2020-2021学年河南省洛阳市高一（下）3月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河南省洛阳市高一（下）3月月考数学试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 集合x∈N∗|x−2<3的另一种表示形式是( )
A.0,1,2,3,4B.1,2,3,4C.0,1,2,3,4,5D.1,2,3,4,5

2. 某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是( )

A.三棱锥B.四棱锥C.四棱台D.三棱台

3. 已知幂函数fx的图象过点(2,22)，则f8=( )
A.14 B.24 C.12D.2

4. 过点A3,1且倾斜角为120∘的直线方程为( )
A.y=−3x−4B.y=−3x+4C.y=−33x−2D.y=−33x+2

5. 已知原点O(0, 0)，则点O到直线x+y+2=0的距离等于( )
A.1B.2C.2D.22

6. 设函数fx=x−1, x≥1,1, x<1, 则fff2=( )
A.0B.1C.2D.2

7. 计算lg849lg27的值是（ ）
A.2B.32C.1D.23

8. 函数y=ax在[0, 1]上的最大值与最小值的和为3，则a=( )
A.12B.2C.4D.14

9. 已知a=lg20.2,b=20.2,c=0.20.3，则( )
A.a
10. 函数fx=2x−3+lg3x的零点所在区间是( )
A.0,1B.1,2C.2,3D.3,+∞

11. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积与表面积之比为( )
A.2π:(1+2π)B.π:(1+π)C.2π:(1+π)D.π:(1+2π)

12. 过原点且倾斜角为π3的直线被圆x2+y2−4y−1=0所截得的线段长为( )
A.1B.2C.3D.4
二、填空题

圆心为(1, 0)，半径为2的圆的标准方程是________．

函数fx=1x+1+lnx的定义域是________.

已知角α的终边过点(3, −4)，则sinα=________．

在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱AD，B1C1的中点，则异面直线A1E与DF所成角的正弦值为________.
三、解答题

已知集合A={x|x≤5}，B={x|3(1)A∩B；

(2)A∪(∁RB)．

已知函数fx=2xx−1 ，x∈2,9.
(1)判断函数fx的单调性并证明；

(2)求函数fx的最大值和最小值．

如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC // AD，点E在线段AD上，且CE // AB．

(1)求证：CE⊥平面PAD；

(2)若PA=AB=1，AD=3，CD=2，求四棱锥P−ABCD的体积．

已知直线l:x+3y−2=0．
(1)求与l垂直，且过点(1, 1)的直线方程；

(2)求圆心为(4, 1)，且与直线l相切的圆的方程．

如图，在四棱锥E−ABCD中，平面EAB⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，EA⊥EB，点M，N分别是AE，CD的中点.求证：

(1)直线MN//平面EBC;

(2)直线EA⊥平面EBC.

