2020-2021学年陕西省西安市高一（上）10月月考数学试卷北师大版

这是一份2020-2021学年陕西省西安市高一（上）10月月考数学试卷北师大版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合A={x||x|<2}，集合B={−1, 0, 1, 2, 3}，则A∩B=( )
A.{0, 1}B.{0, 1, 2}C.{−1, 0, 1}D.{−1, 0, 1, 2}

2. 下列哪组中的两个函数是同一函数( )
A.y=1与y=x0B.y=3x3与y=xC.y=x2与y=x2D.y=3x3与y=x2x

3. 函数f(x)=x−1x−3的定义域是( )
A.[1, +∞)B.(3, +∞)C.[1, 3)∪(3, +∞)D.(−∞, 3)∪(3, +∞)

4. 已知函数 fx=x2−x,x≤1,11−x,x>1, 则ff−1的值为( )
A.−1B.15C.−15D.1

5. 若函数fx=4x2−mx+5−m在(−∞,−2]上是减函数，则实数m的取值范围为( )
A.[16,+∞）B.16,+∞C.(−∞,16]D.[−16,+∞）

6. 已知f2x+3=x2，则f(x)=( )
A.14x2−32x+94B.14x2+12x+94C.4x2+12x+9D.4x2−12x+9

7. 已知⌀⫋x|x2−x+a=0，则实数a的取值范围是( )
A.−∞,14B.−∞,14C.14,+∞D.14,+∞

8. 函数fx=1x2−1的单调递增区间是( )
A.(−∞,0]B.(−∞,−1)∪(−1,0]
C.−∞,−1和(−1,0]D.[0,1)和1,+∞

9. 已知fx=ax3+bx5+cx−8，且f−2020=10，那么f2020=( )
A.18B.−10C.−18D.−26

10. 已知f(x)=ax,x>1，(4−a2)x+2,x≤1是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是( )
A.[4,8) B.(0,8)C.(4,8) D.(0,8]

11. 已知f(x)是偶函数，且对任意的x1，x2∈(−∞, −1]，都有(x2−x1)[f(x2)−f(x1)]<0，则下列关系式中成立的是( )
A.f(−32)C.f(2)
12. 已知符号函数sgnx=1,x>0，0,x=0，−1,x<0，f(x)是R上的增函数，g(x)=f(x)−f(ax)(a>1)，则( )
A.sgn[g(x)]=sgnxB.sgn[g(x)]=−sgnx
C.sgn[g(x)]=sgn[f(x)]D.sgn[g(x)]=−sgn[f(x)]
二、填空题

若幂函数f(x)=(m2−3m+3)⋅xm2−m−2的图象不过原点，则实数m=________．

若函数fx−1的定义域为2,3，则函数f2x的定义域为________.

设函数f(x)=2xx−2在区间[3, 4]上的最大值和最小值分别为M，m，则m2M的值为________.

若不等式x2−2kx+3≥0对任意的x∈2,4恒成立，则实数k的取值范围是________.
三、解答题

已知集合A={x|(a−1)x2+3x−2=0}，B={x|x2−3x+2=0}．
(1)若A≠⌀，求实数a的取值范围．

(2)若A∩B=A，求实数a的取值范围．

某商店按每件80元的价格，购进时令商品（卖不出去的商品将成为废品）1000件；市场调研推知：当每件售价为100元时，恰好全部售完；当售价每提高1元时，销售量就减少5件；为获得最大利润，请你确定合理的售价，并求出此时的利润．

已知函数fx=−x2−2x+2|x+1|+2.
(1)试求函数fx的单调区间；

(2)若f2a2+a+1
已知函数fx=ax+b1+x2是定义在−1,1上的奇函数，且f12=25.
(1)求fx的解析式；

(2)用定义判断fx在−1,1上的单调性；

(3)求fx的值域．

定义在(0, +∞)上的函数f(x)，满足f(xy)=f(x)+f(y)，且f(13)=1.当x>1时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值并分析函数f(x)的单调性；

