2021届湖南省岳阳市高三下学期数学高考适应性考试试卷及答案

这是一份2021届湖南省岳阳市高三下学期数学高考适应性考试试卷及答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三下学期数学高考适应性考试试卷
一、单项选择题
1.设复数 ， 在复平面内的对应点关于虚轴对称， ，那么 〔    〕
A.                                       B. 5                                      C.                                       D. 
2.不等式 的解集是〔   〕
A.                B.                C.                D. 
3.将函数y=sin2x 的图像向左平移 个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是
A.                   B.                   C.                   D. 
4.设函数 在 内有定义，以下函数必为奇函数的是〔    〕
A.                  B.                  C.                  D. 
5.单位向量 ， 的夹角为60°，那么在以下向量中，与 垂直的是〔    〕
A.                               B.                               C.                               D. 
6.双曲线 的左右焦点分别为 ，其一条渐近线方程为 ，点 在该双曲线上，那么 =〔   〕
A.                                         B.                                         C. 0                                        D. 4
7.假设 〔a ， b为有理数〕，那么 〔    〕
A. 45                                         B. 55                                         C. 70                                         D. 80
8.设球的半径为时间t的函数 ．假设球的体积以均匀速度C增长，那么球的外表积的增长速度与球半径〔 〕
A. 成正比，比例系数为C                                         B. 成正比，比例系数为2C
C. 成反比，比例系数为C                                         D. 成反比，比例系数为2C
二、多项选择题
9.甲、乙两类水果的质量〔单位： 〕分别服从正态分布 ，其正态分布密度曲线〔正态分布密度曲线是函数 的图象〕如以下列图，那么以下说法正确的选项是〔    〕

A. 甲类水果的平均质量为
B. 甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分更集中于平均值左右
C. 平均质量分布在 时甲类水果比乙类水果占比大
D. 
以下四个命题：
：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
：假设空间两条直线不相交，那么这两条直线平行．
：假设直线 平面 ，直线 平面 ，那么 ．
那么下述命题中是真命题的有〔    〕
A.                           B.                           C.                           D. 
11.圆 ，那么以下四个命题中正确的命题有〔    〕
A. 假设圆 与 轴相切，那么                    B. 圆 的圆心到原点的距离的最小值为
C. 假设直线 平分圆 的周长，那么           D. 圆 与圆 可能外切
12.函数 ，设 为实数，且 ．以下结论正确的选项是〔    〕
A. 函数 的图象关于点 对称
B. 不等式 的解集为
C. 假设 ，那么
D. 假设 ，那么
三、填空题
13.椭圆 的左、右焦点分别为 ，点P在椭圆上，如果 的中点在y轴上，那么 是 的________倍
14.设 是公比为 的等比数列， ，令 ，假设数列 有连续四项在集合 中，那么 =________.
15.正方形 的边长是2， 分别是 和 的中点，将正方形沿 折成直面角〔如以下列图〕， 为矩形 内的一点，如果 ， 和平面 所成角的正切值为 ，那么点 到直线 的距离为________．

A ， B ， C ， D四人先后感染了新型冠状病毒，其中只有A到过疫区，B肯定是受A感染的．对于C ， 因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是 ．同样也假定D受A ， B和C感染的概率都是 ．在这种假定之下，B ， C ， D中直接受A感染的人数X的数学期望为________．
四、解答题
17. 中， 分别为三个内角 的对边，且 .
〔1〕求角 ；
〔2〕假设 ，且 ，求 的周长.
18.近年来，随着互联网技术的快速开展，共享经济覆盖的范围迅速扩张，继共享单车、共享汽车之后，共享房屋以“民宿〞、“农家乐〞方案在某景区附近租赁一套农房开展成特色“农家乐〞，为了确定未来开展方向，此创业者对该景区附近六家“农家乐〞跟踪调查了100天.得到的统计数据如下表， 为收费标准〔单位：元/日〕， 为入住天数〔单位：〕，以频率作为各自的“入住率〞，收费标准 与“入住率〞 的散点图如图
x
50
100
150
200
300
400
t
90
65
45
30
20
20

〔1〕假设从以上六家“农家乐〞中随机抽取两家深入调查，记 为“入住率〞超过0.6的农家乐的个数，求 的概率分布列；
〔2〕令 ，由散点图判断 与 哪个更适宜于此模型〔给出判断即可，不必说明理由〕？并根据你的判断结果求回归方程.〔 结果保存一位小数〕
〔3〕假设一年按365天计算，试估计收费标准为多少时，年销售额 最大？〔年销售额 入住率 收费标准 〕
参考数据：    
19.如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形， ，平面 平面 ，点 为棱 的中点．

