2020-2021学年河南省新乡市高一（下）4月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河南省新乡市高一（下）4月月考数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下列各角中，与2021∘终边相同的角为（ ）
A.51∘B.−139∘C.243∘D.−51∘

2. 给出下列四种说法：
①对立事件一定是互斥事件；
②若A，B为两个事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)；
③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)+P(B)+P(C)=1；
④若事件A，B满足P(A)+P(B)=1，则A，B是对立事件．
其中错误的个数是( )
A.1B.2C.3D.4

3. 若a→=1,−2，b→=−2,4，则下列结论错误的是( )
A.a→//b→B.a→⊥b→C.|a→|=5D.|b→|=25

4. 把十进制数113化为二进制数为( )
A.111001(2)B.110101(2)C.1110001(2)D.1001011(2)

5. 已知角θ终边经过点3,−4，则sin3π2−θ⋅csπ+θsinπ2+θ⋅cs5π2+θ= ( )
A.34B.43C.−43D.−34

6. 已知函数fx=x2−2x−3，在定义域−1,3内任取一点x0，则使−3A.13B.12C.23D.14

7. 中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜欢在扇面上写字作画．如图，是书画家唐寅(1470−1523)的《枯木寒鸦图》扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为( )

A.280cm2B.352cm2C.528cm2D.704cm2

8. 执行如图所示的程序框图，则输出的S为( )

A.170+lg514B.683C.lg514+683D.169

9. 某国际物流有限公司所属危险品仓库发生特大爆炸，某地区选出600名消防官兵参与灾区救援，设其编号为001，002，⋯，600，为打通生命通道，先采用系统抽样方法抽出50名先遣部队，且随机抽得的一个号码为003，这600名官兵来源于不同的县市，从001到300来自A市，从301到495来自B市，从496到600来自C市，则三个市被抽中的人数依次为( )
A.26，16，8B.25，17，8C.25，16，9D.24，17，9

10. 气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22∘C”现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：
①甲地：5个数据的中位数为23，众数为22；
②乙地：5个数据的中位数为26，总体均值为24；
③丙地：5个数据中有一个数据是30，总体均值为25，总体方差为11.4.
则肯定进入夏季的地区有( )
A.3个B.2个C.1个D.0个

11. 数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗:“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343，12521等，两位数的回文数有11，22，33，⋯，99共9个，则三位数的回文数中为偶数的概率是( )
A.19B.29C.13D.49

12. 设函数fx=csωx−π4ω>0，已知fx在0,2π上有且仅有4个零点，则下述结论：①fx=1在0,2π上有且仅有2个实数根；②ω的取值范围是158,198；③fx在0,π10上单调递减，其中错误的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
二、填空题

如图，一不规则图形M内部有一半径为1的圆．现向图形M内随机取点100个，发现有22个点在圆内，由此估计图形M的面积为________．

三、解答题

读下列程序，写出此程序表示的函数，并求当输出的y=9时，输入的x的值．


设向量a→，b→满足|a→|=1，|b→|=1，且|ka→+b→|=3|a→−kb→|(k>0)．
(1)a→与b→能否垂直？

(2)若a→与b→的夹角为60∘，求实数k的值．

已知函数fx=sin2x−π3+12．
(1)求函数fx的单调增区间；

(2)求函数fx图象的对称轴方程和对称中心坐标．

某果农选取一片山地种植砂糖桔，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量(单位:kg)，获得的所有数据按照区间[40, 45]，(45, 50]，(50, 55]，(55, 60]进行分组，得到频率分布直方图如图所示.已知样本中产量在区间(45, 50]上的果树株数是产量在区间(50, 60]上的果树株数的43倍.

(1)求a，b的值;

(2)从样本中产量在区间(50, 60]上的果树里随机抽取2株，求产量在区间(55, 60]上的果树至少有一株被抽中的概率.

