2021届湖南省永州市高三下学期数学二模试卷及答案

这是一份2021届湖南省永州市高三下学期数学二模试卷及答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三下学期数学二模试卷
一、单项选择题
1. ， 是 的子集，且 ，那么 〔    〕
A.                                          B.                                          C.                                          D. 
2.假设复数 对应的点是 ，那么 〔    〕
A.                                           B.                                           C. -1                                          D. 1
3.在边长为3的等边三角形 中， ，那么 〔    〕
A.                                          B.                                          C.                                          D. 
4. ， ， ，那么〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 
5.2021年湖南等8省公布了高考改革综合方案，将采取“ 〞模式，即语文､数学､英语必考，考生首先在物理､历史中选择1门，然后在政治､地理､化学､生物中选择2门.那么某同学选到物理､地理两门功课的概率为〔    〕
A.                                           B.                                           C.                                           D. 
6.我国天文学和数学著作?周髀算经?中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如下列图，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，那么以下说法不正确的选项是〔    〕

A. 小寒比大寒的晷长长一尺                                    B. 春分和秋分两个节气的晷长相同
C. 小雪的晷长为一丈五寸                                       D. 立春的晷长比立秋的晷长长
7.曲线 在 处的切线 过原点，那么 的方程是〔    〕
A.                       B.                       C.                       D. 
8.函数 在区间 上的最大值为 ，那么实数 的取值个数最多为〔    〕
A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4
9.抛物线 ： 的焦点为 ， 是其上一动点，点 ，直线 与抛物线 相交于 ， 两点，以下结论正确的选项是〔    〕
A. 的最小值是2
B. 动点 到点 的距离最小值为3
C. 存在直线 ，使得 ， 两点关于直线 对称
D. 与抛物线 分别相切于 ､ 两点的两条切线交于点 ，假设直线 过定点 ，那么点 在抛物线 的准线上
二、多项选择题
10.以下说法正确的选项是〔    〕
A. 线性回归方程 对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点
B. 10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取2件，恰好取到1件次品的概率为
C. 某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，该校高一､高二､高三年级学生之比为 ，那么应从高二年级中抽取20名学生
D. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少有一个黑球〞与“至少有一个红球〞是互斥而不对立的事件
11.关于多项式 的展开式，以下结论正确的选项是〔    〕
A. 各项系数之和为1             B. 二项式系数之和为              C. 存在常数项             D. 的系数为12
12.是正方体 中线段 上的动点(点 异于点 )，以下说法正确的选项是〔    〕
A.                                                          B. 异面直线 与 所成的角是
C. 的大小与 点位置有关                       D. 二面角 的大小为
三、填空题
13.假设对 ，都有 ，那么实数 的取值范围是________.
14.大约在2000多年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也〞，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等.这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100多年.现有一动点 满足 ，其中 为坐标原点，假设 ，那么 的最小值为________.
15. 为坐标原点，双曲线 ： 的离心率为 ，从双曲线 的右焦点 引渐近线的垂线，垂足为 ，假设 的面积为 ，那么双曲线 的方程为________.
16.定义方程 的实数根 叫做函数 的“新驻点〞.
〔1〕设 ，那么 在 上的“新驻点〞为________；
〔2〕如果函数 与 的“新驻点〞分别为 ､ ，那么 和 的大小关系是________.
四、解答题
17.函数 .
〔1〕求函数 的最小正周期；
〔2〕在 中，角 ､ ､ 所对边分别为 ､ ､ ，假设 ， ， 的面积为 ，求 外接圆的面积.
18.给定三个条件：① ， ， 成等比数列，② ，③ ，从上述三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.
问题：设公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，且 ，___________.
〔1〕求数列 的通项；
〔2〕假设 ，数列 的前 项和 ，求证： .
19.为快速控制新冠病毒的传播，全球多家公司进行新冠疫苗的研发.某生物技术公司研制出一种新冠灭活疫苗，为了检测其质量指标，从中抽取了100支该疫苗样本，经统计质量指标得到如下列图的频率分布直方图.

