湖南省怀化市2022届高三下学期数学一模试卷及答案

 高三下学期数学一模试卷

一、单选题

1．已知集合，则（　　）

A． B．

C． D．

2．已知复数，则实数x，y分别为（　　）

A． B． C． D．

3．已知，则的大小关系为（　　）

A． B． C． D．

4．二项式的展开式中的常数项是（　　）

A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项

5．已知、，，则直线与圆的位置关系是（　　）

A．相交 B．相离 C．相切 D．不能确定

6．已知的分布列如下表：

其中，尽管“!”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此计算，下列各式中：①；②；③，正确的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

7．已知平面向量满足，且与的夹角为，则的最大值为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

8．已知抛物线，O为坐标原点.若存在过点的直线l与C相交于A､B两点，且，则实数m的取值范围为（　　）

A． B． C． D．

二、多选题

9．下列函数中，存在极值点的是（　　）

A． B． C． D．

10．我国疫情基本阻断后，在抓好常态化疫情防控的基础上，有力有序推进复工复产复业复市，成为当务之急.某央企彰显担当，主动联系专业检测机构，为所有员工提供上门核酸全覆盖检测服务，以便加快推进复工复产.下面是该企业连续11天复工复产指数折线图，则下列说法正确的是（　　）

A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加

B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数增量

C．第3天至第11天复工复产指数均超过

D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数增量

11．设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，则下列选项中成立的是（　　）

A． B．

C． D．与均为的最大值

12．如下图，正方体中，M为上的动点，平面，则下面说法正确的是（　　）

A．直线AB与平面所成角的正弦值范围为

B．点M与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大

C．点M为的中点时，平面经过点B，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形

D．已知N为中点，当的和最小时，M为的三等分点

三、填空题

13．已知，且“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围是　         　.

14．自从申办冬奥成功之后，中国大力推广冰雪运动.统计数据显示，现中国从北到南总共有654块标准冰场和803块滑雪场，全国冰雪运动参与人数已达3.46亿人.一对酷爱冰雪运动的年轻夫妇，让刚好十个月大的孩子把“0､2､2､2､北､京”六张卡片排成一行，若依次排成“2022北京”或“北京2022”，就说“很好”，那么“很好”的概率是　     　.

15．已知函数（，）的部分图形如图所示，求函数的解析式　                  　．

16．已知函数若存在实数，满足，则的最大值是　     　．

四、解答题

17．已知三内角A､B､C的对边分别为a､b､c，且.

（1）求角A的值；

（2）在解三角形问题中，若，且有两解，求边a的取值范围.

18．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了2015年12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如表：

该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．

，．

（1）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程bx+a；

（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得到的线性回归方程是否可靠？

19．已知数列为等比数列，其前n项的和为.已知，且成等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）已知，记，若对于恒成立，求实数m的范围.

20．如图，四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，点F是棱BC的中点.

（1）若PB与平面ABCD所成的角为，求二面角的大小；

（2）若直线PB与过直线AF的平面平行，平面与棱PD交于点S，指明点的位置，并证明.

21．如图.矩形ABCD的长，宽，以A､B为左右焦点的椭圆恰好过C､D两点，点P为椭圆M上的动点.

（1）求椭圆M的方程，并求的取值范围；

（2）若过点B且斜率为k的直线交椭圆于M､N两点（点C与M､N两点不重合），且直线CM､CN的斜率分别为，试证明为定值.

22．已知函数.

（1）当时，求在上的单调区间；

（2）若，求a的取值范围.

答案解析部分

1．【答案】B

2．【答案】D

3．【答案】D

4．【答案】C

5．【答案】C

6．【答案】C

7．【答案】C

8．【答案】A

9．【答案】B,D

10．【答案】C,D

11．【答案】A,B,D

12．【答案】A,C

13．【答案】[2，+∞)

14．【答案】

15．【答案】

16．【答案】

17．【答案】（1）解：因为，

由正弦定理得，

又

即，

因为sinC≠0，得，

所以.

所以或（舍去），

故

（2）解：由（1）和余弦定理得，又，所以，

即，要使有两解，则方程有两个正实数根，

即，

即.

18．【答案】（1）解：由表中数据，求得

，，

由公式，可得，，

所以y关于x的线性回归方程为x﹣3

（2）解：当x＝10时，10﹣3＝22，|22﹣23|＜2；

同样，当x＝8时，8﹣3＝17，|17﹣16|＜2；

所以，该研究所得到的回归方程是可靠的

19．【答案】（1）解：设公比为，因为，，成等差数列，

所以，

所以，

故.

又，故，

所以

（2）解：因为，，故，

所以，

又，

所以，

所以.

若对于恒成立，则，

即，所以.

令，则，所以为减函数，

所以，即.

20．【答案】（1）解：分别以棱、、所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图，

因为平面ABCD，

所以即为PB与平面ABCD所成的角，即，所以，

则、、、、.

则，，

设平面的法向量为，由，得，

令，则，故.

由于，，即，

结合平面ABCD，易知平面的法向量为

设二面角的平面角为，则.

即二面角的大小为.

（2）解：连接与交于点，

由点是棱的中点得.

又，所以.

取点为棱上的三等分点（偏点的位置），

则在中，，所以.

平面即为平面，因为，，

所以.

21．【答案】（1）解：由题意得.

又点在椭圆上，所以，

且，所以，，故椭圆的方程为.

设点，由，得.

又，所以

（2）解：设过点且斜率为的直线方程为，

联立椭圆方程得.

设两点M､N，故，.

因为，

其中，，

故

所以为定值．

22．【答案】（1）解：当时，，

则，

设，则.

当时，单调递增，又，，

所以存在唯一的，使得.

当时，，单调递减；当时，，单调递增.

而，

所以，当时，，即，故单调递减.

当时，，所以单调递增.

故函数在上的单调递减区间为，单调递增区间为

（2）解：令，则，所以单调递减.

又，因此，当时，，当时，.

当时，由，得.

当时，由，得恒成立，所以.

当时，由，得恒成立，所以.

当时，的图象关于直线对称，

由（1）知，此时在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.

又，

所以，当时，，当且仅当时等号成立.

所以，当时，，于是可得.

又为奇函数，所以，当时，，所以.

综上，的取值范围为.