2021届湖南省高三下学期数学三模试卷及答案

这是一份2021届湖南省高三下学期数学三模试卷及答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三下学期数学三模试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 (    )
A.                   B.                   C.                   D. 
2. 在复平面内对应的点的坐标为 ，那么 〔    〕
A.                                     B.                                     C.                                     D. 
3.每年的3月15日是“国际消费者权益日〞，某地市场监管局在当天对某市场的20家肉制品店、100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，要用分层抽样的方法从中抽检27家，那么粮食加工品店需要被抽检〔    〕
A. 20家                                    B. 10家                                    C. 15家                                    D. 25家
4.抛物线 上的点 到其准线的距离为4，那么 〔    〕
A.                                            B. 8                                           C.                                            D. 4
5.?周髀算经?是我国古代的天文学和数学著作.其中有一个问题大意为：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同〔即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同〕.二十四个节气及晷长变化如下列图，假设冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸〔注：一丈等于十尺，一尺等于十寸〕，那么夏至后的那个节气〔小暑〕晷长为〔    〕

A. 五寸                              B. 二尺五寸                              C. 三尺五寸                              D. 四尺五寸
6.为双曲线 〔 ， 〕上一点， ， 分别为其左、右焦点， 为坐标原点.假设 ，且 ，那么 的离心率为〔    〕
A.                                         B.                                         C. 2                                        D. 
7.在一次“概率〞相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了10个小球，其中9个是白球，1个是黑球，用两种方法让同学们来摸球．方法一：在20箱中各任意摸出一个小球；方法二：在10箱中各任意摸出两个小球．将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为 和 ，那么〔    〕
A.                        B.                        C.                        D. 以上三种情况都有可能
二、多项选择题
8.在 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，那么〔    〕
A. 二项式系数和为64              B. 各项系数和为64              C. 常数项为-135              D. 常数项为135
9.函数 .〔    〕
A. 当 时， 的极小值点为
B. 假设 在 上单调递增，那么
C. 假设 在定义域内不单调，那么
D. 假设 且曲线 在点 处的切线与曲线 相切，那么
10.如图，在平行四边形 中， ， ， ，沿对角线 将 折起到 的位置，使得平面 平面 ，以下说法正确的有〔    〕

A. 平面 平面
B. 三棱锥 四个面都是直角三角形
C. 与 所成角的余弦值为
D. 过 的平面与 交于 ，那么 面积的最小值为
11.函数 ，假设 的最小正周期为 ，且对任意的 ， 恒成立，以下说法正确的有〔    〕
A. 
B. 假设 ，那么
C. 假设 ，那么
D. 假设 在 上单调递减，那么
三、填空题
12.单位向量 ， 满足 ，那么 与 的夹角为________．
13.函数概念最早出现在格雷戈里的文章?论圆和双曲线的求积?〔1667年〕中.他定义函数是这样一个量：它是从一些其他量出发，经过一系列代数运算而得到的，或者经过任何其他可以想象到的运算得到的.假设一个量 ，而 所对应的函数值 可以通过 得到，并且对另一个量 ，假设 ，那么都可以得到 .根据自己所学的知识写出一个能够反映 与 的函数关系式：________.
14.数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体〞就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体〞，以下结论正确的序号是________.
①“等腰四面体〞每个顶点出发的三条棱一定可以构成三角形；
②“等腰四面体〞的四个面均为全等的锐角三角形；
③三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体〞的体积为 ；
④三组对棱长度分别为 ， ， 的“等腰四面体〞的外接球直径为 .
15.直线 与圆 相交于 ， 两点，那么 的最小值为________；此时 ________.
四、解答题
16.数列{an}满足 ，a2-a1=1.
〔1〕证明：数列 是等比数列；
〔2〕假设a1= ，求数列{an}的通项公式.
17.， ， 分别为 内角 ， ， 的对边. ， ， .
〔1〕假设 ，求 ；
〔2〕求 .
18.为了解华人社区对接种新冠疫苗的态度，美中亚裔健康协会日前通过社交媒体，进行了小规模的社区调查，结果显示，多达73.4%的华人受访者最担忧接种疫苗后会有副作用.其实任何一种疫苗都有一定的副作用，接种新型冠状病毒疫苗后也是有一定副作用的，这跟个人的体质有关系，有的人会出现副作用，而有的人不会出现副作用.在接种新冠疫苗的副作用中，有发热、疲乏、头痛等表现.为了了解接种某种疫苗后是否会出现疲乏病症的副作用，某组织随机抽取了某地200人进行调查，得到统计数据如下：

无疲乏病症
有疲乏病症
总计
未接种疫苗
100
20
120
接种疫苗



总计
160

200
〔1〕求 列联表中的数据 ， ， ， 的值，并确定能否有85%的把握认为有疲乏病症与接种此种疫苗有关.
〔2〕从接种疫苗的 人中按是否有疲乏病症，采用分层抽样的方法抽出8人，再从8人中随机抽取3人做进一步调查.假设初始总分为10分，抽到的3人中，每有一人有疲乏病症减1分，每有一人没有疲乏病症加2分，设得分结果总和为 ，求 的分布列和数学期望.












