2020-2021学年河南省新乡市双语国际学校高一（下）4月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河南省新乡市双语国际学校高一（下）4月月考数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下面四个命题正确的是( )
A.第一象限角必是锐角
B.锐角必是第一象限角
C.若csα<0，则α是第二或第三象限角
D.小于90∘的角是锐角

2. 半径为10cm，面积为100cm2的扇形中，弧所对的圆心角为( )
A.2radB.2∘C.2πradD.10rad

3. 若α是第二象限角，则点P(sinα, csα)在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4. 已知角α的终边经过点P(−3,4)，则sinα，csα的值分别为（ ）
A.−35,45B.35,−45C.45, −35D.−45,35

5. 已知A=sinkπ+αsinα+cskπ+αcsαk∈Z，则A的值构成的集合是( )
A.{1,−1,2,−2}B.−1,1
C.2,−2D.1,−1,0,2,−2

6. 若角α的终边落在第三象限，则csα1−sin2α+2sinα1−cs2α的值为（ ）
A.3B.−3C.1D.−1

7. 已知tanα=−34，则sinα(sinα−csα)=（ ）
A.2125B.2521C.45D.54

8. 若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是（ ）
A.csA+B=csCB.sinA+B=−sinC
C.csA2+C=sinBD.sinB+C2=csA2

9. 已知函数fx=cs2xx∈R．下面结论错误的是（ ）
A.函数fx的最小正周期为π
B.函数fx是偶函数
C.函数fx的图像关于直线x=π4对称
D.函数fx在区间0,π2上是减函数

10. 将函数y=sin2x的图象向左平移π8个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ）
A.y=sin2x+π4B.y=sin2x−π4
C.y=sin2x+π8D.y=sin2x−π8

11. 函数f(x)=cs(ωx+φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )

A.（kπ−14, kπ+34），k∈ZB.(2kπ−14, 2kπ+34)，k∈Z
C.(k−14, k+34)，k∈ZD.(2k−14, 2k+34)，k∈Z

12. 已知曲线C1:y=csx，C2:y=sin2x+2π3，则下面结论正确的是( )
A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2
二、填空题

cs2π3⋅tan7π4的值为________.

已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0, |φ|<π2)，y=f(x)的部分图象如下图，则f(π24)=________．


函数y=cs2x+3csx+2的最小值为________.

关于函数f(x)=4sin(2x+π3)(x∈R)有下列命题，其中正确的是__________.(填序号)
①y=f(x)的表达式可改写为f(x)=4cs2x−π6；
②y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；
③y=f(x)的图象关于点(−π6，0)对称；
④y=f(x)的图象关于直线x=π6对称．
三、解答题

已知 fθ=csθ−3π2sinθ+7π2sin−π−θ.
(1)化简fθ；

(2)若fθ=13，求tanθ的值；

已知 tanα=2.
(1)求3cs2α+2sin2α的值；

(2)求cs(π−α)cs(π2+α)sin(α−3π2)sin(3π+α)sin(α−π)cs(π+α)的值.

已知关于x的方程5x2+x+m=0的两根为sinθ，csθ．
(1)求2sin2θ−1sinθ−csθ的值；

(2)求m的值；

(3)若θ为△ABC的一个内角，求tanθ的值，并判断△ABC的形状．

已知f(α)=sin2(π−α)⋅cs(2π−α)⋅tan(−π+α)sin(−π+α)⋅tan(−α+3π)．
(1)化简f(α)；

(2)若f(α)=18，且π4<α<π2，求csα−sinα的值.

函数fx=Asinωx+φ（其中ω>0,A>0,|φ|<π2）的图象如图所示.