〔1〕在棱 上是否存在一点 ，使得 平面 ，并说明理由；
〔2〕当二面角 的余弦值为 时，求直线 与平面 所成的角．
20.在数列 中， ， ．
〔1〕证明：数列 为等比数列；
〔2〕是否存在正整数m、n、k ， 且 ，使得 、 、 成等差数列？假设存在，求出m、n、k的值；假设不存在，请说明理由．
21.设 ，函数 ．
〔1〕假设 无零点，求实数 的取值范围．
〔2〕假设 ，证明： ．
22.动圆过定点 ，且与定直线 相切，点C在l上．
〔1〕求动圆圆心的轨迹M的方程；
〔2〕设过点P且斜率为 的直线与曲线M相交于A ， B两点．
①问： 能否为正三角形？假设能，求点C的坐标；假设不能，说明理由；
②当 为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】解： 对应的点的坐标为 ，
复数 ， 在复平面内的对应点关于虚轴对称，
关于虚轴对称的点的坐标为 ，
那么对应的复数， ，
那么 ，
故答案为：A．

【分析】由复数代数形式的几何意义整理得出， 再由复数代数形式的运算性质整理化简即可得出答案。
2.【解析】【解答】不等式同解于: 或
即 或
由 得 ，
由 得 且 .
不等式的解集为 .
故答案为：D.

【分析】根据题意即可得出不等式同解于: 或 ， 由不等式的解法求解出x的取值范围即可。
3.【解析】【解答】由题意知:平移后的函数解析式为
= ,
故答案为：B.

【分析】根据题意由函数平移的性质整理即可得出函数的解析式，再结合诱导公式以及二倍角的余弦公式整理即可得出答案。
4.【解析】【解答】对A， 中， 与 不一定相等，故不一定为奇函数，A不符合题意；
对B， 中， ，所以函数为奇函数，B符合题意；
对C， 中， 与 不一定相等，故不一定为奇函数，C不符合题意；
对D， 为偶函数，D不符合题意.
故答案为：B.

【分析】利用奇函数的定义f(-x)=-f(x)，对选项逐一判断即可得出答案。
5.【解析】【解答】由可得： .
A：因为 ，所以本选项不符合题意；
B：因为 ，所以本选项不符合题意；
C：因为 ，所以本选项不符合题意；
D：因为 ，所以本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.
6.【解析】【解答】由题知b2=2 ，故y0=±=±1，F(-2，0)， F(2，0)，
∴ ，
故答案为：C．

【分析】首先由条件即可求出b的值，再把点的坐标代入计算出c，从而得到焦点的坐标，然后由数量积的坐标公式代入数值计算出结果即可。
7.【解析】【解答】
∴ .
故答案为：C．

【分析】利用二项式定理展开再结合条件即可求出a与b的值，由此得出答案。
8.【解析】【解答】由题意可知球的体积为 ,
那么 ，由此可得 ,
而球的外表积为 ，
所以 .
故答案为：D.

【分析】根据题意结合球的体积公式整理得到， 对其求导整理即可得出同理，求出球的外表积 再对其求导整理得到， 从而得出结论。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】由题图可知，甲类水果的平均质量为 ，A符合题意；
由图可知，甲类水果的质量分布比乙类水果的质量更集中于平均值左右，B符合题意；
由图可看出平均质量分布在 时甲类水果比乙类水果占比大，C符合题意；
乙类水果的质量服从的正态分布的参数满足 ，那么 ，D不符合题意.
故答案为：ABC.

【分析】由正态分布密度曲线中的数据，对选项逐一判断即可得出答案。
10.【解析】【解答】对于命题 ：可设 与 相交，这两条直线确定的平面为 ；
假设 与 相交，那么交点 在平面 内；同理， 与 的交点 也在平面 内，
所以， ，即 ，命题 为真命题；

对于命题 ：假设三点共线，那么过这三个点的平面有无数个，故命题 为假命题；
对于命题 ：假设空间中两条直线不相交，那么这两条直线平行或异面，故命题 为假命题；
对于命题 ：假设直线 平面 ，那么 垂直于平面 内所有直线，
直线 平面 ， 直线 直线 ，故命题 为真命题.
综上可知， ， 为真命题， ， 为假命题，
为真命题， 为假命题，
为真命题， 为真命题.
故答案为：ACD.

【分析】 根据空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，结合复合命题的真知表，从而分别判断出真假，由此即可得到答案.
 
11.【解析】【解答】圆 的圆心坐标为： ，半径为 .
假设圆 与 轴相切，那么 ，解得 ，所以A为真命题．
因为 ，
所以 ，所以B为真命题．
假设直线 平分圆 的周长，那么 ，即 ，所以C为假命题．
假设圆 与圆 外切，那么 ，
设函数 ，因为 ， ，
所以 在 内必有零点，那么方程 有解，所以D为真命题．
故答案为：ABD

【分析】根据题意直接利用圆与圆的位置关系，两点间的距离公式的应用即可判断出A、B、C、D的正误，从而得出答案。
12.【解析】【解答】对A， ， 函数 的图象关于点 对称，A符合题意；
对B， 在 上单调递增，且 ，那么 化为 ，那么 ，解得 ，故不等式 的解集为 ，B符合题意；
对CD， ，那么可得 ，且 关于点 对称，在 上单调递增，可得 函数图象如下：

均在直线 上方，其中直线 的方程为 ，
那么可得 ， ，
所以 ，
，
，即 ，C不符合题意，D符合题意.
故答案为：ABD.

