2020-2021学年河南省新乡市实验学校高一（下）6月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河南省新乡市实验学校高一（下）6月月考数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知α∈[π2，π]，sinα=55，则tanα=（ ）
A.−12B.2C.12D.−2

2. 已知向量a→=(1,m)，b→=(3, −2)，且(a→+b→)⊥b→，则m=( )
A.−8B.−6C.6D.8

3. 如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）

A.14B.π8C.12D.π4

4. 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果为( )

A.34B.16C.1112D.2524

5. 已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：
根据上表可得回归方程y=bx+a，计算得b=7，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为( )
A.75万元B.85万元C.99万元D.105万元

6. 函数y=tanx+sinx−|tanx−sinx|在区间(π2，3π2)内的图象是( )
A.B.
C.D.

7. 已知向量a→=(2, 3)，b→=(3, 2)，则|a→−b→|=( )
A.2B.2C.52D.50

8. 设a=sin57π，b=cs27π，c=tan27π，则( )
A.a
9. 已知非零向量a→，b→满足|a→|=2|b→|，且(a→−b→)⊥b→，则a→与b→的夹角为( )
A.π6B.π3C.2π3D.5π6

10. 在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→=( )
A.34AB→−14AC→B.14AB→−34AC→
C.34AB→+14AC→D.14AB→+34AC→

11. 若将函数y=2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）
A.x=kπ2−π6(k∈Z)B.x=kπ2+π6(k∈Z)
C.x=kπ2−π12(k∈Z)D.x=kπ2+π12(k∈Z)

12. 点P是△ABC所在平面上一点，满足|PB→−PC→|−|PB→+PC→−2PA→|=0，则△ABC的形状是( )
A.等腰直角三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等边三角形
二、填空题

已知向量a→=(m, 4), b→=(3, −2)，且a→//b→，则m=________.
三、解答题

某城市100户居民的月平均用水量（单位：吨），以[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12)，[12,14)分组的频率分布直方图如图.

(1)求直方图中x的值；

(2)求月平均用水量的中位数及平均数；

(3)在月平均用水量为[6,8)，[8,10)，[10,12)，[12,14)的四组用户中，用分层抽样的方法抽取22户居民，则应在[10,12)这一组的用户中抽取多少户？

已知a→=(1, csx)，b→=(13, sinx)，x∈(0, π).
(1)若a→ // b→，求sinx+csxcsx−sinx的值；

(2)若a→⊥b→，求csx−sinx的值．

已知|a→|=4，|b→|=8，a→与b→夹角是120∘．
(1)求a→⋅b→的值及|a→+b→|的值；

(2)当k为何值时，(a→+2b→)⊥(ka→−b→)？

已知f(α)=cs(π2+α)⋅cs(2π−α)⋅sin(−α+3π2)sin(−π−α)⋅sin(3π2+α)．
(1)化简f(α)；

(2)若α是第三象限角，且cs(α−3π2)=15，求f(α)的值．

已知向量a→=(1, 0)，b→=(1, 4)．
(1)若向量ka→+b→与a→+2b→平行，求k的值；

(2)若向量ka→+b→与a→+2b→的夹角为锐角，求k的取值范围．

已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0, 0<φ<π2)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π4，且图象过点M(π3,−1).
(1)求f(x)的解析式；

