2020-2021学年河南省南阳市高一（下）期中考试数学试卷北师大版

这是一份2020-2021学年河南省南阳市高一（下）期中考试数学试卷北师大版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性( )
A.与第几次抽样有关，第一次被抽中的可能性要大些
B.与第几次抽样无关，每次被抽中的可能性都相等
C.与第几次抽样有关，最后一次被抽中的可能性要大些
D.每个个体被抽中的可能性无法确定

2. 下列事件中，随机事件的个数为（ ）
①明天是阴天；②方程x2+2x+5=0有两个不相等的实数根；③明年鸭河水库储水量将达到80%；④一个三角形的大边对大角，小边对小角．
A.1B.2C.3D.4

3. 我市某完全中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）

A.93B.123C.137D.167

4. 一组数据的方差为S2S≥0，将该组数据都乘以2，所得到的一组新数据的标准差为（ ）
A.22SB.SC.2SD.2S

5. 某城市为了了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如下的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是( )
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

6. 某校有高一学生660人，高二学生440人，高三学生550人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高一学生中抽取12人，则n为（ ）
A.24B.30C.32D.36

7. 一个总体的60个个体的编号分别为01，02，03，⋯，60，现需从中抽取一个容量为6的样本，请从随机数表的倒数第8行（表中为随机数表的最后10行）第11列开始向右读取，直到取足样本，则抽取的最后一个个体的号码是（ ）

A.11B.13C.16D.54

8. 闰年（Leap Year）是为了弥补因人为历法规定造成的年度天数与地球实际公转周期的时间差而设立的，补上时间差的年份为闰年，闰年共有366天（1−12月分别为31天、29天、31天、30天、31天，30天、31天、31天、30天、31天、30天、31天）．如图是判断年份是否为闰年的算法框图，则下列年份不是闰年的年份是（ ）

A.2000年B.2020年C.2024年D.2100年

9. 同时掷3枚硬币，那么互为对立事件的是( )
A.至少有1枚正面和最多有1枚正面
B.最多有1枚正面和恰有2枚正面
C.至多有1枚正面和至少有2枚正面
D.至少有2枚正面和恰有1枚正面

10. 执行如图的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是( )

A.s≤34B.s≤56C.s≤1112D.s≤2425

11. 若以连续掷2次骰子分别得到的点数m，n作为P点的坐标，则点P落在圆x2+y2=25外的概率是（ ）
A.536B.712C.512D.13

12. 已知两个相关变量满足如下关系：
则两变量间的线性回归方程为( )
A.y=0.56x+997.4B.y=0.63x−231.2C.y=50.2x+501.4D.y=60.4x+400.7
二、填空题

某单位有男职工90人，女职工60人，现采用分层抽样抽取一个容量为30的样本，则该单位的职工小明被抽中的概率为________.

从0，1，2，3，4中任意选取两个不同的数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率为________.

已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13，19，20a,b∈N，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则ab=________.

某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组，在参加活动的职工中，青年人、中年人、老年人所占比例如图1所示，且游泳组的职工人数是登山组的3倍，在登山组中青年人、中年人、老年人所占比例如图2所示．为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本，则游泳组中中年人应抽取________人．

三、解答题

阅读下面的算法语句：
输入 x；
If x<0 Tℎen
y=x2+10x+27
Else
y=x2−6x+11
End If
输出 y．
(1)写出该算法语句对应的函数解析式；

(2)要使输出的y的值最小，求输入的x的值．

为了解A、B两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取了8个进行测试，得到每个轮胎行驶的最远里程数（单位：1000km），并制成如图所示的茎叶图．

(1)分别计算A、B两种轮胎行驶的最远里程数的中位数、平均数；

(2)分别计算A、B两种轮胎行驶的最远里程数的极差、方差，并判断哪种型号的轮胎性能更加稳定？

关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．
(1)若a是从1，2，3，4四个数中任取一个数，b是从1，2，3三个数中任取一个数，求上述方程有实根的概率；

(2)若a是从区间1,4任取一个数，b是从区间1,3任取一个数，求上述方程有实根的概率．

下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：

(1)将表中的数据制成散点图；

(2)试用最小二乘法求出线性回归方程（精确到0.001）；

(3)如果某天的气温是−3∘C，请你预测这天可能会卖出热茶多少杯？
参考公式：b=i=1nxiyi−nx¯y¯i=1nxi2−nx¯2，a=y¯−bx¯，
参考数据：i=16xi=70，i=16yi=230，i=16xi2=1286，i=16xiyi=1910．