某地区2014年至2020年城镇居民家庭人均纯收入y（单位：万元）的数据如下表：

(1)求y关于t的线性回归方程；

(2)利用(1)中的回归方程，分析2014年至2020年该地区城镇居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2022年城填居民家庭人均纯收入．
附：参考公式 b=i=1nti−t¯yi−y¯i=1nti−t¯2，a=y¯−bt¯．

函数fx=csωx+φω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示．

(1)求fx的解析式；

(2)若∀x∈−π4,π4,fx2+mfx−1≤0，求m的取值范围；

(3)求实数a及对应的正整数n，使得函数Fx=fx−a在0,nπ上恰有2021个零点．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省新乡市高一（下）4月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
终边相同的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：与2021∘终边相同的角为α=k⋅360∘+2021∘，
当k=−6时，α=−139∘．
故选B．
2.
【答案】
C
【考点】
命题的真假判断与应用
互斥事件与对立事件
概率的基本性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：①对立事件一定是互斥事件，故①正确；
②只有A，B为互斥事件时，则P(A+B)=P(A)+P(B)，故②错误；
③若事件A，B，C两两互斥，
∵ (A∪B∪C)≠Ω，则P(A)+P(B)+P(C)≤1，故③错误；
④若事件A，B满足P(A)+P(B)=1，则A，B是对立事件，不一定正确，因为由对立事件的定义可知，
若事件A，B满足P(A)+P(B)=1且A∩B=⌀，则A，B为对立事件，故④错误.
其中错误命题的个数是3．
故选C.
3.
【答案】
B
【考点】
向量的数量积判断向量的共线与垂直
向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A，∵ 1×4−(−2)×(−2)=0，∴ a→//b→，故A正确；
B，∵ a→⋅b→=−2−8=−10≠0，∴ a→与b→不垂直，故B错误；
C，|a→|=1+(−2)2=5，故C正确；
D，|b→|=42+(−2)2=25，故D正确.
故选B．
4.
【答案】
C
【考点】
进位制
【解析】
十进制数除以2所得的余数，可得二进制数，属于基础题.
【解答】
解：113÷2=56⋯⋯1，
56÷2=28⋯⋯0，
28÷2=14⋯⋯0，
14÷2=7⋯⋯0，
7÷2=3⋯⋯1，
3÷2=1⋯⋯1，
1÷2=0⋯⋯1，
故113(10)=1110001(2).
故选C.
5.
【答案】
A
【考点】
运用诱导公式化简求值
同角三角函数基本关系的运用
诱导公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 角θ终边经过点3,−4．
∴ tanθ=−43，
则sin3π2−θ⋅cs(π+θ)sinπ2+θ⋅cs5π2+θ=−csθ⋅(−csθ)csθ⋅(−sinθ)=−1tanθ=34．
故选A．
6.
【答案】
B
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意，得−3≤x02−2x0−3<0，
即x0∈−1,0∪2,3，
由几何概型，得在定义域−1,3内任取一点x0，
使−3故选B．
7.
【答案】
D
【考点】
扇形面积公式
弧长公式
【解析】
设∠AOB＝θ，OA＝OB＝r，由题意可得：24=rθ64=(r+16)θ ，解得r，进而根据扇形的面积公式即可求解．
【解答】
解：如图，设∠AOB=θ，OA=OB=r，
由题意可得：24=rθ,64=(r+16)θ,
解得：r=485，
所以，S扇面=S扇形OCD−S扇形OAB
=12×64×(485+16)−12×24×485=704cm2．
故选D.
8.
【答案】
D
【考点】
程序框图
【解析】
程序框图
【解答】
解：由程序框图可知
S=21+23+25+27+lg524+lg546+lg568+lg5810
=2+8+32+128+lg515=169.
故选D.
9.
【答案】
B
【考点】
系统抽样方法
【解析】
根据系统抽样的定义求出号码间隔即可得到结论．
【解答】
解：号码间隔为600÷50=12，
则随机抽的号码为3+12(n−1)=12n−9，n∈N∗，
由1≤12n−9≤300，n∈N∗，得1≤n≤25，n∈N∗，共有25人；
由301≤12n−9≤495，n∈N∗，得26≤n≤42，n∈N∗，共有17人；
由496≤12n−9≤600，n∈N∗，得43≤n≤50，n∈N∗，共有8人，
故三个市被抽中的人数依次为25，17，8.
故选B.
10.
【答案】
C
【考点】
众数、中位数、平均数
极差、方差与标准差
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：甲地肯定进入，因为众数为22，所以22至少出现两次，若有一天低于22∘C，则中位数不可能为23；
乙地不一定进入，如14，23，26，28，29；
丙地不一定进入，设另外4个数据中其中一个数据为x，
则11.4×5−30−252=32≥x−252，若x=20，21时，显然成立．
故选C．
11.
【答案】
D
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：三位数的回文数为ABA，
A共有1到9共9种可能，
即1B1，2B2，3B3，⋯，
B共有0到9共10种可能，
即A0A，A1A，A2A，A3A，⋯，
共有9×10=90个，
其中A是偶数，共4种可能，
即2B2，4B4，6B6，8B8，
B共有0到9共10种可能，