(2)解关于x的不等式f(x)+f(x−2)>−1．

已知函数fx=−12x2+132,x∈a,b的值域为2a,2b．求a，b的值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年陕西省西安市高一（上）10月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】
先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B．
【解答】
解：∵ 集合A={x||x|<2}={x|−2B={−1, 0, 1, 2, 3}，
∴ A∩B={−1, 0, 1}．
故选C.
2.
【答案】
B
【考点】
判断两个函数是否为同一函数
【解析】
直接判断两函数的定义域与解析式，即可判断是否为同一函数.
【解答】
解：A，由于函数y=1的定义域为R，函数y=x0的定义域为x|x≠0，故不是同一函数，故A错误；
B，由于函数y=(3x)3和y=x的定义域均为R，且y=(3x)3=x，故是同一函数，故B正确；
C，由于函数y=x2的定义域为R，函数y=(x)2的定义域为x|x≥0，故不是同一函数，故C错误；
D，由于函数y=(3x)3的定义域为R，函数y=x2x的定义域为x|x≠0，故不是同一函数，故D错误.
故选B.
3.
【答案】
C
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
根据函数成立的条件求函数的定义域即可．
【解答】
解：要使函数有意义，则x−1≥0，x−3≠0，
即x≥1，x≠3，
解得x≥1且x≠3，
∴ 函数的定义域为{x|x≥1且x≠3}，
即[1, 3)∪(3, +∞)．
故选C．
4.
【答案】
A
【考点】
分段函数的应用
函数的求值
【解析】
先求出f(−1)=2，再求f(f(−1))=f(2)=11−2=−1即可.
【解答】
解：已知函数 fx=x2−x,x≤1,11−x,x>1,
∴ f−1=(−1)2+1=2 ，
∴ f(f(−1))=f(2)=11−2=−1.
故选A.
5.
【答案】
D
【考点】
二次函数的性质
函数单调性的性质
【解析】
先求出函数fx=4x2−mx+5−m的单调递减区间为(−∞,m8]，由题意得到(−∞,−2]⊆(−∞,m8]，进而求解即可.
【解答】
解：∵ 抛物线fx=4x2−mx+5−m开口向上，对称轴为x=m8，
∴ 函数fx=4x2−mx+5−m的单调递减区间为(−∞,m8].
又∵ 函数fx=4x2−mx+5−m在(−∞,−2]上是减函数，
∴ m8≥−2，
解得m≥−16.
故选D.
6.
【答案】
A
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：令2x+3=t，
求得x=t−32，代入已知式子，
可得ft=t−322=t2−6t+94，
故有fx=14x2−6x+9
=14x2−32x+94.
故选A.
7.
【答案】
B
【考点】
集合关系中的参数取值问题
集合的包含关系判断及应用
【解析】
由题意得到方程x2−x+a=0有实根，则Δ=1−4a≥0，求解即可.
【解答】
解：∵ ⌀⫋x|x2−x+a=0，
∴ 方程x2−x+a=0有实数根，
∴ Δ=1−4a≥0，
解得a≤14.
故选B.
8.
【答案】
C
【考点】
复合函数的单调性
【解析】
由复合函数单调性，即可求出结果.
【解答】
解：fx=1x2−1，定义域为x|x≠±1，
令t=x2−1，则函数t=x2−1在区间−∞,−1，−1,0上为减函数，在0,1，1,+∞上为增函数.
又函数y=1t在区间−∞,0上为减函数，在区间0,+∞上为减函数，
∴ 由复合函数单调性可知：
函数fx=1x2−1在区间−∞,−1，−1,0上为增函数.
故选C.
9.
【答案】
D
【考点】
函数奇偶性的性质
函数的求值
【解析】
由题意得到f−x+fx=−16，即可得到结论.
【解答】
解：∵ f−x+fx
=a−x3+b−x5+c−x−8+ax3+bx5+cx−8
=−ax3−bx5−cx−8+ax3+bx5+cx−8
=−16，
∴ f−2020+f2020=−16，
∴ f2020=−16−10=−26.
故选D.
10.