(1)求函数fx的解析式；

(2)求函数y=|fx|在−π4,π6上的最大值和最小值．

已知函数fx=sinωx+φ−bω>0,0<φ<π的图象的两相邻对称轴之间的距离是π2．若将fx的图象先向右平移π6个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象对应的函数gx为奇函数．
(1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)的单调区间；

(3)若对任意x∈[0,π3]，f2(x)−(2+m)f(x)+2+m≤0恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省新乡市双语国际学校高一（下）4月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
象限角、轴线角
三角函数值的符号
任意角的概念
终边相同的角
【解析】
通过给变量取特殊值，举反例来可以说明某个命题不正确，可排除部分选项．
根据选项的叙述，利用象限角、终边相同的角的定义，结合三角形的知识判断A错误；锐角的定义判断B正确；象限角判断C错误；锐角的范围判断D正误．
【解答】
解：第一象限的角一定不是锐角，例如390∘，A不正确；
锐角必是第一象限角，B正确；
若csα<0，则α是第二或第三象限角，也可以是x负半轴上的角，C不正确；
小于90∘的角是锐角，也可以是负角，D不正确.
故选B．
2.
【答案】
A
【考点】
扇形面积公式
【解析】
由S扇形=πr2⋅θ2π，得100=π⋅102⋅θ2π，由此可求出弧所对的圆心角．
【解答】
解：由S扇形=πr2⋅θ2π，
得100=π⋅102⋅θ2π，
解得θ=2rad．
故选A．
3.
【答案】
D
【考点】
三角函数值的符号
象限角、轴线角
【解析】
根据α是第二象限角，确实三角函数值的符号即可．
【解答】
解：∵ α是第二象限角，
∴ sinα>0，csα<0，
则P(sinα, csα)在第四象限.
故选D.
4.
【答案】
C
【考点】
任意角的三角函数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由于角α的终边经过点P−3,4，则x=−3,y=4,r=|OP|=5 （O为坐标原点），
所以由任意角的三角函数的定义： sinα=yr=45，csα=xr=−35．
故选C．
5.
【答案】
C
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
按k的奇偶性化简式子A，可得A的值构成的集合：2,−2.
【解答】
解：①当k为偶数时，A=sinαsinα+csαcsα=2；
②当k为奇数时，A=−sinαsinα−csαcsα=−2.
综上所述，A的值构成的集合是2,−2.
故选C.
6.
【答案】
B
【考点】
同角三角函数基本关系的运用
象限角、轴线角
【解析】
利用象限角的符号以及同角三角函数基本关系式解答．
【解答】
解：因为角α的终边落在第三象限，所以sinα<0，csα<0，
所以csα1−sin2α+2sinα1−cs2α=csα|csα|+2sinα|sinα|
=csα−csα+2sinα−sinα=−1−2=−3.
故选B．
7.
【答案】
A
【考点】
同角三角函数间的基本关系
【解析】
利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
【解答】
解：sinα(sinα−csα)=sin2α−sinαcsαsin2α+cs2α
=tan2α−tanαtan2α+1=2125.
故选A.
8.
【答案】
D
【考点】
诱导公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 角A，B，C是△ABC的三个内角，
∴ A+B=π−C，
∴ cs(A+B)=cs(π−C)=−csC，
故排除A；
又sin(A+B)=sin(π−C)=sinC，故排除B；
∵ sinB+C2=sinπ−A2=cs A2，故D满足条件；
由于A2+C有可能为钝角，故cs(A2+C)可能小于零，而sinB>0，故C不一定成立.
故选D．
9.
【答案】
C
【考点】
余弦函数的奇偶性
余弦函数的单调性
余弦函数的周期性
余弦函数的对称性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由函数fx=cs2x可得它的最小正周期为π，且fx是偶函数，故A，B中结论正确；
当x=π4时， fx=cs2x=0，故fx的图像不关于直线x=π4对称，故C中结论错误；