即A0A，A1A，A2A，A3A，⋯，
共有4×10=40个，
所以三位数的回文数中，
偶数的概率P=4090=49.
故选D.
12.
【答案】
C
【考点】
函数的零点
余弦函数的图象
余弦函数的单调性
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：当x∈0,2π时，ωx−π4∈−π4,2πω−π4，
∵ fx在0,2π有且仅有4个零点，
∴ 2πω−π4在第4个零点和第5个零点之间，
∴ 7π2≤2πω−π4<9π2，
解得158≤ω<198，故②正确；
当fx=1时，ωx−π4=2kπ，k∈Z，
又−π4≤ωx−π4≤2πω−π4<9π2，
∴ k=0，1，2，结合y=csx知，fx=1最多有3个零点，故①错误；
当x∈0,π10时，ωx−π4∈−π4,πω10−π4，
∵ 158≤ω<198，
∴ πω10−π4∈−π16,−π80，
则πω10−π4<0，
∴ fx在0,π10上单调递增，故③错误．
故选C.
二、填空题
【答案】
50π11
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设这个不规则图形面积为S，
由题知，圆的面积为π，
由题意，得πS=22100，
解得S=50π11．
故答案为：50π11．
三、解答题
【答案】
解：∵ x≤0时，y=x4时；当x>0时，y=1+lg2x，
∴ y=x4,x≤0,1+lg2x，x>0,
当y=9时，x4=9x≤0，x2=3，解得x=−3，
或1+lg2x=9(x>0)，lg2x=8，解得x=28=256，
∴ y=9时，输入的x值为−3或256．
【考点】
条件语句
伪代码
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ x≤0时，y=x4时；当x>0时，y=1+lg2x，
∴ y=x4,x≤0,1+lg2x，x>0,
当y=9时，x4=9x≤0，x2=3，解得x=−3，
或 1+lg2x=9(x>0)，lg2x=8，解得x=28=256，
∴ y=9时，输入的x值为−3或256．
【答案】
解：(1)由|ka→+b→|=3|a→−kb→|，得(ka→+b→)2=3(a→−kb→)2，
∵ |a→|=1，|b→|=1，
∴ 8ka→⋅b→=2k2+2，
即a→⋅b→=k2+14k.
∵ k2+1≠0，
∴ a→⋅b→≠0，
∴ a→与b→不可能垂直.
(2)∵ 8ka→⋅b→=2k2+2，且a→与b→的夹角为60∘，
∴ 8k|a→|⋅|b→|cs60∘=2k2+2，
又|a→|=1，|b→|=1，
∴ 8k⋅12=2k2+2，解得k=1．
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
向量的模
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
（1）|ka→+b→|=3|a→−kb→|两边平方后代入|a→|=1，|b→|=1整理，得到8ka→⋅b→=2k2+2≥2>0，说明
a→与b→不可能垂直；
（2）把a→与b→的数量积代入（1）中整理得到的等式，化为关于k的方程求解k的值．
【解答】
解：(1)由|ka→+b→|=3|a→−kb→|，得(ka→+b→)2=3(a→−kb→)2，
∵ |a→|=1，|b→|=1，
∴ 8ka→⋅b→=2k2+2，
即a→⋅b→=k2+14k.
∵ k2+1≠0，
∴ a→⋅b→≠0，
∴ a→与b→不可能垂直.
(2)∵ 8ka→⋅b→=2k2+2，且a→与b→的夹角为60∘，
∴ 8k|a→|⋅|b→|cs60∘=2k2+2，
又|a→|=1，|b→|=1，
∴ 8k⋅12=2k2+2，解得k=1．
【答案】
解：(1)由2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，k∈Z得kπ−π12≤x≤kπ+5π12，k∈Z．
∴ fx的单调增区间为kπ−π12,kπ+5π12，k∈Z．
(2)由sin2x−π3=±1得2x−π3=kπ+π2，k∈Z，
∴ x=kπ2+5π12．
∴ fx的图象的对称轴方程为x=kπ2+5π12，k∈Z．
由sin2x−π3=0，得2x−π3=kπ，k∈Z，
∴ x=kπ2+π6．
∴ fx图象的对称中心为kπ2+π6,12，k∈Z．
【考点】
正弦函数的单调性
正弦函数的图象
正弦函数的对称性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，k∈Z得kπ−π12≤x≤kπ+5π12，k∈Z．
∴ fx的单调增区间为kπ−π12,kπ+5π12，k∈Z．
(2)由sin2x−π3=±1得2x−π3=kπ+π2，k∈Z，
∴ x=kπ2+5π12．
∴ fx的图象的对称轴方程为x=kπ2+5π12，k∈Z．
由sin2x−π3=0，得2x−π3=kπ，k∈Z，
∴ x=kπ2+π6．
∴ fx图象的对称中心为kπ2+π6,12，k∈Z．
【答案】
解：(1)样本中产量在区间(45,50]上的果树有
a×5×20=100a（株），
样本中产量在区间(50,60]上的果树有
b+0.02×5×20=100b+0.02（株），
依题意，有100a=43×100b+0.02，即a=43b+0.02①，
根据频率分布直方图可知，0.02+b+0.06+a×5=1②，
由①②，得a=0.08，b=0.04.
(2)样本中产量在区间(50,55]上的果树有0.04×5×20=4（株），
分别记为A1，A2，A3，A4，
产量在区间(55,60]上的果树有0.02×5×20=2（株），
分别记为B1，B2，
从这6株果树中随机抽取2株共有15种情况：
A1,A2，A1,A3，A1,A4，A1,B1，A1,B2，
A2,A3，A2,A4，A2,B1，A2,B2，A3,A4，
A3,B1，A3,B2，A4,B1，A4,B2，B1,B2，
其中产量在(55,60]上的果树至少有一株被抽中共有9种情况：
