2020-2021学年河南省新乡市双语国际学校高一（下）6月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河南省新乡市双语国际学校高一（下）6月月考数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知角α的终边经过点(m, 2)，且csα=−32，则实数m=( )
A.−3B.±23C.23D.−23

2. 阅读下面的程序，则程序表示的函数为（ ）

A.y=−x+1x<00x=0x−1x>0
B.y=x−1x<00x=0−x+1x>0
C.y=x+1x<00x=0−x+1x>0
D.y=−x+1x<00x=0x+1x>0

3. 对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如表所示，由最小二乘法求得回归方程为y=0.95x+2.6，则表中看不清的数据为( )
A.4.8B.5.2C.5.8D.6.2

4. 某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果分成六组，得到频率分布直方图（如图），则成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为（ ）

A.17B.18C.35D.45

5. 从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是( )
A.至少有一个黑球与都是黑球
B.至少有一个黑球与至少有一个白球
C.恰好有一个黑球与恰好有两个黑球
D.至少有一个黑球与都是白球

6. 已知a→与b→均为单位向量，它们的夹角为60∘，那么|a→−3b→|等于( )
A.7B.10C.13D.4

7. 欧阳修的《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超．若铜钱直径3cm，中间有边长为1cm的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计)，则油恰好落入孔中的概率是( )
A.14πB.12πC.49πD.2π

8. 函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0, −π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )

A.2,−π3B.2,−π6C.4,−π6D.4,π3

9. 在△ABC中，N是AC边上一点，且AN→=12NC→，P是BN上的一点，若AP→=mAB→+29AC→，则实数m的值为（ ）

A.19B.13C.1D.3

10. 要得到函数y=cs(2x+π3)的图象，只需将函数y=cs2x的图象( )
A.向左平移π3个长度单位B.向左平移π6个长度单位
C.向右平移π6个长度单位D.向右平移π3个长度单位

11. 素数指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如10=3+7．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于18的概率是（ ）
A.128B.114C.19D.25

12. 关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对x,y：再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对x,y的个数a；最后再根据统计数a估计π的值，那么可以估计π的值约为（ ）
A.a+mmB.2a+2mmC.4a+2mmD.8a+2mm
二、填空题

在平面直角坐标系中，点O0,0,P1,3，将向量OP→绕点O顺时针方向旋转π2后，得到向量OQ→，则点Q的坐标是________.
三、解答题

已知向量 a→=(−2,1)， b→=(1,−1)， m→=a→+3b→ ，n→=a→−kb→.
(1)若 m//n ，求k的值；

(2)当 k=2 时，求m→与n→夹角的余弦值.

已知0<α<π2，sinα=45．
(1)求tanα及sin2α的值；

(2)求cs2α+sin(α+π2)的值．

某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：

(1)画出散点图；

(2)求回归直线方程；

(3)试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大?
注：b=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2,a=y−bx.

已知函数fx=23sinxcsx−sin2x+cs2xx∈R.
(1)若f(θ)=1，求锐角θ的值;

(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标变为原来的2倍( 纵坐标不变)，再将得到的图象向右平移π4个单位，得到函数y=g(x)的图象，求gx在−π4,3π4上的最小值．

某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[90, 100)，[100, 110)，…，[140, 150)后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
(1)求分数在[120, 130)内的频率，并补全这个频率分布直方图；

(2)估计本次考试的平均分及中位数；

(3)用分层抽样的方法在分数段为[110, 130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段[120, 130)内的概率．