【答案】
A
【考点】
分段函数的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 函数f(x)=ax,x>1，(4−a2)x+2,x≤1是R上的单调递增函数，
∴ a>0，4−a2>0，a≥4−a2+2.
解得a∈[4,8).
故选A.
11.
【答案】
B
【考点】
函数奇偶性的性质
函数单调性的判断与证明
【解析】
由于对任意的x1，x2∈(−∞, −1]，都有(x2−x1)（f(x2)−f(x1)）<0，可得函数f(x)在x∈(−∞, −1]上单调递减，即可得出．
【解答】
解：∵ 对任意的x1，x2∈(−∞, −1]，都有(x2−x1)[f(x2)−f(x1)]<0，
∴ 函数f(x)在x∈(−∞, −1]上单调递减，
∴ f(−2)>f(−32)>f(−1).
又∵ f(x)是偶函数，
∴ f(−2)=f(2)．
∴ f(−1)故选B．
12.
【答案】
B
【考点】
函数新定义问题
函数与方程的综合运用
【解析】
直接利用特殊法，设出函数f(x)，以及a的值，判断选项即可．
【解答】
解：符号函数sgnx=1,x>0,0,x=0,−1,x<0，f(x)是R上的增函数，
g(x)=f(x)−f(ax)(a>1)，
不妨令f(x)=x，a=2，
则g(x)=f(x)−f(ax)=−x，
sgn[g(x)]=−sgnx．
所以A不正确，B正确，
sgn[f(x)]=sgnx，C不正确；D正确；
对于D，令f(x)=x+1，a=2，
则g(x)=f(x)−f(ax)=−x，
sgn[f(x)]=sgn(x+1)=1,x>−1,0,x=−1,−1,x<−1;
sgn[g(x)]=sgn(−x)=1,x>−1,0,x=−1,−1,x<−1;
−sgn[f(x)]=−sgn(x+1)=−1,x>−1,0,x=−1,1,x<−1,
所以D不正确.
故选B．
二、填空题
【答案】
1或2
【考点】
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】
由幂函数y=(m2−3m+3)xm2−m−2的图象不过原点，知m2−3m+3=1m2−m−2≤0 ，由此能求出实数m的值．
【解答】
解：∵ 幂函数y=(m2−3m+3)xm2−m−2的图象不过原点，
∴ m2−3m+3=1，m2−m−2≤0.
解得m=1或m=2．
故答案为：1或2.
【答案】
12,1
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
首先由函数f(x−1)的定义域为2,3，求出函数f(x)的定义域，进而得到f(2x)的定义域．
【解答】
解：∵ 函数f(x−1)的定义域为2,3，
∴ x=2或x=3，
∴ x−1=1或x−1=2，
∴ f(x)的定义域为1,2，
由2x=1或2x=2可得x=12或x=1，
∴ 函数f(2x)的定义域为12,1．
故答案为：12,1．
【答案】
83
【考点】
函数最值的应用
【解析】
利用f(x)在[3, 4]上为减函数，即可得出结论．
【解答】
解：f(x)=2xx−2=2(1+2x−2)=2+4x−2，
∴ f(x)在[3, 4]上为减函数，
∴ M=f(3)=2+43−2=6，
m=f(4)=2+44−2=4，
∴ m2M=166=83.
故答案为：83.
【答案】
(−∞,74]
【考点】
函数恒成立问题
【解析】
由题意得到2k≤x+3x对任意的x∈2,4恒成立，利用对勾函数的单调性求出y=x+3x，x∈2,4的最小值即可得到答案.
【解答】
解：∵ 不等式x2−2kx+3≥0对任意的x∈2,4恒成立，
∴ 2k≤x+3x对任意的x∈2,4恒成立，
设y=x+3x，x∈2,4，
由对勾函数的单调性可知，函数y=x+3x在x∈2,4上单调递增，
∴ 当x=2时，函数有最小值为2+32=72，
∴ 2k≤72，k≤74，
∴ 实数k的取值范围为(−∞,74].
故答案为：(−∞,74].
三、解答题
【答案】
解：(1)①当a=1时，A=23≠⌀；
②当a≠1时，Δ=9+8(a−1)≥0，
即a≥−18且a≠1．
综上，a的取值范围为a|a≥−18．
(2)由A∩B=A，得A⊆B．
①当A=⌀时，a<−18，A⊆B；