(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,B1)，(A2,B2)，
(A3,B1)，(A3,B2)，(A4,B1)，(A4,B2)，(B1,B2)，
记“从样本中产量在区间(50,60]上的果树中随机抽取2株，产量在区间(55,60]上的果树至少有一株被抽中“为事件M，
则PM=915=35.
【考点】
频率分布直方图
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
(1)样本中产量在区间(45.50]上的果树是样本中产量在区间(50.60]上的果树的43倍及0.02+b+0.06+a×5=1求解.
(2)分别列举出从样本中产量在区间(50, 60]上的果树里随机抽取两株可能的情况，以及产量在区间(55, 60]上的果树至少有一株被抽中的情况，然后求概率即可.
【解答】
解：(1)样本中产量在区间(45,50]上的果树有
a×5×20=100a（株），
样本中产量在区间(50,60]上的果树有
b+0.02×5×20=100b+0.02（株），
依题意，有100a=43×100b+0.02，即a=43b+0.02①，
根据频率分布直方图可知，0.02+b+0.06+a×5=1②，
由①②，得a=0.08，b=0.04.
(2)样本中产量在区间(50,55]上的果树有0.04×5×20=4（株），
分别记为A1，A2，A3，A4，
产量在区间(55,60]上的果树有0.02×5×20=2（株），
分别记为B1，B2，
从这6株果树中随机抽取2株共有15种情况：
A1,A2，A1,A3，A1,A4，A1,B1，A1,B2，
A2,A3，A2,A4，A2,B1，A2,B2，A3,A4，
A3,B1，A3,B2，A4,B1，A4,B2，B1,B2，
其中产量在(55,60]上的果树至少有一株被抽中共有9种情况：
(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,B1)，(A2,B2)，
(A3,B1)，(A3,B2)，(A4,B1)，(A4,B2)，(B1,B2)，
记“从样本中产量在区间(50,60]上的果树中随机抽取2株，产量在区间(55,60]上的果树至少有一株被抽中“为事件M，
则PM=915=35.
【答案】
解：(1)由所给数据计算得
t¯=17×1+2+3+4+5+6+7=4，
y¯=17×3.1+3.5+3.8+4.6+5.0+5.4+6.1=4.5，
i=17ti−t¯2=9+4+1+0+1+4+9=28，
i=17(ti−t¯)(yi−y¯)=(−3)×(−1.4)+(−2)×(−1)
+(−1)×(−0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14，
∴ b=1428=0.5，
a=y¯−bt¯=4.5−0.5×4=2.5，
所求回归方程为y=0.5t+2.5.
(2)由(1)知，b=0.5>0，
故2014年至2020年该地区城镇居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年大约增加0.5万元．
将2022年的年份代号t=9，代入(1)中的回归方程，
得y=0.5×9+2.5=7.0，
故预测该地区2022年城镇居民家庭人均纯收入为7.0万元．
【考点】
求解线性回归方程
回归分析的初步应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由所给数据计算得
t¯=17×1+2+3+4+5+6+7=4，
y¯=17×3.1+3.5+3.8+4.6+5.0+5.4+6.1=4.5，
i=17ti−t¯2=9+4+1+0+1+4+9=28，
i=17(ti−t¯)(yi−y¯)=(−3)×(−1.4)+(−2)×(−1)
+(−1)×(−0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14，
∴ b=1428=0.5，
a=y¯−bt¯=4.5−0.5×4=2.5，
所求回归方程为y=0.5t+2.5.
(2)由(1)知，b=0.5>0，
故2014年至2020年该地区城镇居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年大约增加0.5万元．
将2022年的年份代号t=9，代入(1)中的回归方程，
得y=0.5×9+2.5=7.0，
故预测该地区2022年城镇居民家庭人均纯收入为7.0万元．
【答案】
解：(1)由图可得34T=5π6−π12，即34⋅2πω=3π4，
∴ω=2，
∴cs2×π12+φ=1，
∴π6+φ=2kπ，φ=2kπ−π6，
∴φ=−π6，fx=cs2x−π6．
(2) ∵x∈−π4,π4，
∴2x−π6∈−2π3,π3，
∴fx∈−12,1，
令t=fx∈−12,1，
则由题意得gt=t2+mt−1≤0恒成立，
由二次函数图像可知只需g−12=14−12m−1≤0，
g1=m≤0，解得−32≤m≤0．
(3)由题意可得y=fx的图像与直线y=a在0,nπ上恰有2021个交点．
在0,π上，2x−π6∈−π6,11π6，
①当a>1或a<−1时，y=fx的图像与直线y=a在0,nπ上无交点．
②当a=1或a=−1时，y=fx的图像与直线y=a在[0,π]仅有一个交点，
此时y=fx的图像与直线y=a在[0,nπ]上恰有2021个交点，则n=2021；
③当−1y=fx的图像与直线y=a在[0,nπ]上有偶数个交点，不可能有2021个交点；
④当a=32时，y=fx的图像与直线y=a在[0,π]恰有3个交点，
此时n=1010，才能使y=fx的图像与直线y=a在0,nπ上有2021个交点；
综上可得，当a=1或a=−1时，n=2021；当a=32时，n=1010．
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
函数恒成立问题
函数的零点
由函数零点求参数取值范围问题
【解析】