在区间0,π2上， 2x∈0,π，函数fx是减函数，故D中结论正确．
故选C．
10.
【答案】
A
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：依题意将函数y=sin2x的图象向左平移π8个单位长度得到：
y=sin2x+π8=sin2x+π4.
故选A．
11.
【答案】
D
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
余弦函数的单调性
【解析】
由周期求出ω，由五点法作图求出φ，可得f(x)的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得f(x)的减区间．
【解答】
解：由函数f(x)=cs(ωx+φ)的部分图象，
可得函数的周期为2πω=2(54−14)=2，
∴ ω=π，f(x)=cs(πx+φ).
再根据函数的图象以及五点法作图，
可得π4+φ=π2+kπ，k∈Z，
即φ=π4，f(x)=cs(πx+π4).
由2kπ≤πx+π4≤2kπ+π，k∈Z，
求得2k−14≤x≤2k+34，k∈Z，
故f(x)的单调递减区间为(2k−14, 2k+34)，k∈Z，
故选D.
12.
【答案】
D
【考点】
诱导公式
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
本题考查三角函数图象的变换、诱导公式．
【解答】
解：C1:y=csx可化为y=sinx+π2，
把C1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，得函数y=sin2x+π2的图象，
再将得到的曲线向左平移π12个单位长度得y=sin2x+π12+π2，
即y=sin2x+2π3的图象．
故选D．
二、填空题
【答案】
12
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
由条件利用诱导公式进行化简求值，可得结果．
【解答】
解：cs2π3⋅tan7π4=−csπ3⋅tan(−π4)
=−12⋅(−1)=12.
故答案为：12.
【答案】
3
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
根据函数的图象，求出函数的周期，然后求出ω，确定A的值，根据(3π8, 0)求出φ的值，图象经过(0.1)确定A的值，求出函数的解析式，然后求出f(π24)即可．
【解答】
解：由题意可知T=π2，所以ω=2，
所以函数的解析式为：f(x)=Atan(2x+φ).
因为函数过点(3π8, 0)且|φ|<π2，所以0=Atan(3π4+φ)，所以φ=π4.
又因为图象经过点(0, 1)，所以1=Atanπ4，所以A=1，所以f(x)=tan(2x+π4)，
则f(π24)=tan(π12+π4)=tan(π3)=3.
故答案为：3.
【答案】
0
【考点】
三角函数的最值
【解析】
令csx=t，t∈[−1, 1]，则y=t2+3t+2，根据区间[−1, 1]是函数y的递增区间，求出函数的最小值．
【解答】
解：令csx=t，t∈[−1, 1]，则y=t2+3t+2，
对称轴t=−32，故区间[−1, 1]是函数y的递增区间，
∴ 当t=−1时，ymin=0.
故答案为：0.
【答案】
①③
【考点】
三角函数的周期性及其求法
正弦函数的对称性
诱导公式
【解析】
先根据诱导公式可判断①，再由最小正周期的求法可判断②，最后根据正弦函数的对称性可判断③和④，得到答案．
【解答】
解：因为f (x)=4sin(2x+π3)=4cs(π2−2x−π3)
=4cs(−2x+π6)=4cs(2x−π6)，故①正确；
因为T=2π2=π，故②不正确；
令x=−π6代入f (x)=4sin(2x+π3)
得到f(−π6)=4sin(−π3+π3)=0，
故y=f (x)的图象关于点(−π6，0)对称，故③正确；
f(π6)=4sin(π3+π3)=23，
所以y=f(x)的图象不关于直线x=π6对称，故④不正确.
故答案为：①③．
三、解答题
【答案】
解：(1)f(θ)=cs(θ−3π2)sin(θ+7π2)sin(−π−θ)
=cs(θ+π2)sin(θ−π2)−sin(π+θ)
=−sinθ⋅(−csθ)sinθ
=csθ.
(2)由(1)可得，csθ=13，
故|sinθ|=1−cs2θ=223.
当θ为第一象限角时，tanθ=22；
当θ为第四象限角时，tanθ=−22．
【考点】
运用诱导公式化简求值
同角三角函数间的基本关系
【解析】