已知函数fx=sin2x+2π3+csπ2−2x.
(1)求函数fx在−π6,5π6上的单调区间；

(2)若β∈0,π2，fβ−π12=13，求cs2β+π6.
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省新乡市双语国际学校高一（下）6月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
任意角的三角函数
【解析】
由题意利用任意角的三角函数的定义，求得m的值．
【解答】
解：∵ 角α的终边经过点(m, 2)，
且csα=mm2+22=−32，且m<0，
解得m=23（舍去），或m=−23，
则实数m=−23.
故选D.
2.
【答案】
D
【考点】
程序框图
分段函数的应用
【解析】
根据程序语言即可求出．
【解答】
解：由程序知，当
x<0时，y=−x+1，
当x=0时，y=0，
当x>0时，y=x+1，
故y=−x+1x<0,0x=0,x+1x>0,
故选D．
3.
【答案】
A
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
求出x代入回归方程解出y，根据平均数公式列方程解出．
【解答】
解：x=0+1+3+44=2，
∴ y=0.95×2+2.6=4.5．
设看不清的数值为a，
则y=2.2+4.3+a+6.74=4.5，
解得a=4.8．
故选A．
4.
【答案】
C
【考点】
频数与频率
【解析】
由频率分布直方图求出相应频率，计算人数即可．
【解答】
解：由频率分布直方图可知，成绩大于等于15秒且小于17秒的人数的频率为0.36+0.34×1=0.7，
所以成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为50×0.7=35人，
故选C．
5.
【答案】
C
【考点】
互斥事件与对立事件
【解析】
列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义求解．
【解答】
解：A，“至少有一个黑球”等价于”一个黑球和一个白球或两个黑球“与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故错误；
B，“至少有一个黑球”等价于”一个黑球和一个白球或两个黑球”，“至少有一个白球”等价于“一个黑球和一个白球或两个白球”，可以同时发生，故错误；
C，“恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个白球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故正确；
D，“至少有一个黑球”等价于”一个黑球和一个白球或两个黑球”，与“都是白球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故错误．
故选C.
6.
【答案】
A
【考点】
向量的模
单位向量
平面向量数量积
【解析】
先根据题意求出a→2=1，b→2=1，a→⋅b→=12，再求出|a→−3b→|2=7，最后求|a→−3b→|即可．
【解答】
解：因为a→，b→均为单位向量，它们的夹角为60∘，
所以a→2=1，b→2=1，a→⋅b→=1×1×cs60∘=12，
|a→−3b→|2=a→2−6a→⋅b→+9b→2=1−6×12+9×1=7，
所以|a→−3b→|=7.
故选A．
7.
【答案】
C
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要求出铜钱面积的大小和中间正方形孔面积的大小，然后代入几何概型计算公式进行求解．
【解答】
解：如图所示：
∵ S正=1，S圆=π(32)2=9π4，
∴ P=S正S圆=49π．
故选C．
8.
【答案】
A
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值，求出函数的周期T=2πω=π，解得ω＝2．由函数当x=5π12时取得最大值2，得到5π6+φ=π2+kπ(k∈Z)，取k＝0得到φ=−π3．由此即可得到本题的答案．
【解答】
解：∵ 在同一周期内，函数在x=5π12时取得最大值，x=11π12时取得最小值，
∴ 函数的周期T满足T2=11π12−5π12=π2，
由此可得T=2πω=π，解得ω=2，
得函数表达式为f(x)=2sin(2x+φ).
又∵ 当x=5π12时取得最大值2，
∴ 2sin(2×5π12+φ)=2，可得5π6+φ=π2+2kπ(k∈Z).
∵ −π2<φ<π2，
∴ 取k=0，得φ=−π3.
故选A.
9.
【答案】
B
【考点】
向量加减混合运算及其几何意义
向量的三角形法则
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设BP→=λBN→，
则AP→=AB→+BP→=AB→+λBN→