【解答】
解：(1)由图可得34T=5π6−π12，即34⋅2πω=3π4，
∴ω=2，
∴cs2×π12+φ=1，
∴π6+φ=2kπ，φ=2kπ−π6，
∴φ=−π6，fx=cs2x−π6．
(2) ∵x∈−π4,π4，
∴2x−π6∈−2π3,π3，
∴fx∈−12,1，
令t=fx∈−12,1，
则由题意得gt=t2+mt−1≤0恒成立，
由二次函数图像可知只需g−12=14−12m−1≤0，
g1=m≤0，解得−32≤m≤0．
(3)由题意可得y=fx的图像与直线y=a在0,nπ上恰有2021个交点．
在0,π上，2x−π6∈−π6,11π6，
①当a>1或a<−1时，y=fx的图像与直线y=a在0,nπ上无交点．
②当a=1或a=−1时，y=fx的图像与直线y=a在[0,π]仅有一个交点，
此时y=fx的图像与直线y=a在[0,nπ]上恰有2021个交点，则n=2021；
③当−1y=fx的图像与直线y=a在[0,nπ]上有偶数个交点，不可能有2021个交点；
④当a=32时，y=fx的图像与直线y=a在[0,π]恰有3个交点，
此时n=1010，才能使y=fx的图像与直线y=a在0,nπ上有2021个交点；
综上可得，当a=1或a=−1时，n=2021；当a=32时，n=1010．年份
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
3.1
3.5
3.8
4.6
5.0
5.4
6.1