【解答】
解：(1)f(θ)=cs(θ−3π2)sin(θ+7π2)sin(−π−θ)
=cs(θ+π2)sin(θ−π2)−sin(π+θ)
=−sinθ⋅(−csθ)sinθ
=csθ.
(2)由(1)可得，csθ=13，
故|sinθ|=1−cs2θ=223.
当θ为第一象限角时，tanθ=22；
当θ为第四象限角时，tanθ=−22．
【答案】
解：(1)由于tanα=2，
所以：3cs2α+2sin2α=3cs2α+2sin2αsin2α+cs2α=3+2tan2αtan2α+1=115.
(2)原式=(−csα)(−sinα)csα(−sinα)(−sinα)(−csα)=−1tanα=−12.
【考点】
运用诱导公式化简求值
同角三角函数基本关系的运用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由于tanα=2，
所以：3cs2α+2sin2α=3cs2α+2sin2αsin2α+cs2α=3+2tan2αtan2α+1=115.
(2)原式=(−csα)(−sinα)csα(−sinα)(−sinα)(−csα)=−1tanα=−12.
【答案】
解：(1)∵ 关于x的方程5x2+x+m=0的两根为sinθ，csθ，
∴ sinθ+csθ=−15，sinθcsθ=m5，
∴ 2sin2θ−1sinθ−csθ=−csθ+sinθ⋅csθ−sinθsinθ−csθ
=sinθ+csθ=−15．
(2)∵ 由(1)可得sinθ+csθ=−15，sinθcsθ=m5，
平方可得1+2sinθcsθ=1+2m5=125，
∴ m=−125．
(3)∵ sinθ+csθ=−15， sinθcsθ=−1225，θ为△ABC的内角，
∴ sinθ=35，csθ=−45，
∴ tanθ=sinθcsθ=−34，
∴ θ为钝角，故△ABC是钝角三角形．
【考点】
同角三角函数基本关系的运用
根与系数的关系
三角形的形状判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ 关于x的方程5x2+x+m=0的两根为sinθ，csθ，
∴ sinθ+csθ=−15，sinθcsθ=m5，
∴ 2sin2θ−1sinθ−csθ=−csθ+sinθ⋅csθ−sinθsinθ−csθ
=sinθ+csθ=−15．
(2)∵ 由(1)可得sinθ+csθ=−15，sinθcsθ=m5，
平方可得1+2sinθcsθ=1+2m5=125，
∴ m=−125．
(3)∵ sinθ+csθ=−15， sinθcsθ=−1225，θ为△ABC的内角，
∴ sinθ=35，csθ=−45，
∴ tanθ=sinθcsθ=−34，
∴ θ为钝角，故△ABC是钝角三角形．
【答案】
解：(1)f(α)=sin2α⋅csα⋅tanα−sinα⋅(−tanα)
=sinαcsα.
(2)由(1)得，
sinαcsα=18，
∴ (csα−sinα)2
=cs2α+sin2α−2sinαcsα
=1−2×18
=34，
又π4<α<π2，∴ csα−sinα<0，
∴ csα−sinα=−32.
【考点】
运用诱导公式化简求值
同角三角函数基本关系的运用
【解析】
（1）利用诱导公式对f(α)=sin2(π−α)⋅cs(2π−α)⋅tan(−π+α)sin(−π+α)⋅tan(−α+3π)化简即可；
（2）结合（1）知f(α)=12sin2α=18，可求得sin2α=14，csα−sinα<0，对所求关系式平方后再开方即可；
【解答】
解：(1)f(α)=sin2α⋅csα⋅tanα−sinα⋅(−tanα)
=sinαcsα.
(2)由(1)得，
sinαcsα=18，
∴ (csα−sinα)2
=cs2α+sin2α−2sinαcsα
=1−2×18
=34，
又π4<α<π2，∴ csα−sinα<0，
∴ csα−sinα=−32.
【答案】
解：(1)由图象可知A=1 ，T4=2π4ω=7π12−π3=π4，
∴ T=π，
∴ ω=2，
∴ fx=sin2x+φ.
又点7π12,−1在函数的图象上，
∴ 2×7π12+φ=2kπ+3π2，k∈Z，
∴ φ=2kπ+π3，k∈Z.
又|φ|<π2，
∴ φ=π3，
∴ fx的解析式是fx=sin2x+π3．
(2)∵ −π4≤x≤π6，
∴ −π6≤2x+π3≤2π3，
∴ −12≤sin2x+π3≤1，
∴ fx=sin2x+π3∈−12,1，
∴ 当2x+π3=π2，即x=π12时，函数y=|fx|取得最大值为1；
当2x+π3=0, 即x=−π6时，函数y=|fx|取得最小值为0.
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