(2)求函数f(x)的单调递增区间；

(3)将函数f(x)的图象向右平移π8个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g(x)的图象，若关于x的方程g(x)+k=0，在区间[0, π2]上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省新乡市实验学校高一（下）6月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
同角三角函数间的基本关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为α∈[π2，π]，
所以 csα=−1−15=−255，
所以tanα=sinαcsα=−12.
故选A.
2.
【答案】
D
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题可得a→+b→=(4, m−2)，
又(a→+b→)⊥b→，
∴ 4×3−2×(m−2)=0，
∴ m=8.
故选D.
3.
【答案】
B
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设正方形ABCD的边长为1．
如图，直线l过正方形ABCD的中心且垂直于AB．
由已知给出的对称性知内切圆位于直线l左侧的黑色部分恰好为位于直线l右侧的白色部分，
所以黑色部分面积恰好为半圆，
且该圆的半径为12．
所以S黑=12π×122=18π．
因为S正=1×1=1，
故所求的概率为P=S黑S正=18π1=π8．
故选B．
4.
【答案】
C
【考点】
程序框图
【解析】
根据所给数值执行循环语句，然后判定是否满足判断框中的条件，一旦不满足条件就退出循环，从而到结论．
【解答】
解：由程序框图知，循环体被执行后S的值依次为：
第1次S=0+12，
第2次S=12+14，
第3次S=12+14+16，此时n=8
不满足选择条件n<8，退出循环，
故输出的结果是S=12+14+16=1112．
故选C.
5.
【答案】
B
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
结合题意首先求得线性回归方程，然后进行预测即可．
【解答】
解：由题意可得：x¯=2+4+5+6+85=5，
y¯=30+40+50+60+705=50，
线性回归方程过样本中心点，
则：50=7×5+a，
∴ a=15，
线性回归方程为：y=7x+15，
据此估计，当投入10万元广告费时，
销售额为y=7×10+15=85 万元．
故选B.
6.
【答案】
D
【考点】
正切函数的图象
分段函数的解析式求法及其图象的作法
正弦函数的图象
【解析】
本题的解题关键是分析正弦函数与正切函数在区间(π2，3π2)上的符号，但因为已知区间既包含第II象限内的角，也包含第III象限内的角，因此要进行分类讨论．
【解答】
解：函数y=tanx+sinx−|tanx−sinx|=2tanx，当tanx当π2当π则分段画出函数在区间(π2，3π2)上的图象如D图所示.
故选D.
7.
【答案】
A
【考点】
向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：a→=(2, 3)，b→=(3, 2)，a→−b→=(−1, 1)，
∴ |a→−b→|=(−1)2+12=2.
故选A.
8.
【答案】
D
【考点】
同角三角函数间的基本关系
诱导公式
复合三角函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由诱导公式可知，
a=sin57π=sin27π，
∵14π<27π<12π，
由正弦与余弦函数图像得，
cs27π又因为tan27π=sin27πcs27π>1
∴cs27π即b故选D.
9.
【答案】
B
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
直接利用向量垂直，得到向量数量积为0，再转换化简即可得到.
【解答】
解：因为(a→−b→)⊥b→，
所以(a→−b→)⋅b→=0，
即a→⋅b→−b→2=0，
即a→⋅b→cs−b→2=0，
所以cs=|b→|2|a→|⋅|b→|=|b→|22|b→|⋅|b→|=12，
又∈0,π，
所以=π3.
故选B.
10.
【答案】
A
【考点】
向量加减混合运算及其几何意义
向量在几何中的应用
【解析】
答案未提供解析．
【解答】
解：如图，
则EB→=ED→+DB→=12AD→+12CB→
=12×12AB→+AC→+12AB→−AC→
=34AB→−14AC→．
故选A．
11.
【答案】
B
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的对称性
【解析】
利用函数y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案．
【解答】
解：将函数y=2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，
得到y=2sin2(x+π12)=2sin(2x+π6)，
由2x+π6=kπ+π2(k∈Z)得：x=kπ2+π6(k∈Z)，
即平移后的图象的对称轴方程为x=kπ2+π6(k∈Z)，
故选B.
12.
【答案】
B
【考点】
向量在几何中的应用
【解析】