=AB→+λ(AN→−AB→)
=AB→+λ(13AC→−AB→)
=(1−λ)AB→+λ3AC→，
因为λ3=29，
所以λ=23，
所以1−λ=13，
所以m=13.
故选B.
10.
【答案】
B
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换即可选得答案．
【解答】
解：令y=f(x)=cs2x，
则f(x+π6)=cs2(x+π6)=cs(2x+π3)，
故要得到函数y=cs(2x+π3)的图象，
只需将函数y=cs2x的图象向左平移π6个长度单位.
故选B．
11.
【答案】
B
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
由于不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19共8个，所以8个中选2个有28种，而和为2的有2种，从而可求出概率
【解答】
解：不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19共8个，
则从这8个数中任选2个不同的数共有28种，
而其中和为18的有2种，即7+11=18，5+13=18，
所以所求概率为228=114，
故选B．
12.
【答案】
C
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
由不等式组0【解答】
解：根据题意知，m名同学取m对都小于1的正实数对x,y，
即0对应区域为边长为1的正方形，其面积为1，
若两个正实数x、y能与1构成钝角三角形三边，
则有
x2+y2<1,x+y>1,0对应区域为阴影部分，其面积S=π4−12；
则有am=π4−12，
解得π=4a+2mm．
故选C．
二、填空题
【答案】
(3，−1)
【考点】
向量的几何表示
平面向量的坐标运算
向量的模
【解析】
设向量OP→与∼轴正半轴的夹角为θ，再表示出OQ→对应的夹角，利用三角函数求解即可．
【解答】
解：∵ 平面直角坐标系中，点O0,0,P1,3，则|OP→|=2，
将向量OP→绕点O顺时针方向旋转π2后，得到向量OQ→，
设OP→=1,3=2csθ,2sinθ，易得θ=π3，
设点Q的坐标为x,y，则x=2csθ−π2=2sinθ=3，
y=2sinθ−π2=−2csθ=−1，故点Q的坐标为3,−1.
故答案为：3,−1.
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ 向量a→=−2,1，b→=1,−1，
∴ m→=a→+3b→=−2,1+3,−3=1,−2，
n→=a→−kb→=−2,1−k1,−1=−2−k,1+k，
∵ m→//n→，
∴ 1+k+2−2−k=0，
解得k=−3．
(2)由(1)可得： m→=a→+3b→=1,−2，
n→=a→−2b→=−4,3，
∴ m→⋅n→=−4−6=−10,
|m→|=5，|n→|=42+32=5，
∴ cs⟨m→,n→⟩=m→⋅n→|m→||n→|=−1055=−255．
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
（1）由向量a→=−2,1，b→=1,−1，可得m→=a→+3b→=1,−2，n→=a→−kb→=−2−k,1+k，利用向量共线定理即可得出．
（2）由（1）可得：m→=a→+3b→=1,−2，n→=a→−2b→=−4,3，利用向量夹角公式cs⟨m→,n→⟩=m→⋅n→|m→||n→|即可得出．
【解答】
解：(1)∵ 向量a→=−2,1，b→=1,−1，
∴ m→=a→+3b→=−2,1+3,−3=1,−2，
n→=a→−kb→=−2,1−k1,−1=−2−k,1+k，
∵ m→//n→，
∴ 1+k+2−2−k=0，
解得k=−3．
(2)由(1)可得： m→=a→+3b→=1,−2，
n→=a→−2b→=−4,3，
∴ m→⋅n→=−4−6=−10,
|m→|=5，|n→|=42+32=5，
∴ cs⟨m→,n→⟩=m→⋅n→|m→||n→|=−1055=−255．
【答案】
解：(1)∵ 0<α<π2，sinα=45，
∴ csα=1−sin2α=35，
∴ tanα=sinαcsα=43，
sin2α=2sinαcsα=2×45×35=2425.
(2)cs2α+sin(α+π2)
=2cs2α−1+csα=2×(35)2−1+35=825．
【考点】
二倍角的三角函数
同角三角函数间的基本关系
【解析】
（1）由已知求得csα，再由同角三角函数基本关系式与倍角公式求解；
（2）利用诱导公式及倍角公式求解．
【解答】
解：(1)∵ 0<α<π2，sinα=45，
∴ csα=1−sin2α=35，
∴ tanα=sinαcsα=43，
sin2α=2sinαcsα=2×45×35=2425.
(2)cs2α+sin(α+π2)
