2020-2021学年甘肃省天水市高二（下）3月月考数学试卷 (2)人教A版

这是一份2020-2021学年甘肃省天水市高二（下）3月月考数学试卷 (2)人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合A={x|ax2−3x+2=0}中有且只有一个元素，那么实数a的取值集合是( )
A.{98}B.{0, 98}C.{0}D.{0, 23}

2. 已知函数fx=lnx+3+3x−3，则函数fx的定义域为( )
A.3,+∞B.−3,3C.−∞,−3D.−∞,3

3. 与函数y=|x|为同一函数的是( )
A.y=xB.y=x2
C.y=x，x>0−x，x<0D.y=algax

4. 函数y=sin(2x+π2)是( )
A.周期为2π的偶函数B.周期为2π的奇函数
C.周期为π的偶函数D.周期为π的奇函数

5. 已知fx=xlnx，若f′x0=0，则x0=( )
A.1eB.1C.eD.e2

6. 已知2x=3y=m，且1x+1y=2，则m的值为( )
A.2B.6C.22D.6

7. 如图，函数y=f(x)在A，B两点间的平均变化率是( )

A.1B.−1C.2D.−2

8. 已知f′(x0)=3，limΔx→0fx0+2Δx−fx03Δx的值是( )
A.3B.2C.23D.32

9. 若曲线y=ex+2x在其上一点x0,y0处的切线的斜率为4，则x0=( )
A.2B.ln4C.ln2D.−ln2

10. 已知函数fx=−lnx+12x2+5，则其单调递增区间为( )
A.(0,1]B.0,1C.0,+∞D.1,+∞

11. 若函数fx=m⋅ex−x2+2xm<0在0,1上有极值点，则m的取值范围为（ ）
A.−2,0B.−2,−1eC.−1e,0D.−1,−1e

12. 若x=−2是函数fx=x2+ax−1⋅ex的极值点，则fx的极小值为( )
A.0B.3e−2C.−eD.−1
二、填空题

已知函数fx=4x−32−lnx，则曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为________.
三、解答题



(1)已知函数f(x)=xsinx，求f′(π2)；

(2)求曲线y=csx(0≤x≤3π2)与x轴以及直线x=3π2所围图形的面积．

已知幂函数fx=m2−4m+4xm−2在0,+∞上单调递减．
(1)求fx的解析式；

(2)若正数a，b满足2a+3b=m，求3a+2b的最小值．

某单位修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为75立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为120元，设池底长方形的长为x米．
(1)用含x的表达式表示池壁面积S；

