2020-2021学年陕西省西安市高一（上）期中考试数学试卷北师大版

这是一份2020-2021学年陕西省西安市高一（上）期中考试数学试卷北师大版，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知全集U={1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合A={1, 3, 4, 6}，B={2, 4, 5, 6}，则A∩∁UB等于( )
A.{1, 3}B.{2, 5}C.{4}D.⌀

2. 下列四个函数中，与y=x表示同一函数的是( )
A.y=(x)2B.y=3x3C.y=x2D.y=x2x

3. 设a=30.8，b=31.2，c=3，则( )
A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

4. lg4+lg25的值是( )
A.lg29B.100C.10D.2

5. 将函数y=2(x+1)2−3的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得的图象所对应的函数解析式为( )
A.y=2x2B.y=2x2−6C.y=2(x+2)2−6D.y=2(x+2)2

6. 已知函数f(x)=lg3x(x>0),(12)x(x≤0),则f(f(127))=( )
A.−18B.18C.−8D.8

7. f(x)=lg0.5(4x−1)的定义域为( )
A.(−∞,12]B.[12,+∞)C.(14,12]D.(14,+∞)

8. 函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=−x+1，则当x<0时，f(x)等于( )
A.−x+1B.−x−1C.x+1D.x−1

9. 已知函数f(x)=x2+1,x≥2，f(x+3),x<2，则f(1)−f(3)等于( )
A.−7B.−2C.7D.27

10. 函数y=ax−1aa>0,a≠1的图象可能是( )
A.B.C.D.
二、填空题

已知点(2, 2)在幂函数f(x)=xα(α>0)的图象上，则f(x)的表达式是________．

若a>0且a≠1，则函数y=ax−1+1的图象恒过一定点，该定点的坐标为________．

函数y=2x2−2x的单调递增区间为________.

函数y=1−2x的定义域为________．
三、解答题

计算(0.027)−13−(2−1)0+7lg72+lg213−4lg3+4+lg6−lg0.02的值．

已知集合A={x|2m−10(1)若m=4，求A∩B；

(2)若A⊆B，求m的取值范围．

已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，已知x≥0时，f(x)=x2−2x．
1画出函数f(x)的图像；

2指出函数f(x)的单调递增区间及值域；

3若直线y=k(k∈R)与函数f(x)的图像恰有4个交点，求k的取值范围.