由向量加法的三角形法则和减法的三角形法则，将等式化简，得出正确选项.
【解答】
解：∵ |PB→−PC→|−|PB→+PC→−2PA→|=0，
∴ |CB→|=|AB→+AC→|，
以线段AB和AC为邻边画出平行四边形，
则AB→+AC→等于起点为A的平行四边形的对角线.
∵ |CB→|=|AB→−AC→|=|AB→+AC→|，
∴ 平行四边形的两条对角线相等，
∴ 平行四边形是矩形，
∴ ∠BAC是直角，
∴ △ABC是直角三角形，
故选B．
二、填空题
【答案】
−6
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ a→=(m, 4), b→=(3, −2)，且a→//b→，
∴ 12=−2m，
∴ m=−6.
故答案为：−6.
三、解答题
【答案】
解：1根据频率和为1，得2×0.02+0.095+0.11+0.125+x+0.05+0.025=1，
解得x=0.075.
2[0,6)内的频率之和为：0.02+0.095+0.11×2=0.45，
设中位数为y，则0.45+y−6×0.125=0.5，
解得y=6.4，
∴ 中位数为6.4；
平均数为2(1×0.02+3×0.095+5×0.11+7×0.125
+9×0.075+11×0.05+13×0.025)=6.56.
3月平均用水量为[10,12)的用户在四组用户中所占的比例为：+0.075+0.05+0.025=211，
∴ 月平均用水量在[10,12)的用户中应抽取22×211=4(户).
【考点】
频率分布直方图
众数、中位数、平均数
分层抽样方法
【解析】
1根据频率和为1，列方程求出x的值；
2根据频率分布直方图中，每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值，由最高矩形的数据组中点为众数；中位数两边的频率相等，由此求出中位数；
3求出抽取比例数，计算应抽取的户数；
【解答】
解：1根据频率和为1，得2×0.02+0.095+0.11+0.125+x+0.05+0.025=1，
解得x=0.075.
2[0,6)内的频率之和为：0.02+0.095+0.11×2=0.45，
设中位数为y，则0.45+y−6×0.125=0.5，
解得y=6.4，
∴ 中位数为6.4；
平均数为2(1×0.02+3×0.095+5×0.11+7×0.125
+9×0.075+11×0.05+13×0.025)=6.56.
3月平均用水量为[10,12)的用户在四组用户中所占的比例为：+0.075+0.05+0.025=211，
∴ 月平均用水量在[10,12)的用户中应抽取22×211=4(户).
【答案】
解：(1)∵ a→ // b→⇒sinx=13csx⇒tanx=13,
∴ sinx+csxcsx−sinx=tanx+11−tanx=1+131−13=2.
(2)∵ a→⊥b→⇒13+sinxcsx=0⇒sinxcsx=−13,
∴ (csx−sinx)2=1−2sinxcsx=53.
又∵ x∈(0,π)且sinxcsx<0⇒x∈(π2,π)⇒csx−sinx<0，
∴ csx−sinx=−153.
【考点】
三角函数的化简求值
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平行向量的性质
三角函数值的符号
【解析】
（1）根据a→ // b→可推断出sinx=12csx求得tanx的值，进而把sinx+csxsinx−csx分子分母同时除以csx，把原式转化成关于tanx的式子，进而把tanx的值代入即可．
（2）根据两向量垂直可推断出13+sinxcsx=0，利用配方法(sinx−csx)2=1−2sinxcsx进而把sinx和csx的值代入求得答案．
【解答】
解：(1)∵ a→ // b→⇒sinx=13csx⇒tanx=13,
∴ sinx+csxcsx−sinx=tanx+11−tanx=1+131−13=2.
(2)∵ a→⊥b→⇒13+sinxcsx=0⇒sinxcsx=−13,
∴ (csx−sinx)2=1−2sinxcsx=53.
又∵ x∈(0,π)且sinxcsx<0⇒x∈(π2,π)⇒csx−sinx<0，
∴ csx−sinx=−153.
【答案】
解：(1)a→⋅b→=|a→||b→|cs120∘
=4×8×(−12)=−16．
|a→+b→|=a→2+b→2+2a→⋅b→
=42+82+2×(−16)=43．
(2)∵ (a→+2b→)⊥(ka→−b→)，
∴ (a→+2b→)⋅(ka→−b→)=ka→2−2b→2+(2k−1)a→⋅b→=0，
∴ 16k−128+(2k−1)×(−16)=0，
化为k=−7．
∴ 当k=−7时，(a→+2b→)⊥(ka→−b→)．
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平面向量数量积的运算
【解析】
（1）利用数量积定义及其运算性质即可得出；
（2）由于(a→+2b→)⊥(ka→−b→)，(a→+2b→)⋅(ka→−b→)=0，展开即可得出．
【解答】
解：(1)a→⋅b→=|a→||b→|cs120∘
=4×8×(−12)=−16．
|a→+b→|=a→2+b→2+2a→⋅b→
=42+82+2×(−16)=43．
(2)∵ (a→+2b→)⊥(ka→−b→)，
∴ (a→+2b→)⋅(ka→−b→)=ka→2−2b→2+(2k−1)a→⋅b→=0，
∴ 16k−128+(2k−1)×(−16)=0，
化为k=−7．