②当A≠⌀时，由x2−3x+2=0，解得x=1或x=2．
由(1)可知，当a=1时，A=23，A⊆B 不成立，
当a≥−18且a≠1时，解得a=0，A⊆B成立．
综上，a的取值范围为{a|a<−18或a=0}.
【考点】
集合关系中的参数取值问题
集合的包含关系判断及应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)①当a=1时，A=23≠⌀；
②当a≠1时，Δ=9+8(a−1)≥0，
即a≥−18且a≠1．
综上，a的取值范围为a|a≥−18．
(2)由A∩B=A，得A⊆B．
①当A=⌀时，a<−18，A⊆B；
②当A≠⌀时，由x2−3x+2=0，解得x=1或x=2．
由(1)可知，当a=1时，A=23，A⊆B 不成立，
当a≥−18且a≠1时，解得a=0，A⊆B成立．
综上，a的取值范围为{a|a<−18或a=0}.
【答案】
解：设比100元的售价高x元时，总利润为y元，
则y=(100+x)(1000−5x)−80×1000
=−5x2+500x+20000
=−5(x−50)2+32500，
显然，当x=50即售价定为150元时，利润最大，
其最大利润为32500元．
【考点】
二次函数在闭区间上的最值
函数最值的应用
【解析】
根据题意先设比100元的售价高x元，写出总利润关于x的函数表达式，再结合二次函数的图象与性质得出当x取何值时，即售价定为多少元时，利润最大即可．
【解答】
解：设比100元的售价高x元时，总利润为y元，
则y=(100+x)(1000−5x)−80×1000
=−5x2+500x+20000
=−5(x−50)2+32500，
显然，当x=50即售价定为150元时，利润最大，
其最大利润为32500元．
【答案】
解：(1)当x≥−1时， fx=−x2−2x+2x+1+2=−x2+4．
当x<−1时， fx=−x2−2x+2−x−1+2=−x2−4x．
∴ fx的单调递增区间是−∞,−2，−1,0，
单调递减区间是−2,−1，0,+∞．
(2)易知2a2+a+1>0，3a2−2a+1>0，
故原不等式等价于2a2+a+1>3a2−2a+1，
整理得：a2−3a<0，
解得a的取值范围是0,3．
【考点】
已知函数的单调性求参数问题
函数的单调性及单调区间
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)当x≥−1时， fx=−x2−2x+2x+1+2=−x2+4．
当x<−1时， fx=−x2−2x+2−x−1+2=−x2−4x．
∴ fx的单调递增区间是−∞,−2，−1,0，
单调递减区间是−2,−1，0,+∞．
(2)易知2a2+a+1>0，3a2−2a+1>0，
故原不等式等价于2a2+a+1>3a2−2a+1，
整理得：a2−3a<0，
解得a的取值范围是0,3．
【答案】
1解：∵ 函数fx=ax+b1+x2是定义在−1,1上的奇函数，
∴ f−x=−fx，
即−ax+b1+x2=−ax+b1+x2
−ax+b=−ax−b，
∴ b=0.
又∵ f12=25，
∴ 12a1+122=25 ，
解得a=1，
∴ fx=x1+x2.
(2)证明：在区间−1,1上任取x1，x2，且−1fx1−fx2=x11+x12−x21+x22=x1−x21−x1x21+x121+x22，
∵ −1∴ x1−x2<0， 1−x1x2>0 ，1+x12>0， 1+x22>0，
∴ fx1−fx2<0，
即fx1故函数fx在区间−1,1上是增函数．
(3)解：f(x)定义域为(−1,1)，且在定义域内单调递增，
∵ f(−1)=−12，f(1)=12，
∴ f(x)的值域为−12,12.
【考点】
奇函数
函数单调性的判断与证明
函数的值域及其求法
【解析】
(1)由f−x=−fx，代入可求b，然后由f12=25可求a，进而可求函数解析式；
(2)利用函数单调性的定义进行证明；
(3)结合函数的单调性求值域即可.
【解答】
1解：∵ 函数fx=ax+b1+x2是定义在−1,1上的奇函数，
∴ f−x=−fx，
即−ax+b1+x2=−ax+b1+x2
−ax+b=−ax−b，
∴ b=0.
又∵ f12=25，
∴ 12a1+122=25 ，
解得a=1，
∴ fx=x1+x2.