手机支付是指允许移动用户使用其移动终端（通常是手机）对所消费的商品或服务进行支付的一种服务方式.某金融机构为了了解移动支付在大众中的熟知度，对15∼65岁的人群随机抽样调查，调查的问题是“你会使用移动支付吗？”其中，回答“会”的共有100个人，把这100人按照年龄分成5组，然后绘制成如图所示的频率分布表和频率分布直方图.

(1)求x；

(2)用分层抽样的方法在1，3，4组中抽取6人，求第1，3，4组分别抽取的人数：

(3)在(2)抽取的6人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一个组的概率.

从某企业生产的某种产品抽取100件，测量这些产品的一项指标值，由测量结果得频率分布表：

(1)在图上作出这些数据的频率分布直方图；

(2)估计这种产品质量指标值的中位数（精确到0.1）、平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省南阳市高一（下）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
简单随机抽样
【解析】
根据简单随机抽样中个体被抽的可能性的特点进行判断．
【解答】
解：在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等.
故选B．
2.
【答案】
B
【考点】
随机事件
【解析】
根据题意，依次分析4个事件是否是随机事件，即可得答案．
【解答】
解：①可能发生，也可能不发生，是随机事件；
②方程x2+2x+5=0，Δ=22−4×1×5=−16<0，无解，是不可能事件；
③可能发生，也可能不发生，是随机事件；
④一个三角形的大边对大角，小边对小角，是必然事件，
故共有2个随机事件.
故选B．
3.
【答案】
C
【考点】
扇形统计图
【解析】
利用百分比，可得该校女教师的人数．
【解答】
解：初中部女教师的人数为110×70%=77，
高中部女教师的人数为150×(1−60%)=60，
∴ 该校女教师的人数为77+60=137.
故选C．
4.
【答案】
D
【考点】
极差、方差与标准差
众数、中位数、平均数
【解析】
由平均数和方差的计算公式可得：数据的平均数将变为原来的2倍，方差变为原来的4倍．
【解答】
解：设原来数据为x1，x2，⋯，xn，
则平均数为x¯=1n(x1+x2+⋯+xn)，
方差为S2=1nx1−x¯2+x2−x¯2+⋯+xn−x¯2，
将该数据中每一个数据，都乘以2，
则新数据为2x1，2x2，⋯，2xn，
新数据的平均数为1n(2x1+2x2+⋯+2xn)=2x¯，
新数据的方差为1n2x1−2x¯2+2x2−2x¯2+⋯+2xn−2x¯2=4S2，
新数据的标准差为2S.
故选D．
5.
【答案】
A
【考点】
频率分布折线图、密度曲线
【解析】
根据已知中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案．
【解答】
解：由2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：
月接待游客量逐月有增有减，故A符合题意；
年接待游客量逐年增加，故B不符合题意；
各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C不符合题意；
各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，
波动性更小，变化比较平稳，故D不符合题意.
故选A.
6.
【答案】
B
【考点】
分层抽样方法
【解析】
根据分层抽样为随机抽样，可知12660=n660+440+550，即可求出n．
【解答】
解：依题意，得12660=n660+440+550，
所以n=30.
故选B．
7.
【答案】
C
【考点】
随机数的含义与应用
【解析】
根据随机数的定义进行求解即可．
【解答】
解：从随机数表的倒数第8行（表中为随机数表的最后10行）第11列开始向右读取，
抽取的样本的号码分别是36，40，32，38，54，16，
则抽取的最后一个个体的号码是16．
故选C.
8.
【答案】
D
【考点】
程序框图
【解析】
利用程序框图分析即可.
【解答】
解：设①4整除y，②100整除y，③400整除y，
2000年同时满足①②③，故2000年是闰年；
2020年满足①，不满足②③，故2020年是闰年；
2024年满足①，不满足②③，故2024年是闰年；
2100年满足①②，不满足③，故2100年不是闰年.
故选D.
9.
【答案】
C
【考点】
互斥事件与对立事件
【解析】
至少有一枚正面包括有一正两反，两正一反，三正三种情况，最多有一枚正面包括一正两反，三反，两种情况，像这样列举出选项中包含的事件情况，分析出事件之间的关系．
【解答】
解：A，至少有1枚正面包括有一正两反，两正一反，三正三种情况，最多有1枚正面包括一正两反，三反，两种情况，不是对立事件，故A不正确；
B，最多有1枚正面包括一正两反，三反，与恰有2枚正面是互斥事件，不是对立事件，故B不正确；
C，至多有1枚正面包括一正两反，三反，至少有2枚正面包括两正和三正，是对立事件，故C正确；
D，至少有2枚正面包括两正一反和三正，与恰有1枚正面是互斥事件，不是对立事件，故D不正确.
故选C．
10.
【答案】
C
【考点】
循环结构的应用
程序框图
【解析】
模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当S>1112时，退出循环，输出k的值为8，故判断框图可填入的条件是S≤1112．
【解答】