(2)当x为多少米时，水池的总造价最低，最低造价是多少？

已知函数fx=lg12x2−2ax+3．
(1)若a=1，求不等式fx≥lg123的解集；

(2)若f−1=−3，求fx的单调区间．

函数fx=xlnx−ax+1在点A1,f1处的切线斜率为−2.
(1)求实数a的值；

(2)求fx的单调区间和极值．

已知函数 f(x)=lnx
(1)若f(x)在x=t处的切线l过原点，求切线l的方程；

(2)令g(x)=f(x)x，求g(x)在[1e,e2]上的最大值和最小值.
参考答案与试题解析
2020-2021学年甘肃省天水市高二（下）3月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
集合的含义与表示
【解析】
由集合A＝{x|ax2−3x+2＝0}中有且只有一个元素，得a＝0或a≠0△=9−8a=0 ，由此能求出实数a的取值集合．
【解答】
解：∵ 集合A={x|ax2−3x+2＝0}中有且只有一个元素，
∴ a=0或a≠0，Δ=9−8a=0，
解得a=0或a=98，
∴ 实数a的取值集合是{0, 98}．
故选B.
2.
【答案】
A
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
无
【解答】
解：要使函数fx=lnx+3+3x−3有意义，
则有x+3>0,x−3>0,
解得x>3，
所以函数fx的定义域为3,+∞．
故选A．
3.
【答案】
B
【考点】
判断两个函数是否为同一函数
【解析】
由题意利用查函数的三要素，判断两个函数是否为同一个函数．
【解答】
解：函数y=|x|的定义域为R，值域为[0,+∞)，
A，函数y=x的定义域是R，对应关系和y=|x|不同，故A不符合题意；
B，y=x2=|x|的定义域为R，值域为[0,+∞)，对应关系也一样，故它和y=|x|为同一函数，故B符合题意；
C，y=x，x>0−x，x<0的定义域为x|x≠0，定义域不同，不是同一个函数，故C不符合题意；
D，函数y=algax=x定义域为{x|x>0}，定义域不同，不是同一个函数，故D不符合题意.
故选B.
4.
【答案】
C
【考点】
三角函数的周期性及其求法
函数奇偶性的判断
【解析】
由诱导公式可得y=2cs2x，利用三角函数的周期性及其求法可求周期，由f(−x)=f(x)可得函数是偶函数．
【解答】
解：∵ y=sin(2x+π2)=cs2x，
∴ 周期T=2π2=π.
∵f(−x)=cs(−2x)=cs2x=f(x)，
∴函数是偶函数．
故选C.
5.
【答案】
A
【考点】
导数的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ fx=xlnx，
∴ f′x=lnx+1，
∵ f′x0=0，即lnx0+1=0，
∴ x0=1e.
故选A.
6.
【答案】
B
【考点】
指数式与对数式的互化
对数及其运算
【解析】
2x=3y=m>0，可得x=lg2m，y=lg3m．代入利用对数的运算法则即可得出．
【解答】
解：∵ 2x=3y=m>0，
∴ x=lg2m，y=lg3m．
∴ 2=1x+1y=1lg2m+1lg3m
=lgm2+lgm3
=lgm6，
∴ m2=6，
解得m=6．
故选B．
7.
【答案】
B
【考点】
变化的快慢与变化率
【解析】
先做出两个自变量对应的函数值，两个函数值的差，用这个差与自变量的差，求两个差的比值得到结果．
【解答】
解：由图可知f(3)=1，f(1)=3，
∴ f(3)−f(1)=1−3=−2，
∴ 函数y=f(x)在A，B两点间的平均变化率是
f(3)−f(1)3−1=−22=−1．
故选B．
8.
【答案】
B
【考点】
极限及其运算
导数的几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ f′(x0)=3，
∴ limΔx→0fx0+2Δx−fx02Δx=3，
∴ limΔx→0fx0+2Δx−fx03Δx
=23limΔx→0fx0+2Δx−fx02Δx
=2.
故选B．
9.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
本题考查导数的几何意义．
【解答】
解：依题意，y′=ex+2，故ex0+2=4，
则ex0=2，解得x0=ln2．
故选C．
10.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
无
【解答】
解：函数fx=−lnx+12x2+5的定义域为0,+∞，
f′x=−1x+x=x+1x−1x，
令f′x>0，解得x>1，
所以fx的单调递增区间为1,+∞.
故选D.
11.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：f′(x)=m⋅ex−2x+2(m<0)，
所以f′(x)在(0,1)上为减函数，
所以f′(0)=m+2>0，f′(1)=me<0,
解得−2故选A.
12.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
首先由x=−2为fx的极值点，求得a值，再求极值即可.
【解答】
解：由题意对fx求导可得：
f′x=2x+aex+x2+ax−1ex
=x2+a+2x+a−1ex ，
因为x=−2是函数fx=x2+ax−1ex的极值点，
所以f′−2=0，
即[−22+a+2×−2+a−1]e−2=0，
解得a=−1，
所以fx=x2−x−1ex，
f′x=x2+x−2ex，
令f′x=0，
即x2+x−2ex=0 ，
解得x=1或x=−2，
当x<−2时， f′x=x2+x−2ex>0，
即f(x)在区间−∞,−2上单调递增，
当x>1时，f′x=x2+x−2ex>0，
即f(x)在区间1,+∞上单调递增，
当−2即f(x)在区间−2,1上单调递减，
所以fx在x=1处取极小值，
极小值为f1=1−1−1e1=−e.
故选C．
二、填空题
【答案】
7x−y−6=0
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
暂无
【解答】
解：由题意得，f′x=32x−24−1x，
∴ f′1=7，f1=1，
∴ 所求切线方程为y−1=7x−1 ．
故答案为：7x−y−6=0．
三、解答题
【答案】
解：(1)f′(x)=sinx−xcsxsin2x，
∴ f′(π2)=11=1．
(2)S=30π2csxdx=3sinx|0π2=3．
【考点】
定积分在求面积中的应用
简单复合函数的导数
【解析】
（1）求出导函数，再代数计算；
（2）利用图象的对称性和定积分的几何意义可知所求面积为30π2csxdx．
【解答】
解：(1)f′(x)=sinx−xcsxsin2x，
∴ f′(π2)=11=1．
(2)S=30π2csxdx=3sinx|0π2=3．
【答案】
解：(1)因为fx=m2−4m+4xm−2是幂函数，
所以m2−4m+4=1，解得m=1或m=3．
又fx在0,+∞上单调递减，所以m=1，
故fx=1x．
(2)由(1)可知2a+3b=1，
则3a+2b=2a+3b3a+2b=12+4ab+9ba≥24，
当且仅当a=14，b=16时取等号．
【考点】
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)因为fx=m2−4m+4xm−2是幂函数，
所以m2−4m+4=1，解得m=1或m=3．
又fx在0,+∞上单调递减，所以m=1，
故fx=1x．
(2)由(1)可知2a+3b=1，
则3a+2b=2a+3b3a+2b=12+4ab+9ba≥24，
当且仅当a=14，b=16时取等号．
【答案】
解：(1)由题意得池底面积为753=25（平方米），
池底长方形的宽为25x米,
所以，S=2×x+25x×3=6x+25x.
(2)设总造价为y元，
则y=6x+25x×120+25×100．
化简得y=720x+25x+2500.
因为x+25x≥225=10，当且仅当x=5时取等号，
所以y≥720×10+2500=9700 ，
当x=5时，最低造价是9700元．
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
（1）由题意得池底面积，池底长方形的宽为25x（米）．然后求解池壁面积S；
（2）设总造价为y元，则y=6x+25x×120+25×100．利用基本不等式求解即可．
【解答】
解：(1)由题意得池底面积为753=25（平方米），
池底长方形的宽为25x米,
所以，S=2×x+25x×3=6x+25x.
(2)设总造价为y元，
则y=6x+25x×120+25×100．
化简得y=720x+25x+2500.
因为x+25x≥225=10，当且仅当x=5时取等号，
所以y≥720×10+2500=9700 ，
当x=5时，最低造价是9700元．
【答案】
解：(1)当a=1时， fx=lg12x2−2x+3．
∵ x2−2x+3=x−12+2>0，
∴ fx的定义域为R．
∵ fx≥lg123，
∴ lg12x2−2x+3≥lg123，
∴ x2−2x+3≤3，
解得0≤x≤2.
∴ 若a=1，fx≥lg123的解集为0,2．
(2)∵ f−1=−3，即lg122a+4=−3，
∴ 2a+4=12−3，解得a=2，
∴ fx=lg12x2−4x+3，
令x2−4x+3>0，可得x<1或x>3，即定义域为−∞,1∪3,+∞，
设gx=x2−4x+3=x−22−1 ，则gx图象的对称轴为x=2.
∴ gx在−∞,1上为减函数，在3,+∞上为增函数，
∴ fx在−∞,1上为增函数，在3,+∞上为减函数．
即fx的单调递增区间为−∞,1，单调递减区间为3,+∞．
【考点】
指、对数不等式的解法
复合函数的单调性
二次函数的性质
对数函数的单调区间
【解析】
（1）先求出函数的定义域，利用对数函数的单调性转化为x2−2x+3≤3，然后求解不等式即可；
（2）利用复合函数的单调性即可求解.
【解答】
解：(1)当a=1时， fx=lg12x2−2x+3．
∵ x2−2x+3=x−12+2>0，
∴ fx的定义域为R．
∵ fx≥lg123，
∴ lg12x2−2x+3≥lg123，
∴ x2−2x+3≤3，
解得0≤x≤2.
∴ 若a=1，fx≥lg123的解集为0,2．
(2)∵ f−1=−3，即lg122a+4=−3，
∴ 2a+4=12−3，解得a=2，
∴ fx=lg12x2−4x+3，
令x2−4x+3>0，可得x<1或x>3，即定义域为−∞,1∪3,+∞，
设gx=x2−4x+3=x−22−1 ，则gx图象的对称轴为x=2.
∴ gx在−∞,1上为减函数，在3,+∞上为增函数，
∴ fx在−∞,1上为增函数，在3,+∞上为减函数．
即fx的单调递增区间为−∞,1，单调递减区间为3,+∞．
【答案】
解：(1)f(x)=xlnx−ax+1，
则f′(x)=lnx+1−a，
在点A(1,f(1))处的切线斜率为k=1−a=−2，
即1−a=−2，
∴a=3.
(2)由(1)得，f′(x)=lnx−2，x∈(0,+∞)，
令f′(x)>0，得：x>e2，
令f′(x)<0，得：0即f(x)的增区间为(e2,+∞)，减区间为(0,e2)，
在x=e2处取得极小值1−e2，无极大值．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
【解析】