19. 是数列 的前 项和， ， ， ．
〔1〕证明：数列 是等比数列；
〔2〕求 ．
20.如图，在四棱台 中，底面为矩形，平面 平面 ，且 .

〔1〕证明： 平面 ；
〔2〕假设 与平面 所成角为 ，求二面角 的余弦值.
21.函数 ， .
〔1〕讨论 的单调性；
〔2〕假设函数 存在两个极值点 ， ，且曲线 在 处的切线方程为 ，求使不等式 成立的 的取值范围.
22.椭圆 的右焦点为 ，离心率 ．
〔1〕假设 为椭圆 上一动点，证明 到 的距离与 到直线 的距离之比为定值，并求出该定值；
〔2〕设 ，过定点 且斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，在 轴上是否存在一点 ，使得 轴始终平分 ？假设存在，求出 点的坐标；假设不存在，请说明理由．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】因为 ， ，所以 ．
故答案为：D

【分析】 可求出集合M，N，然后进行交集的运算即可.
2.【解析】【解答】由题意知 ，所以 ．
故答案为：A.

【分析】 先利用复数的几何意义求出z，然后由复数的除法运算求解即可.
3.【解析】【解答】解：根据分层抽样原理知，粮食加工品店需要被抽检 〔家〕.
故答案为：A.

【分析】 根据分层抽样原理求出粮食加工品店需要被抽检的家数.
4.【解析】【解答】 ， ，
因为点 到 的准线的距离为4，所以 ，得 ．
故答案为：C

【分析】 利用抛物线的定义，列出方程，求解即可.
5.【解析】【解答】解：设从夏至到冬至，每个节气冕长为 ，即夏至时冕长为 ，冬至时冕长为 ，
由每个节气晷长损益相同可知， 常数，所以 为等差数列，设公差为 ，
由题意知， ，解得 ，那么 .
故答案为：B.

【分析】 由结合等差数列的通项公式及性质即可直接求解.
6.【解析】【解答】由 ，以及正弦定理可得 ，
因为 ，所以 ， ，
因为 ， ，所以 ，所以 ，
在 中， .
化简可得 ，所以 的离心率 .
故答案为：B

【分析】 利用正弦定理可得，结合双曲线的定义，结合余弦定理转化求解双曲线的离心率即可.
7.【解析】【解答】方法一：每箱中的黑球被选中的概率为 ，所以至少摸出一个黑球的概率 ．
方法二：每箱中的黑球被选中的概率为 ，所以至少摸出一个黑球的概率 ．
，那么 ．
故答案为：B.

【分析】 根据题意，由相互独立事件的概率公式计算两种方法抽取过程中，至少能摸出一个黑球的概率，比较可得答案.
二、多项选择题
8.【解析】【解答】在 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，
令 ，得各项系数和为 ，二项式系数和为 ，那么 ，得 ，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，A、B符合题意；
展开式的通项为 ，
令 ，得 ，因此，展开式中的常数项为 ．
D符合题意.
故答案为：ABD.

【分析】 由题意利用二项式系数的性质，求得n的值，再利用二项展开式的通项公式。
9.【解析】【解答】 的定义域为 ，
.
根据极值点定义可知，极小值点不是坐标，A不符合题意；
由 得 ，
因为 ，所以 ，B符合题意；
因为 ，
当 时， 恒成立，当 时， 不恒成立，函数不单调，C符合题意；
， ，
所以 ， ，
所以切线方程为 ，即 ，
设切点横坐标为 ，那么 ，
故 ，切点 ，代入 得 ，D不符合题意.
故答案为：BC

【分析】 根据函数极值点的概念检验选项A；结合导数与单调性关系检验B、C；结合导数的几何意义检验选项D.
10.【解析】【解答】 中， ， ， ，
由余弦定理可得 ，故 ，
所以 ，
因为平面 平面 且平面 平面 ，
所以 平面 ， ；
同理 平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 平面 ，A，B符合题意；
以 为原点，建立如下列图的空间直角坐标系，

那么 ， ， ，
因为 ， ，
所以 ，即 与 所成角的余弦值为 ，C不符合题意；
因为 在线段 上，设 ，那么 ，
所以点 到 的距离 ，
当 时， 取得最小值 ，此时 面积取得最小值 ，D符合题意.
故答案为：ABD.