〔1〕求所抽取的样本平均数 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
〔2〕将频率视为概率，假设某家庭购置4支该疫苗，记这4支疫苗的质量指标值位于 内的支数为 ，求 的分布列和数学期望.
20.在如下列图的圆柱 中， 为圆 的直径， ， 是 的两个三等分点， ， ， 都是圆柱 的母线.

〔1〕求证： 平面 ；
〔2〕假设 ，求二面角 的余弦值.
21.某城市决定在夹角为 的两条道路 ､ 之间建造一个半椭圆形状的主题公园，如下列图， 千米， 为 的中点， 为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域 ，其中 ， 在椭圆上，且 的倾斜角为 ，交 于 .

〔1〕假设 千米，为了不破坏道路 ，求椭圆长半轴长的最大值；
〔2〕假设椭圆的离心率为 ，当线段 长为何值时，游乐区域 的面积最大？
22.函数 ， .
〔1〕讨论 在 上的单调性；
〔2〕当 时，讨论 在 上的零点个数.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】 ， 是 的子集，且 ，如下列图， 表示Venn图中的阴影局部，

故可知，
故答案为：C.

【分析】根据题意由集合的韦恩图结合补集、交集的定义即可求出答案。
2.【解析】【解答】由题得 .
故答案为：B

【分析】首先由复数的几何意义结合点的坐标再由复数的运算性质整理即可得出答案。
3.【解析】【解答】因为 ，那么 ，又等边三角形 的边长为3
那么
故答案为：B

【分析】由条件结合数量积的运算性质代入数值计算出答案即可。
4.【解析】【解答】 , ,
因为 ，所以
故
故答案为：D

【分析】根据题意由对数和指数函数的单调性即可判断出a与b的大小关系，再由特殊值法即可比较出a、b、c的大小。
5.【解析】【解答】由题可知：所有根本领件的个数为：
某同学选到物理､地理两门功课的根本领件个数为：
所以所求概率为：
故答案为：C

【分析】根据题意由排列组合的定义求出所有根本领件的个数以及某同学选到物理､地理两门功课的根本领件个数，再把数值代入到概率公式计算出结果即可。
6.【解析】【解答】由题意可知，夏至到冬至的晷长构成等差数列 ，其中 寸， 寸，公差为 寸，那么 ，解得 〔寸〕；
同理可知，由冬至到夏至的晷长构成等差数列 ，首项 ，末项 ，公差 〔单位都为寸〕.
故小寒与大寒相邻，小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺，A正确，不符合题意；
春分的晷长为 ， ，
秋分的晷长为 ， ，故春分和秋分两个节气的晷长相同，所以B正确，不符合题意；
小雪的晷长为 ， ，115寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，C错误，符合题意；
立春的晷长，立秋的晷长分别为 ， ，
， ， ，
故立春的晷长比立秋的晷长长，D正确，不符合题意.
故答案为：C.

【分析】根据题意由等差数列的定义即可得出数列为等差数列，再由等差数列的通项公式代入数值计算出答案即可。
7.【解析】【解答】解：曲线 ， ，切点为 ，
所以切线 的斜率 ，
又直线 过原点，所以 ，
得 ， ．所以 ，故切线 的方程为 即 ．
故答案为：A．

【分析】根据题意首先对函数求导再结合导函数与切线斜率的关系即可求出直线的斜率，再由点斜式求出直线的方程即可。
8.【解析】【解答】因为函数 在区间 上的最大值为 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，
所以 ，
当 ，即 时， ，
令 ，在同一坐标系中作出图象：

