湖南省湘潭市2022届高三下学期数学三模试卷及答案

 高三下学期数学三模试卷

一、单选题

1．已知集合，，若，则m的取值范围为（　　）

A． B． C． D．

2．已知平面向量，，则“”是“”的（　　）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知，则（　　）

A． B．3 C． D．4

4．椭圆的左､右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l与E交于A，B两点，若△ABF2的周长为12，则E的离心率为（　　）

A． B． C． D．

5．函数的部分图象大致为（　　）

A．

B．

C．

D．

6．写算，是一种格子乘法，也是笔算乘法的一种，用以区别筹算与珠算，它由明代数学家吴敬在其撰写的《九章算法比类大全》一书中提出，是从天元式的乘法演变而来.例如计算89×61，将被乘数89计入上行，乘数61计入右行，然后以乘数61的每位数字乘被乘数89的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后从右下方开始按斜行加起来，满十向上斜行进一，如图，即得5429.类比此法画出354×472的表格，若从表内的18个数字（含相同的数字，表周边数据不算在内）中任取2个数字，则它们之和大于10的概率为（　　）

A． B． C． D．

7．若函数在（0，）上恰有2个零点，则的取值范围为（　　）

A． B． C． D．

8．A，B，C，D是半径为4的球面上的四点，已知AB=5，BC=3，cos∠BAC=，当AD取得最大值时，四面体ABCD的体积为（　　）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知复数，，则（　　）

A．

B．

C．

D．在复平面内对应的点位于第二象限

10．新中国成立至今，我国一共进行了7次全国人口普查，历次普查得到的全国人口总数如图1所示，城镇人口比重如图2所示.下列结论正确的有（　　）

A．与前一次全国人口普查对比，第五次总人数增长量高于第四次总人数增长量

B．对比这7次全国人口普查的结果，我国城镇人口数量逐次递增

C．第三次全国人口普查城镇人口数量低于2亿

D．第七次全国人口普查城镇人口数量超过第二次全国人口普查总人口数

11．已知双曲线（）的左､右焦点分别为F1（−c，0），F2（c，0）.直线与双曲线左､右两支分别交于A，B两点，M为线段AB的中点，且|AB|=4，则下列说法正确的有（　　）

A．双曲线的离心率为 B．

C． D．

12．已知数列满足，，则下列说法正确的有（　　）

A． B．

C．若，则 D．

三、填空题

13．陀螺是中国民间的娱乐工具之一，也叫作陀罗.陀螺的形状结构如图所示，由一个同底的圆锥体和圆柱体组合而成，若圆锥体和圆柱体的高以及底面圆的半径长分别为，，r，且，设圆锥体的侧面积和圆柱体的侧面积分别为S1和S2，则　     　.

14．已知正数a，b满足，则的最小值为　     　.

15．已知直线l是曲线与的公共切线，则l的方程为　            　.

16．已知，且，函数，若，则　     　，的解集为　          　.

四、解答题

17．已知数列为等差数列，数列为等比数列，，且．

（1）求与的通项公式；

（2）设等差数列的前n项和为，求数列的前n项和．

18．某校篮球社组织一场篮球赛，参赛队伍为甲､乙两队，比赛实行三局两胜制，已知甲队赢得每一局比赛的概率为p（）.

（1）若最终甲队获胜的概率为，求乙队赢得每一局比赛的概率.

（2）在（1）成立的情况下，在每一局比赛中，赢的队伍得2分，输的队伍得1分.用X表示比赛结束时两支球队的得分总和，求随机变量x的分布列和期望.

19．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

（1）求的最大值；

（2）若，求的值.

20．如图，在多面体中，底面是边长为的等边三角形，底面，，，，.

（1）证明：；

（2）求二面角的余弦值.

21．已知抛物线E：（）上一点Q到其焦点的距离为.

（1）求抛物线E的方程，

（2）设点P在抛物线E上，且，过P作圆C：的两条切线，分别与抛物线E交于点M，N（M，N两点均异于P）.证明：直线MN经过R.

22．已知函数.

（1）讨论的单调性

（2）若函数有且只有两个零点，证明：.

答案解析部分

1．【答案】A

2．【答案】B

3．【答案】C

4．【答案】A

5．【答案】D

6．【答案】D

7．【答案】B

8．【答案】D

9．【答案】B,C

10．【答案】A,B,D

11．【答案】B,D

12．【答案】B,C,D

13．【答案】

14．【答案】

15．【答案】y=ex-1或y=x

16．【答案】；

17．【答案】（1）解：因为，

当时，，

由，解得，

又由，

当时，可得，

两式相减得，

当时，适合上式，所以，

因为为等差数列，为等比数列，所以的公比为，

所以，所以．

（2）解：由，可得数列的前n项和为，

又由，可得数列的前n项和，

则，

所以数列的前n项和为，

所以数列的前n项和．

18．【答案】（1）解：由题可知，甲队以的比分获胜的概率为，

甲队以的比分获胜的概率为.

因为甲队获胜的概率为，所以，解得，

故乙队贏得每一局比赛的概率为.

（2）解：若这场篮球赛进行了2局结束，则，且.

若这场篮球赛进行了3局结束，则，且.

的分布列为

19．【答案】（1）解：因为，所以，

由余弦定理，可得，

当且仅当时，等号成立，

所以，因为为三角形的内角，可得，

故的最大值为.

（2）解：因为，可得

由（1）可知为锐角，所以，可得，

则

.

20．【答案】（1）证明：由已知平面，得，

又，，

又，则，

，，

在中，由余弦定理，，

故，

，

如图所示，过点作，设，

则四边形为矩形，

，，，

又，故，

，

又，且，平面，

平面，

；

（2）解：取中点，以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，，

设平面的法向量，

则，即，令，则，

设平面的法向量，

则，即，令，则，

所以，

由图可知二面角为锐二面角，

所以二面角的余弦值为.

21．【答案】（1）解：由题可知，

解得（舍去）.

故抛物线的方程为.

（2）证明：设，

则直线的方程为，整理得.

因为直线与圆相切，所以，整理得

同理可得，（4-，故是方程的两根，则

直线的方程为，整理得.

将代入直线的方程，得，解得，故直线经过.

22．【答案】（1）解：因为，所以.

若，则恒成立；

若，令，解得，

当时，；当时，，

综上所述，当时，的单调递增区间为；

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）证明：，

令，则，

令函数，则，

可得在上单调递增，在上单调递减，

又由，所以有且仅有一个零点，即，

故函数有且只有两个零点等价于函数有且只有两个零点，

可得，

若，则恒成立，在上单调递增，

则最多只有一个零点，不符合题意；

若，则当时，单调递增；

当单调递减.

当或时，，故要使有两个零点，

则需，即，

不妨令，

今函数，

则，

因为，所以，

故在上单调递增，

又因为，所以，即，

因为在上单调递减，

所以，即.