3x02−31−x0，
∴ x03−3x0+2=3x02−3x0−1，
解得x0=1或x0=−12，
当x0=1时，所求切线的方程为y=−2，
当x0=−12时，所求切线斜率k=3x02−3=−94，
所求直线的方程为y−−2=−94x−1，
即y=−94x+14，
综上所述，所求直线的方程为y=−2或y=−94x+14.
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ fx=x3−3x，∴ f′x=3x2−3，
∴ 曲线y=fx在P1,−2处直线的斜率k1=f′1=0，
∴ 切线的方程为y=−2.
(2)设切点坐标为x0,x03−3x0，
则直线l的斜率k2=f′x0=3x02−3，
∴ 切线方程为y−x03−3x0=3x02−3x−x0，
∵ 点P在切线上，
∴ −2−x03−3x0=3x02−31−x0，
∴ x03−3x0+2=3x02−3x0−1，
解得x0=1或x0=−12，
当x0=1时，所求切线的方程为y=−2，
当x0=−12时，所求切线斜率k=3x02−3=−94，
所求直线的方程为y−−2=−94x−1，
即y=−94x+14，
综上所述，所求直线的方程为y=−2或y=−94x+14.
【答案】
解：(1)gx=xlnx(x≠1且x>0)，
则g′(x)=lnx−1(lnx)2，
令g′(x)>0，得lnx−1>0，解得x>e；
令g′(x)<0，得lnx−1<0，解得0∴ 当x>e时，g(x)单调递增；当0(2)g(x)的图象如图所示，
当x=e时，g(e)=elne=e，
∵ gx=a有两个不同的解，即g(x)与y=a有两个交点，
∴ a>g(e)=e，
∴ a>e.
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究与函数零点有关的问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)gx=xlnx(x≠1且x>0)，
则g′(x)=lnx−1(lnx)2，
令g′(x)>0，得lnx−1>0，解得x>e；
令g′(x)<0，得lnx−1<0，解得0∴ 当x>e时，g(x)单调递增；当0(2)g(x)的图象如图所示，
当x=e时，g(e)=elne=e，
∵ gx=a有两个不同的解，即g(x)与y=a有两个交点，
∴ a>g(e)=e，
∴ a>e.不使用
使用
合计
优秀
8
4
12
不优秀
2
16
18
合计
10
20
30
PK2≥k0
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828