=2cs2α−1+csα=2×(35)2−1+35=825．
【答案】
解：(1)把所给的五组数据作为五个点的坐标描到直角坐标系中，得到散点图，如图：
(2)x=2+4+5+6+85=5，
y=30+40+50+60+705=50，
i=15xiyi=1380，i=15xi2=145，
∴ b=6.5，a=17.5，
∴ 线性回归方程为y=6.5x+17.5．
(3)当x=10时，y=82.5．
即当广告费支出为10百万元时，销售额为82.5百万元．
【考点】
散点图
求解线性回归方程
【解析】
（1）把所给的五组数据作为五个点的坐标描到直角坐标系中，得到散点图，
（2）根据所给的数据先做出数据的平均数，即样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．
（3）把所给的广告费支出为10百万元时，代入线性回归方程，做出对应的销售额，这是一个预报值，与真实值之间有一个误差．
【解答】
解：(1)把所给的五组数据作为五个点的坐标描到直角坐标系中，得到散点图，如图：
(2)x=2+4+5+6+85=5，
y=30+40+50+60+705=50，
i=15xiyi=1380，i=15xi2=145，
∴ b=6.5，a=17.5，
∴ 线性回归方程为y=6.5x+17.5．
(3)当x=10时，y=82.5．
即当广告费支出为10百万元时，销售额为82.5百万元．
【答案】
解：(1)fx=23sinxcsx−sin2x+cs2x
=3sin2x+cs2x
=2sin2x+π6，
即fx=2sin2x+π6，
fθ=2sin2θ+π6=1，
所以sin2θ+π6=12，
所以2θ+π6=π6+2kπ或2θ+π6=5π6+2kπ，k∈Z，
解得θ=kπ或θ=π3+kπ，k∈Z，
因为θ为锐角，所以θ=π3.
(2)将fx=2sin2x+π6各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到y=2sinx+π6，再将y=2sinx+π6的图象向右平移π4个单位得到y=2sinx−π4+π6=2sinx−π12，
即gx=2sinx−π12，
因为x∈−π4,3π4，
所以x−π12∈[−π3,2π3)，
所以当x−π12=−π3，
即x=−π4时函数取得最小值gxmin=2sin−π3=−3.
【考点】
两角和与差的余弦公式
两角和与差的正弦公式
函数的求值
正弦函数的定义域和值域
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
（1）首先利用三角恒等变换将函数化简，再结合fθ=1，代入计算可得；
（2）根据三角函数的变换规则得到gx，再根据》的取值范围，得到x−π12的取值范围，结合正弦函数的性质计算可得；
【解答】
解：(1)fx=23sinxcsx−sin2x+cs2x
=3sin2x+cs2x
=2sin2x+π6，
即fx=2sin2x+π6，
fθ=2sin2θ+π6=1，
所以sin2θ+π6=12，
所以2θ+π6=π6+2kπ或2θ+π6=5π6+2kπ，k∈Z，
解得θ=kπ或θ=π3+kπ，k∈Z，
因为θ为锐角，所以θ=π3.
(2)将fx=2sin2x+π6各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到y=2sinx+π6，再将y=2sinx+π6的图象向右平移π4个单位得到y=2sinx−π4+π6=2sinx−π12，
即gx=2sinx−π12，
因为x∈−π4,3π4，
所以x−π12∈[−π3,2π3)，
所以当x−π12=−π3，
即x=−π4时函数取得最小值gxmin=2sin−π3=−3.
【答案】
解：(1)由频率分布直方图得，分数在[120, 130)内的频率为：
1−(0.010+0.015+0.015+0.025+0.005)×10=0.3．
频率组距=0.310=0.03，补全后的直方图如图所示．
(2)由频率分布直方图得：
平均分为：95×0.010×10+105×0.015×10+
115×0.015×10+125×0.030×10+
135×0.025×10+145×0.005×10=121．
∵ [90, 120)的频率为(0.010+0.015+0.015)×10=0.4，
[120, 130)的频率为：0.030×10=0.3，
∴ 中位数为：120+0.5−0.40.3×10=3703．
(3)用分层抽样的方法在分数段为[110, 130)的学生中抽取一个容量为6的样本，
则分数段为[110, 120)中抽取的学生数为：+0.030×6=2人，
分数段为[120, 130)中抽取的学生数为：+0.030×6=4人，
将该样本看成一个总体，设分数段在[110,120)的两人为A，B，分数段在[120,130)的四人为C，D，E，F，从中任取2个，基本事件为AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种可能，