【解答】
解：(1)f(x)=xlnx−ax+1，
则f′(x)=lnx+1−a，
在点A(1,f(1))处的切线斜率为k=1−a=−2，
即1−a=−2，
∴a=3.
(2)由(1)得，f′(x)=lnx−2，x∈(0,+∞)，
令f′(x)>0，得：x>e2，
令f′(x)<0，得：0即f(x)的增区间为(e2,+∞)，减区间为(0,e2)，
在x=e2处取得极小值1−e2，无极大值．
【答案】
解：(1)切点为(t,lnt)，
求导f′(x)=1x，
则k=f′(t)=1t,
切线方程点斜式为：y−lnt=1t(x−t)，
∵ 切线过原点，将(0,0)代入上式，
∴ t=e,
切线方程整理成一般式为：x−ey=0.
(2)∵ g(x)=f(x)x=lnxx(x>0),
∴ g′(x)=1x⋅x−lnxx2=1−lnxx2,
可知：g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，
∵ 1e∴ 最大值为g(e)=1e,
∵ g(1e)=−e,g(e2)=2e2，
且−e<2e2,
∴ 最小值为g(1e)=−e.
【考点】
利用导数研究函数的最值
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)切点为(t,lnt)，
求导f′(x)=1x，
则k=f′(t)=1t,
切线方程点斜式为：y−lnt=1t(x−t)，
∵ 切线过原点，将(0,0)代入上式，
∴ t=e,
切线方程整理成一般式为：x−ey=0.
(2)∵ g(x)=f(x)x=lnxx(x>0),
∴ g′(x)=1x⋅x−lnxx2=1−lnxx2,
可知：g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，
∵ 1e∴ 最大值为g(e)=1e,
∵ g(1e)=−e,g(e2)=2e2，
且−e<2e2,
∴ 最小值为g(1e)=−e.