令 ，
因为 ，
所以存在唯一 ，使得 ，
当 ，即 时， ，即 ，
解得 ，
所以实数 的取值个数最多为2。
故答案为：B

【分析】因为函数 在区间 上的最大值为 ，进而求出的取值范围，因为 ，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的最大值，所以，令 ，在同一坐标系中作出两函数的图象，令 ，再利用零点存在性定理得出存在唯一 ，使得 ，当 ，即 时， ，即 ，从而求出的值，进而求出实数 的取值最多个数。
9.【解析】【解答】A选项：对于抛物线 ： ，当 时 ，故点 在内部
又因为 等于 到准线的距离，故作 到准线的垂线为 ， 为垂足，
当P与 三点共线时， 取得最小值为 ，A符合题意；
B选项：设 ， 那么
当 时 ，B不符合题意；
C选项：设 ， 与 交点为
因为 ， 两点关于直线 对称，令 方程为
因为 在抛物线上，联立抛物线得 ，
有两解故 ，得
由于 ，
所以 代入 得 ，又因为 ，故 无解，C不符合题意；
D选项：设 ，
由于 得 ，所以
因为 均为切线，设斜率 ，
那么 方程为 ，化简得 ，
方程为 ，化简得
因为 与 交点为
所以 ，
那么 方程为 ，由于直线 过定点 ，
所以 ，即 ，又因为准线方程为 ，所以点 不在抛物线 的准线上，D不符合题意
故答案为：A

【分析】 由抛物线的性质分别对所给命题判断A中，|PM|+|PF|的值最小时是过M作准线的垂线与抛物线的交点P，再由抛物线的性质可得|PM|+|PF|的最小值，可得A正确；由两点间的距离公式求出|PH|的表达式，由二次函数的最值的求法可得B不正确；假设存在这样的直线，由题意可得直线l与直线x+y-3=0，设直线l的方程，与抛物线联立求出两根之和，及判别式大于0，可得参数的取值范围，进而求出AB的中点的坐标，代入直线x+y-3=0中，求出直线l的参数，不满足判别式大于0的条件，判断出C不正确；D：设直线AB的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，设在A，B出的切线的方程，两式联立求出切线的交点的横坐标，可得不在准线上，判断D不正确．
二、多项选择题
10.【解析】【解答】对A，线性回归方程 对应的直线可能不经过样本数据点中的一个点，A不符合题意；
对B，恰好取到1件次品的概率为 ，B符合题意；
对C，应从高二年级中抽取 名学生，C符合题意；
对D，“至少有一个黑球〞 与“至少有一个红球〞都包含“一个黑球一个白球〞这个事件，故这两个事件既不互斥也不对立，D不符合题意.
故答案为：BC.

【分析】 根据题意利用组合数，回归直线方程，分层抽样，互斥事件和对立事件的应用判断A、B、C、D的结论．
11.【解析】【解答】对于A，令 ，那么可得各项系数之和为 ，A符合题意；
对于B，二项式系数之和为 ，B符合题意；
对于C， 的展开式的通项公式为 ，令 ，解得 ，即常数项为第四项，C符合题意；
对于D， ，令 ，解得 ，那么 的系数为 ，D不符合题意.
故答案为：ABC.

【分析】根据题意由二项式定理求出二项式的展开式对选项逐一判断即可得出答案。
12.【解析】【解答】对A,因为 ,所以 平面 ,而 平面 ,所以 ,正确;
对B, 异面直线 与 所成的角即为异面直线 与 所成的角,因为 ,所以 即为异面直线 与 所成的角,而 为等边三角形,所以 ,正确；
对C,因为四边形 为矩形,所以 为定值,而 平面 ,点 到平面 的距离为定值，故 为定值，错误；

对D，二面角 的平面角即为二面角 的平面角，由二面角的定义可知， 为二面角 的平面角，易知 ,正确.
故答案为：ABD.
【分析】 根据直线垂直判定定理判断即可判断出选项A正确；由平移直线求异面直线成角即可判断出选项B正确；用等体积法判断判断出选项C错误；找二面角的平面角即可判断出选项D正确．，由此得出答案。
三、填空题
13.【解析】【解答】解：因为 ，都有 ，所以 ，都有 ，令 ， ，因为 ，在 上单调递减，所以 ，所以 ，
即实数 的取值范围是 ；
故答案为：