∴ 当k=−7时，(a→+2b→)⊥(ka→−b→)．
【答案】
解：(1)原式=−sinαcsα(−csα)sinα(−csα)=−csα.
(2)∵ cs(α−3π2)=−sinα，
∴ sinα=−15.
又α是第三象限角，
∴ csα=−1−sin2α=−1−125=−265，
∴ f(α)=−csα=265．
【考点】
运用诱导公式化简求值
同角三角函数间的基本关系
【解析】
（1）f(α)分子分母利用诱导公式化简，约分即可得到结果；
（2）已知等式左边利用诱导公式化简求出sinα的值，根据α为第三象限角，求出csα的值，代入f(α)计算即可得到结果．
【解答】
解：(1)原式=−sinαcsα(−csα)sinα(−csα)=−csα.
(2)∵ cs(α−3π2)=−sinα，
∴ sinα=−15.
又α是第三象限角，
∴ csα=−1−sin2α=−1−125=−265，
∴ f(α)=−csα=265．
【答案】
解：(1)依题意得ka→+b→=(k, 0)+(1, 4)=(k+1, 4)，a→+2b→=(3, 8)，
∵ 向量ka→+b→与a→+2b→平行，
∴ 8(k+1)−3×4=0，
解得k=12.
(2)由(1)得ka→+b→=(k+1, 4)，a→+2b→=(3, 8)，
∵ 向量ka→+b→与a→+2b→的夹角为锐角，
∴ (ka→+b→)(a→+2b→)=3(k+1)+4×8>0，且8(k+1)≠3×4，
∴ k>−353且k≠12.
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
平面向量数量积的运算
【解析】
（1）首先得到ka→+b→与a→+2b→的坐标，然后根据平行的坐标关系得到关于k的等式，解之；
（2）利用（1）ka→+b→与a→+2b→坐标，结合数量积公式写出表示向量的夹角为锐角的等价条件．
【解答】
解：(1)依题意得ka→+b→=(k, 0)+(1, 4)=(k+1, 4)，a→+2b→=(3, 8)，
∵ 向量ka→+b→与a→+2b→平行，
∴ 8(k+1)−3×4=0，
解得k=12.
(2)由(1)得ka→+b→=(k+1, 4)，a→+2b→=(3, 8)，
∵ 向量ka→+b→与a→+2b→的夹角为锐角，
∴ (ka→+b→)(a→+2b→)=3(k+1)+4×8>0，且8(k+1)≠3×4，
∴ k>−353且k≠12.
【答案】
解：(1)由题意：图象与x轴的交点，相邻两个交点之间的距离为π4，即12T=π4，即T=π2；
∵ T=π2=2πω，解得：ω=4，那么：f(x)=sin(4x+φ)．
∵ 0<φ<π2．图象过点M(π3,−1),代入可求得φ=π6，
∴ 解析式f(x)=sin(4x+π6).
(2)由正弦函数的性质可知：4x+π6∈[2kπ−π2, 2kπ+π2]，(k∈Z)是单调递增区间，即：2kπ−π2≤4x+π6≤2kπ+π2，
解得：12kπ−π6≤x≤12kπ+π12，(k∈Z)
∴ 函数f(x)的单调递增区间为：[−π6+kπ2,π12+kπ2],k∈Z.
(3)由(1)可知：f(x)=sin(4x+π6)；
将f(x)的图象向右平移π8个单位后，得到y=sin(4x−π3)的图象，
再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin(2x−π3)的图象．
即g(x)=sin(2x−π3)，
∵ 0≤x≤π2，∴ −π3≤2x−π3≤2π3，
g(x)+k=0在[0, π2]上只有一个实数解，即g(x)的图象与y=−k，只有一个交点，
由g(x)的图象：
可知：−32即实数k的取值范围为：−32【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
（1）由题意：图象与x轴的交点，相邻两个交点之间的距离为π4，可得周期为π2，可求得ω，图象过点M(π3,−1)带入可求得φ，即可得到解析式．
（2）根据正弦函数的图象及性质即可求单调递增区间．
（3）根据三角函数平移变换的规律，求解g(x)，在[0, π2]上求解g(x)的图象．g(x)+k＝0有且只有一个实数解，即图象g(x)与y＝−k，只有一个交点，即可求实数k的取值范围．
【解答】
解：(1)由题意：图象与x轴的交点，相邻两个交点之间的距离为π4，即12T=π4，即T=π2；
∵ T=π2=2πω，解得：ω=4，那么：f(x)=sin(4x+φ)．
∵ 0<φ<π2．图象过点M(π3,−1),代入可求得φ=π6，
∴ 解析式f(x)=sin(4x+π6).
(2)由正弦函数的性质可知：4x+π6∈[2kπ−π2, 2kπ+π2]，(k∈Z)是单调递增区间，即：2kπ−π2≤4x+π6≤2kπ+π2，
解得：12kπ−π6≤x≤12kπ+π12，(k∈Z)
∴ 函数f(x)的单调递增区间为：[−π6+kπ2,π12+kπ2],k∈Z.
(3)由(1)可知：f(x)=sin(4x+π6)；
将f(x)的图象向右平移π8个单位后，得到y=sin(4x−π3)的图象，
再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin(2x−π3)的图象．
即g(x)=sin(2x−π3)，
∵ 0≤x≤π2，∴ −π3≤2x−π3≤2π3，
g(x)+k=0在[0, π2]上只有一个实数解，即g(x)的图象与y=−k，只有一个交点，
由g(x)的图象：
可知：−32即实数k的取值范围为：−322
4
5
6
8
y
30
40
50
60
70