【分析】 根据题意由f(-x)+f(x)=1 可判断出选项A正确；根据函数单调递增可求解由此判断出选项B正确；根据f(x) 的性质画出函数图象，表示出直线AD 的方程，根据 B.C均在直线.AD 上方建立不等关系，由此判断出选项C错误，D正确，由此得出答案。
三、填空题
13.【解析】【解答】由题得 ，
由题得 轴，当 时， ，所以 ,
所以 ,
所以 是 的5倍.
故答案为：5

【分析】 根据题意可得轴，再利用通径的长度的一半，可求得， 利用椭圆的定义可求得 ， 由此即可得答案.
14.【解析】【解答】考查等价转化能力和分析问题的能力,等比数列的通项, 有连续四项在集合 ，四项 成等比数列，公比为 ， = -9.
【分析】 根据， 依据(有连续四项在中，那么可推知那么有连续四项在中，按绝对值的顺序排列上述数值，相邻相邻两项相除发现-24，36，-54，81是中连续的四项，求得q的值，进而求得6q的值 .
15.【解析】【解答】过点 作 ，交 于 ，因为 是直二面角，

所以 平面 ，所以
过点 作 ，交 于 ， ，
所以 平面 ，所以 ，即 为直角三角形，
因为 ， 是直二面角，
所以 平面 ，所以 ，即 为直角三角形，
因为 ，
所以 ，
所以
设 ，那么 和平面 所成角的正切值为 ，
由于 是 和平面 所成角，即 ，
所以
所以在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
所以 ，解得 .
所以点 到直线 的距离为
故答案为： .

【分析】 根据题意，首先过点 作 ，交 于 ， 由， 得出O在∠EBC的角平分线上，即∠EBO=45°，再利用直角三角形中，MO=BOXtan∠MBO即可求得点M到直线EF的距离.
16.【解析】【解答】解：由题意分析得 可取的值为1、2、3，用“ 〞 、2、 表示被A直接感染的人数．
四个人的传染情形共有6种： ，
， ， ， ， ．
每种情况发生的可能性都相等，所以A传染1人有两种情况，传染2人有三种情况，传染3人有一种情况．
“ 〞表示A传染B，没有传染给C、D；
“ 〞表示A传染给B、C，没有传染给D，或A传染给B、D，没有传染给C；
“ 〞表示A传染给B、C、D．
于是有 ，
，
．
可取的值为1、2、3，其中 ， ， ，
分布列为：

1
2
3




．
故答案为： ．

【分析】 由题意分析得X可取的值为1、2、3，用“X=k〞 〔k=1、2、3)表示被A直接感染的人数。四个人的传染情形共有6种：A→B→C→D，A传染1人有两种情况，传染2人有三种情况，传染3人有一种情况.“x=1〞表示A传染B，没有传染给C、D：“x=2〞表示A传染给B、C，没有传染给D，或A传染给B、D，没有传染给C：“x=3〞表示A传染给B、C、D.由此能求出结果. 由题意知X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出x的分布列再把数值代入到期望公式计算出结果即可。
四、解答题
17.【解析】【分析】(1)根据条件整理得到， 再由余弦定理代入整理结合同角三角函数的根本关系式得到， 从而求出角A的大小。
(2)首先求出， 再两角和的正切公式整理得到求解出由此求出角B的大小，由此得出三角形为等边三角形，进而得出答案。
18.【解析】【分析】 (1)根据题意求出的所有可能取值为0，1，2，利用超几何分布求得概率，那么分布列可求；
(2)由散点图可知，更适合于此模型，进而代入数值分别求得与， 由此即可得出线性回归方程；
(3)利用条件整理得到对其求导令由此即可得出答案。
19.【解析】【分析】 (1)根据题意假设在棱AB上存在点E，使得AF//平面PCE，点E为棱AB的中点，取PC的中点Q，连结EQ、FQ，推导出四边形AEQF为平行四边形，从而AF //EQ，进而AF//平面PEC.
(2)由条件结合线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，由此以D为坐标原点建立如图空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PB与平面ABCD所成的角.
20.【解析】【分析】 〔1〕根据题中条件，得到a ，进而推出，即可证明结论成立；
〔2〕由〔1〕得到假设存在正整数m、n、 满足题意，得到， 推出， 结合题中所给条件整理化简得到， 推出 为奇数，而 与 均为偶数 与矛盾，由此即可得证出结论。
21.【解析】【分析】 (1)根据题意求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调性，确定a的范围即可；
(2)结合条件把问题转化为证明恒成立，令， 根据函数的单调性证明即可.
22.【解析】【分析】 (1)利用条件直接代入抛物线的标准方程即可.
(2) ① 首先求出点A，B的坐标，再把点C设出来，利用△ABC为正三角形对应的|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，求出点C的坐标即可，由此即可得证直线l上不存在点C，使得 是正三角形 。
②  根据题意分三种情况分别求当△ABC为钝角三角形时，对应点C的纵坐标的取值范围即可.