解：模拟执行程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，
因此当k=6时，s=12+14+16=1112，
当k=8时，s=12+14+16+18=2524，
若输出k的值为8，即s=1112时，程序继续循环，
s=2524时，程序不再循环，输出k，
因此可填：s≤1112．
故选C．
11.
【答案】
B
【考点】
点与圆的位置关系
古典概型及其概率计算公式
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的坐标，共有6×6种结果，而满足条件的事件是点P落在圆x2+y2=25外，列举出落在圆外的情况共有21种结果，求比值得到结果．
【解答】
解：以连续掷2次骰子分别得到的点数m，n作为点P的坐标，共有6×6=36种结果，
点P落在圆x2+y2=25外，基本事件为：1,5，1,6，2,5，2,6，3,5，3,6，4,4，4,5，4,6，5,1，5,2，5,3，5,4，5,5，5,6，6,1，6,2，6,3，6,4，6,5，6,6，共有21种结果，
所以所求概率P=2136=712.
故选B.
12.
【答案】
A
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
线性回归直线y=bx+a一定过点x¯,y¯进行验证即可.
【解答】
解：由题意可得x¯=1510+15+20+25+30=20，
y¯=15 1003+1005+1010+1011+1014=1008.6，
将x¯=20，y¯=1008.6，分别代入A，B，C，D四个方程，只有A适合.
故选A．
二、填空题
【答案】
15
【考点】
分层抽样方法
概率的应用
【解析】
利用随机抽样的特点即可分析求解.
【解答】
解：分层抽样属于随机抽样，故每个个体被抽到的可能性相等，
即每个人被抽到的概率都是3090+60=15，
即小明被抽到的概率是15.
故答案为：15.
【答案】
516
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
首先求出从0，1，2，3，4中选取2个不同数字组成的两位数的个数，然后求出满足能被3整除的两位数，最后利用古典概率公式求出结果，
【解答】
解：从0，1，2，3，4中任意选取两个不同的数字组成的两位数有
10，12，13，14，20，21，23，24，
30，31，32，34，40，41，42，43共16个．
其中能被3整除的两位数有12，21，24，30，42共5个．
所以所求事件的概率P=516.
故答案为：516.
【答案】
110
【考点】
极差、方差与标准差
众数、中位数、平均数
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
利用中位数与方差公式即可解得．
【解答】
解：因为中位数为10.5，所以a+b=2×10.5=21，
平均数x¯=110(2+3+3+7+21+12+13+19+20)=10，
要使总体的方差最小，则a−102+b−102取最小值．
a−102+b−102
=a−102+21−a−102
=2a2−42a+221，
∵ a,b∈N，
∴ 当a=10或11时，a−102+b−102取最小值，
当a=10时，b=11，
当a=11时，b=10，
∴ ab=110．
故答案为：110．
【答案】
75
【考点】
分层抽样方法
扇形统计图
【解析】
设总人数为x，则游泳组有34x人，登山组有14x人，在表示出各层人数，利用分层抽样抽取比例求解.
【解答】
解：依题意，此次活动中，老年人占10%，中年人占47.5% ，青年人占42.5%，
游泳组的职工人数是登山组的3倍，
登山组中老年人占10%，中年人占40%，青年人占50%，
设总人数为x，则游泳组有34x人，登山组有14x人，
总的老年人有0.1x人，中年人有0.475x，青年人有0.425x，
登山组老年人有0.025x人，中年人有0.10x人，青年人有0.125x人，
∴ 游泳组老年人有(0.1x−0.025x)人，中年人有(0.475x−0.10x)人，青年人有(0.425x−0.125x)人，
现分层抽样，抽取一个容量为200的样本，
设游泳组中中年人应抽取y人，
则200x=y0.475−0.10x，
解得y=75.
故答案为：75.
三、解答题
【答案】
解：(1) y=x2+10x+27，x<0x2−6x+11，x≥0.
(2)当x<0时，y=x2+10x+27=x+52+2，
∴x=−5时，ymin=2．
当x≥0时，y=x2−6x+11=x−32+2，
∴x=3时，ymin=2．
综上，当输入x=−5或3时，输出的y的值最小．
【考点】
伪代码
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
无
无
【解答】
解：(1) y=x2+10x+27，x<0x2−6x+11，x≥0.
(2)当x<0时，y=x2+10x+27=x+52+2，
∴x=−5时，ymin=2．
当x≥0时，y=x2−6x+11=x−32+2，
∴x=3时，ymin=2．
综上，当输入x=−5或3时，输出的y的值最小．
【答案】
解：(1)轮胎A的中位数为98+1002=99，
轮胎A的平均数xA¯=18(6+6+7+8+8+3+2+
80+90×3+100×3+110)=100.
轮胎B的中位数为97+1012=99，
轮胎B的平均数为xB¯=18(3+4+6+7+1+5+6+
8+90×4+100×4)=100 .
(2)轮胎A的极差为112−86=26，
轮胎B的极差为108−93=15，
轮胎A的方差
