2021届湖南省常德市高三下学期数学一模试卷及答案

这是一份2021届湖南省常德市高三下学期数学一模试卷及答案，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三下学期数学一模试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，假设 ，那么实数 的取值范围为〔    〕
A. {2}                                  B.                                   C.                                   D. 
2.复数 ，其中 是虚数单位，那么复数 等于〔    〕
A.                                   B.                                   C.                                   D. 
3.函数 在 处的切线方程为〔    〕
A.                             B.                             C.                             D. 
4.某学校高一年级星期五随机安排6节课，上午安排数学2节，语文和音乐各1节，下午安排英语､体育各1节，那么2节数学恰好相邻的概率为〔    〕
A.                                           B.                                           C.                                           D. 
5.2021年3月全国两会上，“碳达峰〞碳中和〞备受关注.为应对气候变化，我国提出“二氧化碳排放力争于2030年前到达峰值，努力争取2060年前实现碳中和〞等庄严的目标承诺.在今年的政府工作报告中，“做好碳达峰､碳中和工作〞被列为2021年重点任务之一；“十四五〞规划也将加快推动绿色低碳开展列入其中.我国自1981年开展全民义务植树以来，全国森林面积呈线性增长，第三次全国森林资源清查的时间为1984﹣1988年，每5年清查一次，历次清查数据如表：
第 次
3
4
5
6
7
8
9
森林面积 (亿平方米)







经计算得到线性回归直线为 (参考数据： )，据此估算我国森林面积在第几次森林资源清查时首次超过3亿平方米〔    〕
A. 12                                         B. 13                                         C. 14                                         D. 15
6.哥隆尺是一种特殊的尺子，对哥隆尺数码的研究在雷达和声纳技术､模式匹配和信息检索､同步光电探测器的代码､射电天文学等有广泛的应用，图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6，图2的哥隆尺的刻度4到12之间增加一个整数刻度n ， 使得能一次性度量的长度个数最多，那么整数刻度n的值为〔    〕

A. 8                                          B. 9                                          C. 10                                          D. 11
7.椭圆 的左､右焦点为 ， ，过右焦点作垂直于 轴的直线交椭圆于 两点，假设 ，那么椭圆的离心率为〔    〕
A.                                  B.                                  C.                                  D. 
8.函数 ，假设函数 恰有5个零点，那么实数 的取值范围是〔    〕
A.                             B.                             C.                             D. 
二、多项选择题
9.函数 ( )的局部图象如下列图，那么以下选项正确的选项是〔    〕

A. 函数 的最小正周期为                        B. 为函数 的一个对称中心
C.                                                    D. 函数 向右平移 个单位后所得函数为偶函数
10.以下不等式中成立的是〔    〕
A.          B.          C.          D. 
11.以下说法正确的选项是〔    〕
A. 命题 的否认
B. 二项式 的展开式的各项的系数和为32
C. 直线 平面 ，那么“ 〞是 〞的必要不充分条件
D. 函数 的图象关于直线 对称
12.如图，点 在正方体 的面对角线 上运动，那么以下结论中正确的选项是〔    〕

A. 三棱锥 的体积不变                           B. 平面
C.                                                         D. 平面 平面
三、填空题
13.数列 满足 ，且 ， ，那么 =________.
14.向量 = ， = ，假设 ，且 ，那么 ， =________.
15.边长为1的正 的三点都在球 的球面上， 的延长线与球面的交点为 ，假设三棱锥 的体积为 ，那么球 的体积为________.
16.定义：点 为曲线 外的一点， 为 上的两个动点，那么 取最大值时， 叫点 对曲线 的张角.点 为抛物线 上的动点，设 对圆 的张角为 ，那么 的最小值为________.
四、解答题
17.在 中，角 所对的边分别为 ， ，且 ．
〔1〕求角 ；
〔2〕延长 至 ，使得 ，求 面积的最大值.
18.数列 的首项为 ， 是 的前 项和.
〔1〕假设 .求数列 的通项；
〔2〕假设 ，证明： .
19.为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，某药物研究所科研人员从某市随机选取20000名志愿者，并将该疫苗注射到这些人体内，独立环境下试验一段时间后检测这些人的某项医学指标值，统计得到如表频率分布表：
医学指标值X







频率







〔1〕根据频率分布表，估计20000名志愿者的该项医学指标平均值 (同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；
〔2〕假设认为注射该疫苗的人群的此项医学指标值X服从正态分布 ，用〔1〕中的平均值 近似代替 ，且 ，且首次注射疫苗的人该项医学指标值不低于14时，那么认定其体内已经产生抗体；现从该市随机抽取3人进行第一次疫苗注射，求能产生抗体的人数 的分布列与期望．
20.如图，斜三棱柱 底面是边长2的正三角形， 为 所在平面上一点且四边形 是菱形， ，四边形 为正方形，平面 平面 .