已知圆C经过点A2,1和直线x−2y=0相切，且圆心在直线3x−y=0上．
(1)求圆C的方程；

(2)已知直线l经过点B0,−1，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省洛阳市高一（下）3月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
集合的含义与表示
【解析】
直接利用集合的表示方法，写出结果即可．
【解答】
解：x∈N∗∣x−2<3=x∈N∗∣x<5，
列举法为：{1, 2,3, 4}.
故选B.
2.
【答案】
A
【考点】
简单空间图形的三视图
【解析】
由正视图、侧视图可确定几何体为椎体；根据俯视图为三角形可知椎体为三棱锥．
【解答】
解：∵ 正视图和侧视图均为三角形，
∴ 几何体为椎体，
∵ 俯视图为三角形，
∴ 该几何体为三棱锥.
故选A.
3.
【答案】
B
【考点】
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
函数的求值
【解析】
（1）先求出幂函数的表达式，代入计算即可.
【解答】
解：设幂函数解析式为f(x)=xa，
∵ 图象经过点(2,22)，
∴ 22=2a，
解得a=−12，
即f(x)=x−12，
则f(8)=8−12=24.
故选B.
4.
【答案】
B
【考点】
直线的点斜式方程
【解析】
求得k=tanα，由点斜式可求得直线的方程．
【解答】
解：∵ 直线l的斜率k=tan120∘=−3，
又直线l经过点(3, 1)，
∴ 由点斜式得：y−1=−3(x−3)，
即y=−3x+4.
故选B．
5.
【答案】
C
【考点】
点到直线的距离公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由点到直线的距离公式得：点O到直线x+y+2=0的距离等于
|0+0+2|12+12=2.
故选C.
6.
【答案】
B
【考点】
分段函数的应用
函数的求值
【解析】
利用分段函数在不同区间上的解析式不同即可得出.
【解答】
解：∵ f2=2−1=1，
∴ ff2=f1=1−1=0，
∴ fff2=f0=1.
故选B.
7.
【答案】
D
【考点】
对数的运算性质
【解析】
通过换底公式得到原式=lg249lg28⋅lg27，从而得到答案．
【解答】
解：lg849lg27=lg2493⋅lg27=23.
故选D．
8.
【答案】
B
【考点】
指数函数单调性的应用
【解析】
由y=ax的单调性，可得其在x=0和1时，取得最值，即a0+a1=3，又有a0=1，可得a1=2，解即可得到答案．
【解答】
解：根据题意，由y=ax的单调性，
可知其在[0, 1]上是单调函数，即当x=0和1时，取得最值，
即a0+a1=3，
再根据其图象，可得a0=1，
则a1=2，
即a=2.
故选B．
9.
【答案】
B
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由对数函数的图象可知，
a=lg20.2由指数函数的图象可知，
b=20.2>20=1，
0所以a故选B.
10.
【答案】
B
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
连续函数f(x)=2x−3+lg3x在(0, +∞)上单调递增且f(1)<0，f(2)>0，根据函数的零点的判定定理可求．
【解答】
解：∵ 连续函数f(x)=2x−3+lg3x在(0, +∞)上单调递增，
f(2)=4−3+lg32>0，f(1)=2−3+0<0，
∴ f(2)⋅f(1)<0，
∴ f(x)=2x−3+lg3x的零点所在的区间为(1, 2).
故选B.
11.
【答案】
A
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 圆柱的侧面展开图是一个正方形，
∴ 设正方形的边长为a，可得圆柱的母线长为a，底面周长也等于a.
底面半径r满足：2πr=a，得r=a2π，
因此，该圆柱的底面圆面积为S底=πr2=a24π，
圆柱的侧面积与表面积的比为a2a2+2×a24π=2π1+2π.
故选A.
12.
【答案】
D
【考点】
直线的点斜式方程
直线与圆相交的性质
点到直线的距离公式
【解析】
求出直线，确定圆的圆心，半径，再结合垂径定理，得出答案.
【解答】
解：过原点且倾斜角为π3的直线的方程为 y=3x，即3x−y=0，
圆 x2+y2−4y−1=0的标准方程为 x2+y−22=5，圆心为0,2，半径为5，
则圆心0,2到直线3x−y=0的距离为|3×0−2|32+−12=1，
则直线被圆所截得的弦长为2×5−1=4.
故选D.
二、填空题
【答案】
(x−1)2+y2=4