至多有1人在分数段[120, 130)内包含的基本事件为：AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，共9种可能，
∴ 至多有1人在分数段[120, 130)内的概率P(A)=mn=915=35．
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
众数、中位数、平均数
频率分布直方图
分层抽样方法
【解析】
（1）由频率分布直方图，能求出分数在[120, 130)内的频率，并能补全这个频率分布直方图．
（2）由频率分布直方图能估计本次考试的平均分及中位数．
（3）用分层抽样的方法在分数段为[110, 130)的学生中抽取一个容量为6的样本，则分数段为[110, 120)中抽取的学生数为2人，分数段为[120, 130)中抽取的学生数为4人，从中任取2个，基本事件总数n=C62=15，至多有1人在分数段[120, 130)内包含的基本事件为：m=C62−C42=9，由此能求出至多有1人在分数段[120, 130)内的概率．
【解答】
解：(1)由频率分布直方图得，分数在[120, 130)内的频率为：
1−(0.010+0.015+0.015+0.025+0.005)×10=0.3．
频率组距=0.310=0.03，补全后的直方图如图所示．
(2)由频率分布直方图得：
平均分为：95×0.010×10+105×0.015×10+
115×0.015×10+125×0.030×10+
135×0.025×10+145×0.005×10=121．
∵ [90, 120)的频率为(0.010+0.015+0.015)×10=0.4，
[120, 130)的频率为：0.030×10=0.3，
∴ 中位数为：120+0.5−0.40.3×10=3703．
(3)用分层抽样的方法在分数段为[110, 130)的学生中抽取一个容量为6的样本，
则分数段为[110, 120)中抽取的学生数为：+0.030×6=2人，
分数段为[120, 130)中抽取的学生数为：+0.030×6=4人，
将该样本看成一个总体，设分数段在[110,120)的两人为A，B，分数段在[120,130)的四人为C，D，E，F，从中任取2个，基本事件为AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种可能，
至多有1人在分数段[120, 130)内包含的基本事件为：AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，共9种可能，
∴ 至多有1人在分数段[120, 130)内的概率P(A)=mn=915=35．
【答案】
解：(1)由题意得fx=sin2x+2π3+csπ2−2x
=32cs2x−12sin2x+sin2x
=32cs2x+12sin2x=sin2x+π3，
因为x∈−π6,5π6，
所以2x+π3∈0,2π，
令0≤2x+π3≤π2，
解得x∈−π6,π12，
令π2≤2x+π3≤3π2，
解得x∈π12,7π12，
令3π2≤2x+π3≤2π，得x∈7π12,5π6，
所以函数fx 在−π6,5π6上的单调递减区间为π12,7π12，
单调递增区间为−π6,π12， 7π12,5π6.
(2)由(1)知fβ−π12=sin2β+π6=13，
因为β∈0,π2，
所以2β+π6∈π6,7π6，
又因为sin2β+π6=13<12，
所以2β+π6∈π2,π，
所以cs2β+π6=−1−sin22β+π6=−223.
【考点】
正弦函数的单调性
两角和与差的三角函数
同角三角函数间的基本关系
函数的求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意得fx=sin2x+2π3+csπ2−2x
=32cs2x−12sin2x+sin2x
=32cs2x+12sin2x=sin2x+π3，
因为x∈−π6,5π6，
所以2x+π3∈0,2π，
令0≤2x+π3≤π2，
解得x∈−π6,π12，
令π2≤2x+π3≤3π2，
解得x∈π12,7π12，
令3π2≤2x+π3≤2π，得x∈7π12,5π6，
所以函数fx 在−π6,5π6上的单调递减区间为π12,7π12，
单调递增区间为−π6,π12， 7π12,5π6.
(2)由(1)知fβ−π12=sin2β+π6=13，
因为β∈0,π2，
所以2β+π6∈π6,7π6，
又因为sin2β+π6=13<12，
所以2β+π6∈π2,π，
所以cs2β+π6=−1−sin22β+π6=−223.x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
6.7
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70