SA2=18[86−1002+96−1002+⋯+112−1002]=55.25，
轮胎B的方差SB2=18[93−1002+94−1002+⋯+108−1002]=29.5 ，
因为xA¯=xB¯，SA2>SB2，
所以轮胎B的性能更加稳定．
【考点】
众数、中位数、平均数
茎叶图
极差、方差与标准差
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)轮胎A的中位数为98+1002=99，
轮胎A的平均数xA¯=18(6+6+7+8+8+3+2+
80+90×3+100×3+110)=100.
轮胎B的中位数为97+1012=99，
轮胎B的平均数为xB¯=18(3+4+6+7+1+5+6+
8+90×4+100×4)=100 .
(2)轮胎A的极差为112−86=26，
轮胎B的极差为108−93=15，
轮胎A的方差
SA2=18[86−1002+96−1002+⋯+112−1002]=55.25，
轮胎B的方差SB2=18[93−1002+94−1002+⋯+108−1002]=29.5 ，
因为xA¯=xB¯，SA2>SB2，
所以轮胎B的性能更加稳定．
【答案】
解：(1)设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”，
当a>0，b>0时，Δ=(2a)2−4b2=4(a+b)(a−b)≥0，
x2+2ax+b2=0有实根等价于a≥b，
基本事件共有12个：1,1，1,2，1,3，2,1，2,2，2,3，3,1，3,2，3,3，4,1，4,2，4,3．
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
事件A中包含9个基本事件，
∴ 事件A发生的概率PA=912=34．
(2)实验的全部结果所构成的区域为a,b|1≤a≤4,1≤b≤3，
面积为6，
构成事件A的区域为a,b|1≤a≤4,1≤b≤3,a≥b，
面积为1+3×22=4，
∴ 事件A发生的概率PA=46=23．
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”，
当a>0，b>0时，Δ=(2a)2−4b2=4(a+b)(a−b)≥0，
x2+2ax+b2=0有实根等价于a≥b，
基本事件共有12个：1,1，1,2，1,3，2,1，2,2，2,3，3,1，3,2，3,3，4,1，4,2，4,3．
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
事件A中包含9个基本事件，
∴ 事件A发生的概率PA=912=34．
(2)实验的全部结果所构成的区域为a,b|1≤a≤4,1≤b≤3，
面积为6，
构成事件A的区域为a,b|1≤a≤4,1≤b≤3,a≥b，
面积为1+3×22=4，
∴ 事件A发生的概率PA=46=23．
【答案】
解：(1)散点图如图.
(2)x¯=706=353，y¯=2306=1153，
∴ b=i=1nxiyi−nxy¯i=1nxi2−nx¯2=1910−6×353×11531286−6×353×353≈−1.6477≈−1.648，
a=1153−b×353≈57.557，
∴ 线性回归方程为：y=−1.648x+57.557.
(3)当气温为−3∘C时，卖出热茶的杯数估计为：
−1.648×−3+57.557=62.501≈63（杯）．
【考点】
散点图
求解线性回归方程
【解析】
（1）散点图如图
（2）x¯=706=353,y¯=2306=1153，
∴ b=i=1nxiyi−nxy¯i=1nxi2−nx¯2=1910−6×353×11531286−6×353×353≈−1.648，
a=1153−b×353≈57.557 . 所以线性回归方程为： y=−1.648x+57.557 .
（3）当气温为−3∘C时，卖出热茶的杯数估计为：
−1.648×−3+57.557=62.501≈63 （杯）．
【解答】
解：(1)散点图如图.
(2)x¯=706=353，y¯=2306=1153，
∴ b=i=1nxiyi−nxy¯i=1nxi2−nx¯2=1910−6×353×11531286−6×353×353≈−1.6477≈−1.648，
a=1153−b×353≈57.557，
∴ 线性回归方程为：y=−1.648x+57.557.
(3)当气温为−3∘C时，卖出热茶的杯数估计为：
−1.648×−3+57.557=62.501≈63（杯）．
【答案】
解：(1)由题意可知，x=30100×110=0.030.
(2)第1，3，4组共有60人，所以抽取的比例为110，
所以从第1组抽取的人数为20×110=2，
从第3组抽取的人数为30×110=3，
从第4组抽取的人数为10×110=1.
(3)设第1组抽取的2人分别为A1，A2，第3组抽取的3人分别为B1，B2，B3，第4组抽取的1人为C，
则从这6人中随机抽取2人有：(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A1,C)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3)，(A2,C)，B1,B2，B1,B3，B1,C，B2,B3，B2,C，B3,C共有15个基本事件．
其中符合“抽取的2人来自同一个组”的基本事件有(A1,A2)，B1,B2，B1,B3，B2,B3，共4个基本事件，
所以所抽取的2人来自同一个组的概率P=415.
【考点】
频率分布直方图
分层抽样方法
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】