〔1〕证明： 平面 ；
〔2〕求平面 与平面 所成二面角的正弦值.
21.在平面直角坐标系 中，动点 到定点 的距离与到定直线 的距离的比等于常数2.
〔1〕求动点 的轨迹 的方程；
〔2〕假设直线 与曲线 的另一个交点为 ，以 为直径的圆交直线 于 两点，设劣弧 所对的圆心角为 ，求证： 为定值.
22.设函数 ，其中 为常数，且 .
〔1〕讨论函数 的单调性；
〔2〕设函数 ， 是函数 的两个极值点，证明： .

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】解：∵ ， ，且 ，
∴ ，
∴ 的取值范围为：
故答案为：B．

【分析】 可求出集合，然后根据， 即可得出m的取值范围.
2.【解析】【解答】解：因为复数 ，
所以复数 .
故答案为：A.

【分析】将   代入复数   ，利用复数的四那么运算，化简计算及得结果。
3.【解析】【解答】函数 ，可得 ，
所以在 处的切线的斜率为： 2，
切点坐标为： ，所以切线方程为： ，即 .
故答案为：C

【分析】 求出函数的导数，可得在x=0处切线的斜率，求得切点坐标，运用斜截式方程可得切线的方程．
4.【解析】【解答】某学校高一年级星期五随机安排6节课，
上午安排数学2节，语文和音乐各1节，下午安排英语､体育各1节，
根本领件总数 ，
其中2节数学恰好相邻包含的根本领件个数 ，
那么2节数学恰好相邻的概率为 .
故答案为：B.

【分析】计算出根本领件总数和2节数学恰好相邻的根本领件数，由古典概型的概率计算公式可得答案。
5.【解析】【解答】解：由题意可知， ，
，
又因为 ，
那么 ，
故 ，
令 ，得 ，又 为整数，
所以 ， 为整数，
即估算我国森林面积在第14次森林资源清查时首次超过3亿平方米.
故答案为：C.

【分析】先根据回归方程过样本中心点求得 ，   再解不等式即得结果。
6.【解析】【解答】解：已有刻度0，1，4，12，17，
利用已有刻度可以测量出1，4，12，17，3，8，5，11，16，13共10个长度，
在刻度4到12之间增加一个整数刻度n ， 尽量与以上刻度不重复，
假设加8，可多测量出7，9，
假设加9，可多测量出9，3，
假设加10，可多测量出10，9，2，7，6，
假设加11，可多测量出10，7，6，
故答案为：C．

【分析】根据长度与刻度的关系，结合选项一一判断即可。
7.【解析】【解答】设 ， ，
当 时， ，
假设 ，所以 ，
可得 ，所以 ，
即 ， ，解得 .
故答案为：D.

【分析】由得， 可得， 再由得可得答案。
8.【解析】【解答】解：当 时， ， ，
当 时， ， 单调递减，当 时， 单调递增，
作出 的图象如图：

令 ，那么函数 恰有5个零点，
即方程 恰有5个根，
即 有两个不等实根，且一个根属于 ，一个根属于 内.
令 ，
那么 ，解得 .
∴实数 的取值范围是 ．
故答案为：A

【分析】当 时， ， ，得出的单调性，令 ，那么函数 恰有5个零点，即 有两个不等实根，且一个根属于 ，一个根属于 内，令 ，列出方程组，解出即可得出实数 的取值范围。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】根据函数 的局部图象，
由 ，所以 ，A符合题意；
由 ，可得 ，
由点 在函数图像上，可得 ，可得 ，解得 ，
因为 ，可得 ，可得 ，
因为 ，B不符合题意；
由于 ，C符合题意；
将函数 向右平移 个单位后所得函数为 为偶函数，D符合题意.
故答案为：ACD.