正弦函数的定义域和值域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由图象可知A=1 ，T4=2π4ω=7π12−π3=π4，
∴ T=π，
∴ ω=2，
∴ fx=sin2x+φ.
又点7π12,−1在函数的图象上，
∴ 2×7π12+φ=2kπ+3π2，k∈Z，
∴ φ=2kπ+π3，k∈Z.
又|φ|<π2，
∴ φ=π3，
∴ fx的解析式是fx=sin2x+π3．
(2)∵ −π4≤x≤π6，
∴ −π6≤2x+π3≤2π3，
∴ −12≤sin2x+π3≤1，
∴ fx=sin2x+π3∈−12,1，
∴ 当2x+π3=π2，即x=π12时，函数y=|fx|取得最大值为1；
当2x+π3=0, 即x=−π6时，函数y=|fx|取得最小值为0.
【答案】
解：(1)∵ 2πω=2×π2，
∴ ω=2，
∴ f(x)=sin(2x+φ)−b．
又g(x)=sin[2(x−π6)+φ]−b+3为奇函数，且0<φ<π，
则φ=π3，b=3，
故f(x)=sin(2x+π3)−3．
(2)令2x+π3=kπ+π2，k∈Z，
解得：x=π12+kπ2，k∈Z，
可得对称轴：x=π12+kπ2，k∈Z，
令 2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，
可得：x∈[−5π12+kπ，π12+kπ](k∈Z)，
可得：增区间为[−5π12+kπ，π12+kπ](k∈Z)，
令2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2，k∈Z，
可得：x∈[π12+kπ，7π12+kπ](k∈Z)，
可得：减区间为[π12+kπ，7π12+kπ](k∈Z)．
(3)∵ f2(x)−(2+m)f(x)+2+m≤0恒成立，f(x)≤1−3，
∴ [f(x)−1]m≥f2(x)−2f(x)+2=[f(x)−1]2+1，
整理可得m≤[f(x)−1]2+1f(x)−1，
即 m≤1f(x)−1+f(x)−1．
∵ x∈[0,π3]，
∴ 0≤sin(2x+π3)≤1，−3≤f(x)≤1−3，
故−1−3≤f(x)−1≤−3，
∴ −33≤1f(x)−1≤1−1−3，
∴ −3−433≤1f(x)−1+f(x)−1≤1−332，
故1f(x)−1+f(x)−1 的最小值为 −3−433，
故 m≤−3−433，即m取值范围是 (−∞,−3−433]．
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
正弦函数的单调性
函数恒成立问题
【解析】
（1）由周期求得ω，由函数g(x)为奇函数求得φ和b的值，从而得到函数f(x)的解析式．
（2）令 2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈z，求得x的范围，即可得到函数的增区间．同理，令2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2，k∈z，求得x的范围，即可得到函数的减区间．
（3）把条件整理可得m≤1f(x)−1+f(x)−1，根据x的范围，求得f(x)的范围，即可求得实数m的取值范围．
【解答】
解：(1)∵ 2πω=2×π2，
∴ ω=2，
∴ f(x)=sin(2x+φ)−b．
又g(x)=sin[2(x−π6)+φ]−b+3为奇函数，且0<φ<π，
则φ=π3，b=3，
故f(x)=sin(2x+π3)−3．
(2)令 2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，(k∈Z)，
求得 −5π12+kπ≤x≤π12+kπ，(k∈Z)，
故函数的单调递增区间为[−5π12+kπ，π12+kπ](k∈Z)．
令2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2，(k∈Z)，
求得 π12+kπ≤x≤7π12+kπ，(k∈Z)，
故函数的单调递减区间为[π12+kπ，7π12+kπ](k∈Z)．
(3)∵ f2(x)−(2+m)f(x)+2+m≤0恒成立，f(x)≤1−3，
∴ [f(x)−1]m≥f2(x)−2f(x)+2=[f(x)−1]2+1，
整理可得m≤[f(x)−1]2+1f(x)−1，
即 m≤1f(x)−1+f(x)−1．
∵ x∈[0,π3]，
∴ 0≤sin(2x+π3)≤1，−3≤f(x)≤1−3，
故−1−3≤f(x)−1≤−3，
∴ −33≤1f(x)−1≤1−1−3，
∴ −3−433≤1f(x)−1+f(x)−1≤1−332，
故1f(x)−1+f(x)−1 的最小值为 −3−433，
故 m≤−3−433，即m取值范围是 (−∞,−3−433]．