【分析】 由题意可得对∀x∈[1，2]恒成立，由反比例函数的单调性求得函数的值域，可得最小值，进而得到所求范围．
14.【解析】【解答】依题意可知，动点P的轨迹是以O为圆心， 为半径的圆，即 ，
而 ，故点 在圆内，
根据圆的对称性可知，当 三点共线时， 最小，即 .
故答案为：1.

【分析】 由题意可得P为以O为圆心，2为半径的圆，求出|MO|，由|PM|min=r-|MO|即可算出结果．
15.【解析】【解答】如图

双曲线的一条渐近线 方程为：
那么 ，所以
所以 ①
又 ②， ③
所以由①②②得：
故双曲线方程为：
故答案为：

【分析】 利用双曲线的离心率以及三角形的面积求解双曲线方程中的a，b，即可求解双曲线方程．
16.【解析】【解答】〔1〕 ， ，
根据“新驻点〞的定义得 ，即 ，可得 ，
，解得 ，所以，函数 在 上的“新驻点〞为 ；
〔2〕 ，那么 ，根据“新驻点〞的定义得 ，即 .
，那么 ，由“新驻点〞的定义得 ，即 ，
构造函数 ，那么函数 在定义域上为增函数，
， ，
，由零点存在定理可知， ，
.
故答案为：〔1〕 ；〔2〕 .

【分析】 〔1〕根据题意，求出函数f〔x〕的导数，由“新驻点〞的定义可得cosx=-sinx，变形可得tanx=-1，结合x的范围分析可x的值，即得答案；
〔2〕根据题意，求出h〔x〕与g〔x〕的导数，由“新驻点〞的定义可得α的值以及利用函数图象的性质分析β范围，比较即可得答案．
四、解答题
17.【解析】【分析】(1)根据题意由二倍角的余弦公式以及诱导公式整理化简再由正弦函数的周期公式计算出答案即可。
(2)根据题意由点的坐标代入到函数的解析式求出A的值，再由三角形的面积公式计算出c的值然后由余弦定理代入数值计算出结果即可。
18.【解析】【分析】 〔1〕根据题意分析可得中选条件①时：由题设条件求得数列{an}的公差d与第二项an ， 即可求得an；中选条件②时：由题设条件求得数列{an}的公差d与第二项a2 ， 即可求得an；中选条件③时：由所选条件得到， 再由题设求得a2 ， 即可求得an；
〔2〕先由〔1〕求得bn ， 再利用裂项相消法求得其前n项和Kn ， 即可证明出结论．
19.【解析】【分析】 〔1〕根据频率分布直方图的性质，可以直接计算出结果；
〔2〕由题意可知X的取值可以是0，1，2，3，4，分别求出对应的概率，即可解出．
20.【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线再由中点的性质得出线线平行，再由线面平行的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到二面角 的余弦值 。
21.【解析】【分析】 〔1〕由题意可得E，F的坐标，进而求出直线EF 的直线方程，设椭圆的方程，由题意可得直线EF 与椭圆相切时，椭圆的长半轴最大，由判别式为0可得参数a的值，求出椭圆的长半轴的值．
〔2〕由离心率及b的值可得a的值，进而求出椭圆的方程，设G的坐标，设直线MN的方程，由直线MN与椭圆联立，求出两根之和及两根之积，进而求出三角形OMN的面积的表达式，当N与B重合时t=1，可得t的范围，由面积的最大值可得t的值，进而求出|OG|的大小及三角形的面积．
22.【解析】【分析】 〔1〕根据题意首先求出函数的导函数， 对a分类讨论，由导数与函数的单调性的关系即可求解；
〔2〕利用零点存在定理即可判断零点个数．