利用单调性的定义证明函数f(x)=−2x+1在区间[0, 2]上是增加的．

已知函数f(x)=x2+2ax+2，x∈[−5, 5].
(1)当a=−1时，指出函数的单调区间；

(2)求f(x)的最小值g(a)的表达式．

已知函数f(x)=lgax+1x−1+m(a>0且a≠1)是奇函数.
(1)求m的值；

(2)讨论f(x)在(1, +∞)上的单调性，并予以证明．
参考答案与试题解析
2020-2021学年陕西省西安市高一（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
求出集合B的补集，然后求解它们的交集即可．
【解答】
解：因为全集U={1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合A={1, 3, 4, 6}，B={2, 4, 5, 6}，
所以∁UB={1, 3}，
所以A∩∁UB={1, 3, 4, 6}∩{1, 3}={1, 3}．
故选A.
2.
【答案】
B
【考点】
判断两个函数是否为同一函数
【解析】
逐一检验各个选项中的函数与已知的函数是否具有相同的定义域、值域、对应关系，只有这三者完全相同时，两个函数才是同一个函数．
【解答】
解：选项A中的函数的定义域与已知函数不同，
故排除选项A；
选项B中的函数与已知函数具有相同的定义域、值域和对应关系，
故是同一个函数，故选项B满足条件；
选项C中的函数与已知函数的值域不同，
故不是同一个函数，故排除选项C；
选项D中的函数与已知函数的定义域不同，
故不是同一个函数，故排除选项D.
故选B．
3.
【答案】
C
【考点】
指数函数单调性的应用
【解析】
根据指数函数y=3x为增函数，通过比较三个指数的大小，可得答案．
【解答】
解：∵ 函数y=3x为增函数，
又1.2>1>0.8，
∴ 31.2>3>30.8，
即b>c>a.
故选C.
4.
【答案】
D
【考点】
对数及其运算
【解析】
利用对数的运算法则即可得出．
【解答】
解：原式=lg(4×25)=lg100=lg102=2．
故选D.
5.
【答案】
A
【考点】
函数的图象
二次函数的图象
二次函数的性质
【解析】
函数y＝f(x)图象向右平移1个单位长度，得到图象对应的解析式为：y＝f(x−1)，然后再将所得图象向上平移3个单位长度，得到的图象对应函数表达式为：y＝f(x−1)+3．依此规律代入题中函数解析式，不难得到正确答案．
【解答】
解：将函数y=2(x+1)2−3的图象向右平移1个单位长度，
得到的图象对应函数解析式为y=2(x+1−1)2−3=2x2−3，
再向上平移3个单位长度，
得到的图象对应函数解析式为y=2x2−3+3=2x2，
即最终得到的图象对应函数解析式为y=2x2.
故选A.
6.
【答案】
D
【考点】
函数的求值
【解析】
利用分段函数的解析式即可求得f（f(127)）的值．
【解答】
解：∵ f(x)=lg3x(x>0)，(12)x(x≤0)，
∴ f(127)=lg3127=−3，
∴ f(f(127))=f(−3)=(12)−3=8．
故选D.
7.
【答案】
C
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
由f(x)中被开方数大于或等于0以及对数函数的性质，求得f(x)的定义域．
【解答】
解：∵ f(x)=lg0.5(4x−1)，
∴ lg0.5(4x−1)≥0，4x−1>0，
即0<4x−1≤1，
解得14∴ f(x)的定义域为(14, 12].
故选C.
8.
【答案】
B
【考点】
函数奇偶性的性质
【解析】
因为要求x<0时的解析式，先设x<0，则−x>0，因为已知x>0时函数的解析式，所以可求出f(−x)，再根据函数的奇偶性来求f(x)与f(−x)之间的关系．
【解答】
解：设x<0，则−x>0，
∵ 当x>0时，f(x)=−x+1，
∴ f(−x)=x+1，
又∵ f(x)是定义在R上的奇函数，
∴ f(x)=−f(−x)=−(x+1)=−x−1.
故选B.
9.
【答案】
C
【考点】
分段函数的应用
函数的求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：依题意得f(1)=f(4)=42+1=17，
f(3)=32+1=10，
所以f(1)−f(3)=7.
故选C.
10.
【答案】
D
【考点】
指数函数的单调性与特殊点
指数函数的图象
【解析】
结合指数函数的图像，对a分类讨论，逐个排除，即可得答案.
【解答】
解：∵1a≠0，∴ y=ax−1a≠ax，故排除A；
当a>1时，若x=0，y=1−1a=a−1a>0，故排除B；
当0故选D.
二、填空题
【答案】
f(x)=x2
【考点】
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】
把点(2, 2)代入幂函数f(x)=xα，求出α的值即可．
【解答】
解：∵ 点(2, 2)在幂函数f(x)=xα的图象上，
∴ 2=(2)α，
解得α=2，
∴ f(x)=x2.
故答案为：f(x)=x2．
【答案】
(1, 2)
【考点】
指数函数的单调性与特殊点
【解析】
令a的幂指数x−1=0，可得 x=1，此时求得y=2，由此可得所求的定点坐标．
【解答】
解：令x−1=0，
则x=1，
此时y=2，
故所求的定点坐标为(1, 2).
故答案为：(1, 2)．
【答案】
[1,+∞)
【考点】
复合函数的单调性
【解析】
求出二次函数的对称轴，开口方向，即可判断单调增区间．
【解答】
解：令t=x2−2x=(x−1)2−1，则函数在[1,+∞)上单调递增，
∵ y=2t在R上为单调递增，
∴ 函数的单调递增区间是[1,+∞).
故答案为：[1,+∞).
【答案】
(−∞, 0]
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
偶次开方时的被开方数大于等于0，得到1−2x≥0，进而根据指数函数单调性求出x的取值范围．
【解答】
解：由题意，得函数y=1−2x的定义域为1−2x≥0，
解得x≤0.
故答案为：(−∞, 0]．
三、解答题
【答案】
解：原式=[(103)−3]−13−1+2+(lg3−2)2+lg6+lg50
=103−1+2+2−lg3+lg3+2
=253．
【考点】