【分析】 结合线线垂直，线面垂直与面面垂直的相互转化关系检验A，B；结合空间直角坐标系及空间角及空间点到直线的距离公式检验CD即可判断.
11.【解析】【解答】因为 ，
其中 ， ．因为 的最小正周期为 ，所以 ，A不符合题意．
因为对任意的 ， 恒成立，以 是 的最小值．
假设 ，那么 ， ．
所以 ， ，B符合题意．
因为 是 的最小值，所以 为最大，所以 ，所以 ，C符合题意．
因为当 时， ，所以 ．
因为 在 上单调递增，所以 在 上单调递减．
当 时， ，所以 ．
因为 在 上单调递减，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，D符合题意．
故答案为：BCD

【分析】 先利用二倍角公式及辅助角公式对函数进行化简，然后结合正弦函数的性质分别检验各选项即可判断.
三、填空题
12.【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
所以 ， ．
故答案为： .

【分析】 根据题意，由数量积的计算公式可得，变形可得，结合  与  的夹角的范围分析可得答案.
13.【解析】【解答】解：假设 ，得 ， ，
而 ，
即 ，那么 成立①，
又由 在 上是增函数，
而 ，
那么 成立②，
结合①② 与 的函数关系式为： .
故答案为： 〔单调递增的指数函数都可以〕.

【分析】 假设，得 ，满足且在上是增函数，满足题意，所以单调递增的指数函数都可以.
14.【解析】【解答】解：将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为 ， ， ，与之对应的长方体的长宽高分别为 ， ， ，
那么 ，
故 ， ， ，
结合图像易得①②正确；

三组对棱长度分别为 ， ， ，那么 ， ， ，
因为等腰四面体的体积是对应长方体体积减去四个小三棱锥的体积，
所以等腰四面体的体积 ，③正确；
三组对棱长度分别为 ， ， 的“等腰四面体〞的外接球直径 ，④错误.
故答案为：①②③.

【分析】 将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为， ， 与之对应的长方体的长宽高分别为， ， ，然后结合长方体的性质分别检验各选项即可判断.
15.【解析】【解答】∵直线 恒过定点 ，
∴当圆心与点 的连线与直线 垂直时，弦长 最小，
∵圆心 与点 间的距离为 ，半径为3，
∴弦长 的最小值为 .
∵圆心 与点 连线的斜率为 ，∴此时直线 的斜率为1，
由 ，解得 .
故答案为： ；

【分析】 由直线方程求得直线所过定点坐标，由两点间的距离公式求出圆心与定点的距离，再由垂径定理求弦长，再由直线垂直与斜率的关系列式求得a值.
四、解答题
16.【解析】【分析】 〔1〕先由题设得到：   ，再由  即可证明结论；
〔2〕先由〔1〕得到： ，再由累加法求得an ．
17.【解析】【分析】 〔1〕利用正弦定理化简等式可得   ，利用同角三角函数根本关系式可求 ， 根据余弦定理可求 的值；
〔2〕由〔1〕可知 ，分类讨论，利用余弦定理可求  的值，根据二倍角公式即可求解 的值.
 
18.【解析】【分析】 〔1〕由2×2列联表中的数据求出x，y，m，n的值，得出K2≈2.083＞2.072，即可得出结论；
〔2〕随机变量X所有可能取的值为10，13，16，求出对应的概率，得到分布列，然后求解期望即可．
19.【解析】【分析】 〔1〕将   ，移项得   得数列  是首项为4，公比为2的等比数列；
〔2〕、由〔1〕得   ，通过累加法可以得到an的通项公式，再通过分组求和算出的前n项和 .
20.【解析】【分析】 〔1〕 在梯形  中 ，求出 ，连结  ，由余弦定理可求得 ， 由勾股定理可证   ，再由面面垂直的性质定理证明  平面   ，从而得到   ，结合   ，由线面垂直的判断定理证明即可；
〔2〕利用线面角的定义确定   与平面  所成的角为 ，由此求解线段的长度，建立适宜的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出两个平面的法向量，然后由向量的夹角公式求解即可.
 
21.【解析】【分析】 〔1〕先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a进行分类讨论，确定导数符号，进而确定函数的单调性；
〔2〕先对 求导，然后结合极值存在条件可转化为  有两个不等正实数解，结合二次方程根的存在条件及方程的根与系数关系及导数几何意义求出切线方程，构造函数 ， 结合导数与单调性关系进而可求.
22.【解析】【分析】〔1〕 根据题意，使用待定系数法求解得出结论；
〔2〕设  ，  ，   直线  ，联立方程组 ，求解得出结论，利用根与系数的关系可得   ，  ，由  ， 可得    ， 解出t，即可得出结论。