（2）根据分层抽样的规律按照比例抽取．
（3）设第1组抽取的2人为A,A2，第3组抽取的3人为B1B2B3，第4组抽取的1人为C，排列出所有可能，再计算满足条件的个数，相除得到答案
【解答】
解：(1)由题意可知，x=30100×110=0.030.
(2)第1，3，4组共有60人，所以抽取的比例为110，
所以从第1组抽取的人数为20×110=2，
从第3组抽取的人数为30×110=3，
从第4组抽取的人数为10×110=1.
(3)设第1组抽取的2人分别为A1，A2，第3组抽取的3人分别为B1，B2，B3，第4组抽取的1人为C，
则从这6人中随机抽取2人有：(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A1,C)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3)，(A2,C)，B1,B2，B1,B3，B1,C，B2,B3，B2,C，B3,C共有15个基本事件．
其中符合“抽取的2人来自同一个组”的基本事件有(A1,A2)，B1,B2，B1,B3，B2,B3，共4个基本事件，
所以所抽取的2人来自同一个组的概率P=415.
【答案】
解：(1)如图.
(2)质量指标值的样本中位数为：95+×10≈99.7，
质量指标值的样本平均数为
x¯=80×0.06+90×0.26+100×0.38+
110×0.22+120×0.08=100．
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68<0.8，
所以不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．
【考点】
频率分布直方图
众数、中位数、平均数
【解析】
无
无
无
【解答】
解：(1)如图.
(2)质量指标值的样本中位数为：95+×10≈99.7，
质量指标值的样本平均数为
x¯=80×0.06+90×0.26+100×0.38+
110×0.22+120×0.08=100．
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68<0.8，
所以不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．x
10
15
20
25
30
y
1003
1005
1010
1011
1014
气温x/∘C
26
18
13
10
4
−1
杯数y/杯
20
24
34
38
50
64
组数
第1组
第2组
第3组
第4组
5组
分组
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65]
频数
20
36
30
10
4
质量指标值分组
[75,85)
[85,95)
[95,105)
[105,115)
115,125
频数
6
26
38
22
8