对数的运算性质
有理数指数幂的化简求值
【解析】
利用对数的运算法则和指数幂的运算法则即可得出．
【解答】
解：原式=[(103)−3]−13−1+2+(lg3−2)2+lg6+lg50
=103−1+2+2−lg3+lg3+2
=253．
【答案】
解：(1)当m=4时，A={x|2×4−10则A∩B={x|2(2)∵ A⊆B，
当A≠⌀时，2m−10解得，6≤m≤7；
当A=⌀时，由2m−10≥m−1得，m≥9；
故m的取值范围为{m|m≥9或6≤m≤7}．
【考点】
交集及其运算
集合的包含关系判断及应用
【解析】
（1）当m=3时，化简A={x2−3x−10≤0}=[−2, 5]，B=(2, 7)；从而求交集．
（2）讨论当B≠⌀时，m−1<2m+1m−1≥−22m+1≤5；当B=⌀时，m−1≥2m+1，从而解得．
【解答】
解：(1)当m=4时，A={x|2×4−10则A∩B={x|2(2)∵ A⊆B，
当A≠⌀时，2m−10解得，6≤m≤7；
当A=⌀时，由2m−10≥m−1得，m≥9；
故m的取值范围为{m|m≥9或6≤m≤7}．
【答案】
解：1画出f(x)的图像如图所示.
2由图像知，函数f(x)的单调递增区间为[−1, 0]，[1, +∞)，值域为[−1,+∞).
3由图像可知，当−1则k的取值范围为(−1, 0)．
【考点】
二次函数的图象
函数的值域及其求法
函数的单调性及单调区间
二次函数的性质
函数的零点与方程根的关系
【解析】
（1）根据已知条件画出函数f(x)的图象，根据图象即可得到f(x)的单调递增区间；
(3)通过图象即可得到k的取值范围．
【解答】
解：1画出f(x)的图像如图所示.
2由图像知，函数f(x)的单调递增区间为[−1, 0]，[1, +∞)，值域为[−1,+∞).
3由图像可知，当−1则k的取值范围为(−1, 0)．
【答案】
证明：设x1，x2∈[0, 2]，且x1则f(x1)−f(x2)
=−2x1+1−(−2x2+1)
=2x2+1−2x1+1
=2(x1−x2)(x1+1)(x2+1).
∵ 0≤x1∴ x1−x2<0，(x1+1)(x2+1)>0，
∴ f(x1)−f(x2)<0，
即f(x1)∴ f(x)在区间[0, 2]上是增函数．
【考点】
函数单调性的判断与证明
【解析】
用单调性的定义证明f(x)在区间[0, 2]上是增加的，基本步骤为：一取值，二作差，三判正负，四下结论．
【解答】
证明：设x1，x2∈[0, 2]，且x1则f(x1)−f(x2)
=−2x1+1−(−2x2+1)
=2x2+1−2x1+1
=2(x1−x2)(x1+1)(x2+1).
∵ 0≤x1∴ x1−x2<0，(x1+1)(x2+1)>0，
∴ f(x1)−f(x2)<0，
即f(x1)∴ f(x)在区间[0, 2]上是增函数．
【答案】
解：(1)由题意可知，当a=−1时，f(x)=x2−2x+2，x∈[−5, 5]，
∴ f(x)=x2−2x+2的对称轴为直线x=1.
又函数f(x)=x2−2x+2的图象开口向上，
∴ 当x∈[−5, 1]时，f(x)单调递减；当x∈[1, 5]时，f(x)单调递增．
(2)f(x)=x2+2ax+2=(x+a)2+2−a2.
当−a≥5，即a≤−5时，
g(a)=f(5)=27+10a；
当−a≤−5，即a≥5时，
g(a)=f(−5)=27−10a；
当−5<−a<5，即−5g(a)=f(−a)=2−a2.
综上所述，g(a)=27+10a，a≤−5，2−a2，−5【考点】
二次函数的性质
函数的最值及其几何意义
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
（1）当a=−1时，根据二次函数的图象和性质即可确定函数的单调区间．
（2）根据对称轴和对应区间的关系即可求g(a)的表达式．
【解答】
解：(1)由题意可知，当a=−1时，f(x)=x2−2x+2，x∈[−5, 5]，
∴ f(x)=x2−2x+2的对称轴为直线x=1.
又函数f(x)=x2−2x+2的图象开口向上，
∴ 当x∈[−5, 1]时，f(x)单调递减；当x∈[1, 5]时，f(x)单调递增．
(2)f(x)=x2+2ax+2=(x+a)2+2−a2.
当−a≥5，即a≤−5时，
g(a)=f(5)=27+10a；
当−a≤−5，即a≥5时，
g(a)=f(−5)=27−10a；
当−5<−a<5，即−5g(a)=f(−a)=2−a2.
综上所述，g(a)=27+10a，a≤−5，2−a2，−5【答案】
解：(1)由题意可知，f(x)是奇函数，
则f(−x)=−f(x)，
即lga−x+1−x−1+m=−lgax+1x−1−m，
解得m=0.
(2)设u=x+1x−1，任取x2>x1>1，
则u2−u1=x2+1x2−1−x1+1x1−1
=(x2+1)(x1−1)−(x1+1)(x2−1)(x2−1)(x1−1)
=2x1−x2x2−1x1−1.
∵ x1>1，x2>1，∴ x1−1>0，x2−1>0.
又∵ x1∴ 2x1−x2x2−1x1−1<0，即u2当a>1时，y=lgax是增函数，
∴ lgau2当0∴ lgau2>lgau1，即fx2>fx1.
综上所述，当a>1时，fx在1,+∞上单调递减；
当0【考点】
函数奇偶性的性质
函数单调性的判断与证明
对数函数的单调性与特殊点
【解析】
(1)根据奇函数的定义f(−x)=−f(x)便可求出m；
(2)讨论a的取值判断f′(x)的符号，从而判断出函数f(x)在(1, +∞)上的单调性．
【解答】
解：(1)由题意可知，f(x)是奇函数，
则f(−x)=−f(x)，
即lga−x+1−x−1+m=−lgax+1x−1−m，
解得m=0.
(2)设u=x+1x−1，任取x2>x1>1，
则u2−u1=x2+1x2−1−x1+1x1−1
=(x2+1)(x1−1)−(x1+1)(x2−1)(x2−1)(x1−1)
=2x1−x2x2−1x1−1.
∵ x1>1，x2>1，∴ x1−1>0，x2−1>0.
又∵ x1∴ 2x1−x2x2−1x1−1<0，即u2当a>1时，y=lgax是增函数，
∴ lgau2当0∴ lgau2>lgau1，即fx2>fx1.
综上所述，当a>1时，fx在1,+∞上单调递减；
当0

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