【分析】 由函数的图象可求函数周期，由周期求出ω，由，结合， 可得φ，可得f〔x〕的解析式，再根据函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，三角函数的图象和性质，得出结论．
10.【解析】【解答】解：函数 ，在 上单调递增，∴ ，A不符合题意；
函数 ，在 上单调递减， ，函数 ，在 上单调递增， ，
，B符合题意；
函数 单调递减， ，C符合题意；
，D不符合题意，
故答案为：BC．

【分析】 利用指数函数和对数函数的性质，构造函数y=xx ， y=logx，可以直接解出．
11.【解析】【解答】解：对于A：命题 的否认 ，A符合题意；
对于B：二项式 的展开式的各项的系数和为 ，B不符合题意；
对于C：直线 平面 ，由于直线 与 的关系不确定，
故“ 〞是 〞的既不必要不充分条件，C不符合题意；
对于D：由于 关于 的对称点为 ，
故 ，满足 ，
故函数 的图象关于直线 对称，D符合题意.
故答案为：AD．

【分析】 直接利用命题的否认，二项式展开式的系数和二项式系数的关系，线面平行的判定和性质，对勾函数的性质的对称轴，判断A、B、C、D的结论.
12.【解析】【解答】解：对于A， 的面积是定值， ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，故 到平面 的距离为定值，
∴三棱锥 的体积是定值，即三棱锥 的体积不变，A符合题意；

对于B， ，
∴平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，B符合题意；

对于C，以 为原点，建立空间直角坐标系，

设正方体 的棱长为2，P在 上，故可设 ，
那么 ，
， ，
那么 不一定为0，
和 不垂直，C不符合题意；
对于D，设 ，

那么 ，
， ， ， ，
设平面平面 的法向量 ，
那么 ，取 ，得 ，
设平面 的法向量 ，
那么 ，取 ，得 ，
.
∴平面 和平面 垂直，D符合题意.
故答案为：ABD.

【分析】 根据空间中的线线、线面以及面面之间的平行与垂直关系，对每一个命题进行分析、判断，得出正确的结论．
三、填空题
13.【解析】【解答】解：数列 满足 ，
所以数列 为等差数列；
故公差 ，
所以 .
故答案为：4.

【分析】由得数列 为等差数列，求出d，再根据等差数列的通项公式即可求出。
14.【解析】【解答】根据题意，向量 = ， = ，那么 ，
假设 ，那么 ，
解可得： 或 ，
又由 ，那么 ，所以 ，
那么有 ，
故 ， ，
故答案为： .

【分析】 根据题意，求出，由向量垂直的判断方法可得，解可得k的值，即可得 的坐标，由向量夹角公式计算可得答案．
15.【解析】【解答】作 平面 交 的延长线与 ，设 ，

设球心为 ，球的半径 ，过 三点的小圆的圆心为 ，
那么 平面 ，所以 ，由 平面 ，得 平面 ，
且 ，又 ，所以 ，
由正弦定理得 ，
，
∴三棱锥 高 ，
∵ 是边长为1的正三角形，三棱锥 的体积为 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，那么球 的体积为 ，
故答案为： .

【分析】作 平面 交 的延长线与 ， 设球心为 ，球的半径 ，过 三点的小圆的圆心为 ，可得，且 ， 由正弦定理得 ，可得， 再根据三棱锥  的体积可求得。
16.【解析】【解答】解：如图， ，

要使 最小，那么 最大，即需 最小.
设 ，那么 ，
∴当 ，即 时， ， ，
此时 或 ， .
故答案为： .
【分析】把此题转化为PM的最小距离，再利用公式 ， 求得  的最小值 。
四、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕直接利用等比数列的等比中项和三角函数的关系式的变换求出结果；
〔2〕利用余弦定理和三角形面积公式的应用和二次函数的性质的应用求出结果.
18.【解析】【分析】〔1〕 由  得，当  时， ， 两式相减即可求出结果；
 
〔2〕 假设  得： ， 所以   ，……，  ，  ，上式相加即可证得  .
19.【解析】【分析】〔1〕根据平均值计算公式即可求解；
〔2〕根据正态分布求得依题意得服从二项分布，然后根据二项分布的知识求得所有可能取值及其对应的概率，从而可得分布列与期望。
20.【解析】【分析】 〔1〕根据直线与平面垂直的判定定理证明；
〔2〕用向量数量积计算二面角余弦值，进而求解．
21.【解析】【分析】 〔1〕设P〔x，y〕，由   ，代入相应条件化简运算即可；
〔2〕分两类讨论：①当PF⊥x轴时，易得圆心为〔2，0〕，半径为3，求得   ；②当PF不垂直x轴时，结合韦达定理、弦长公式，求得圆心和半径，再由垂径定理，可得证．
22.【解析】【分析】〔1〕对函数求导得 ， 令  ，开口向上，判别式  ， 分   ，   两种情况分析 函数  的单调性 ；
〔2〕 由〔1〕知函数  的两个极值点为  ，那么  ，那么   ，
  ， 记， 求导得出  的单调性，即可证得 。