(2)证明：在区间−1,1上任取x1，x2，且−1fx1−fx2=x11+x12−x21+x22=x1−x21−x1x21+x121+x22，
∵ −1∴ x1−x2<0， 1−x1x2>0 ，1+x12>0， 1+x22>0，
∴ fx1−fx2<0，
即fx1故函数fx在区间−1,1上是增函数．
(3)解：f(x)定义域为(−1,1)，且在定义域内单调递增，
∵ f(−1)=−12，f(1)=12，
∴ f(x)的值域为−12,12.
【答案】
解：(1)因为f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)，
所以，令x=y=1代入得，f(1)=f(1)+f(1)，
所以，f(1)=0.
f(x)在(0, +∞)上单调递减，理由如下：
任取x1，x2∈(0, +∞)，且x1>x2，所以x1x2>1，
则f(x1)=f(x1x2⋅x2)=f(x1x2)+f(x2)，
即f(x1)−f(x2)=f(x1x2)，
根据题意，当x>1时，f(x)<0，
所以f(x1x2)<0，
即f(x1)−f(x2)<0，
所以，f(x)在(0, +∞)上单调递减.
(2)∵ f(1)=f(3)+f(13)且f(13)=1，
∴ f(3)=−1.
不等式f(x)+f(x−2)>−1可化为：
f[x(x−2)]>f(3)，根据单调性和定义域列出不等式如下：
x>0，x−2>0，x(x−2)<3，
解得x∈(2, 3)，
即该不等式的解集为(2, 3)．
【考点】
函数恒成立问题
抽象函数及其应用
函数单调性的判断与证明
函数的求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)，
所以，令x=y=1代入得，f(1)=f(1)+f(1)，
所以，f(1)=0.
f(x)在(0, +∞)上单调递减，理由如下：
任取x1，x2∈(0, +∞)，且x1>x2，所以x1x2>1，
则f(x1)=f(x1x2⋅x2)=f(x1x2)+f(x2)，
即f(x1)−f(x2)=f(x1x2)，
根据题意，当x>1时，f(x)<0，
所以f(x1x2)<0，
即f(x1)−f(x2)<0，
所以，f(x)在(0, +∞)上单调递减.
(2)∵ f(1)=f(3)+f(13)且f(13)=1，
∴ f(3)=−1.
不等式f(x)+f(x−2)>−1可化为：
f[x(x−2)]>f(3)，根据单调性和定义域列出不等式如下：
x>0，x−2>0，x(x−2)<3，
解得x∈(2, 3)，
即该不等式的解集为(2, 3)．
【答案】
解：若b<0，则fx=−12x2+132在[a,b]上单调递增，
则fa=2a，fb=2b．
此时a，b是方程fx=2x的两根，
易解得a=−2−17，b=−2+17>0，舍去；
若a>0，则fx=−12x2+132在[a,b]上单调递减，
则fa=2b，fb=2a．
两式相减得2b−a=fa−fb=−12a2−b2，
∴a+b=4．
代入易解得a=1，b=3．
若a≤0≤b，则fx=−12x2+132在[a,b]上的最大值为f0=132，
此时b=134．
此时fx的最小值2a是fa和f134中的较小数，
而f134>0，故0≥2a≠f134，
故fa=2a，解得a=−2−17．
综上：a=1，b=3或a=−2−17，b=134．
【考点】
二次函数在闭区间上的最值
二次函数的性质
函数的值域及其求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：若b<0，则fx=−12x2+132在[a,b]上单调递增，
则fa=2a，fb=2b．
此时a，b是方程fx=2x的两根，
易解得a=−2−17，b=−2+17>0，舍去；
若a>0，则fx=−12x2+132在[a,b]上单调递减，
则fa=2b，fb=2a．
两式相减得2b−a=fa−fb=−12a2−b2，
∴a+b=4．
代入易解得a=1，b=3．
若a≤0≤b，则fx=−12x2+132在[a,b]上的最大值为f0=132，
此时b=134．
此时fx的最小值2a是fa和f134中的较小数，
而f134>0，故0≥2a≠f134，
故fa=2a，解得a=−2−17．
综上：a=1，b=3或a=−2−17，b=134．