【考点】
圆的标准方程
【解析】
已知圆心与半径，可以直接写出圆的标准方程．
【解答】
解：∵ 圆的圆心在点(1, 0)，半径为2，
∴ 圆的标准方程为：(x−1)2+y2=4．
故答案为：(x−1)2+y2=4．
【答案】
(0,+∞)
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
根据函数成立的条件建立不等式组，解不等式即可.
【解答】
解：由题意得，
x+1≠0，x>0，解得x≠−1，x>0，
∴ 函数fx=1x+1+lnx的定义域是(0,+∞).
故答案为：(0,+∞).
【答案】
−45
【考点】
任意角的三角函数
【解析】
由于角α的终边过点(3, −4)，可得x=3，y=−4，r=5，由sinα=yr 求得结果．
【解答】
解：∵ 角α的终边过点(3, −4)，
∴ x=3，y=−4，r=5，
∴ sinα=yr=−45.
故答案为：−45．
【答案】
23
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
取A1D1的中点P，连接DP,PF,找出所成角，再求出正弦值.
【解答】
解：取A1D1的中点P，连接DP，PF，
∵E为AD的中点，
∴DP//A1E，
∴∠PDF或其补角即为异面直线A1E与DF所成角，
设正方体的棱长为2，
在△PDF中，PF=2，PD=5，DF=3，
∴PF2+PD2=DF2，即PF⊥PD，
∴sin∠PDF=PFDF=23，
∴异面直线A1E与DF所成角的正弦值为23.
故答案为：23.
三、解答题
【答案】
解：(1)A∩B={x|x≤5}∩{x|3(2)∁RB={x|x≤3或x>7}，
所以A∪(∁RB)={x|x≤5}∪{x|x≤3或x>7}={x|x≤5或x>7}．
【考点】
交集及其运算
交、并、补集的混合运算
【解析】
（1）根据交集的定义，A∩B表示既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合，根据集合A={x|x≤5}，B={x|3求出A与B的交集即可；
（2）先根据全集R和集合B求出集合B的补集，然后求出A补集与A的并集即可．
【解答】
解：(1)A∩B={x|x≤5}∩{x|3(2)∁RB={x|x≤3或x>7}，
所以A∪(∁RB)={x|x≤5}∪{x|x≤3或x>7}={x|x≤5或x>7}．
【答案】
解：(1)根据题意，函数fx=2xx−1在区间2,9上为减函数，
证明：fx=2xx−1=2+2x−1，
设2≤x1fx1−fx2=2+2x1−1−2+2x2−1
=2×x2−x1x1−1x2−1，
又由2≤x1则x1−1>0，x2−1>0，x2−x1>0，
则fx1−fx2>0，
则函数fx在2,9上为减函数 .
(2)由(1)的结论，函数fx在2,9上为减函数，则fx在2,9上最大值为f2=4，最小值为f9=94 .
【考点】
函数单调性的判断与证明
函数单调性的性质
函数的最值及其几何意义
【解析】
（1）根据题意，函数fx=2xx−1在区间2,9上为减函数，
证明：fx=2xx−1=2+2x−1，
设2≤x1又由2≤x10，x2−1>0，x2−x1>0，
则fx1−fx2>0，
则函数fx在2,9上为减函数 .
（2）有（1）的结论，函数fx在2,9上为减函数，则fx在2,9上最大值为f2=4，最小值为f9=94 .
【解答】
解：(1)根据题意，函数fx=2xx−1在区间2,9上为减函数，
证明：fx=2xx−1=2+2x−1，
设2≤x1fx1−fx2=2+2x1−1−2+2x2−1
=2×x2−x1x1−1x2−1，
又由2≤x1则x1−1>0，x2−1>0，x2−x1>0，
则fx1−fx2>0，
则函数fx在2,9上为减函数 .
(2)由(1)的结论，函数fx在2,9上为减函数，则fx在2,9上最大值为f2=4，最小值为f9=94 .
【答案】
(1)证明：∵ PA⊥底面ABCD，CE⊂平面ABCD，
∴ PA⊥CE.
∵ AB⊥AD，CE // AB，
∴ CE⊥AD.
又PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴ CE⊥平面PAD．
(2)解：∵ AB⊥AD，BC // AD，CE // AB，
∴ 四边形ABCE是矩形，∴ CE=AB=1，CE⊥DE，
又CD=2，∴ DE=1，
∴ AE=AD−DE=2，即BC=2，
∴ VP−ABCD=13×12×(2+3)×1×1=56．
【考点】
直线与平面垂直的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
（1）由CE⊥PA，CE⊥AD即可得出CE⊥平面PAD；
（2）计算DE，得出AD，代入棱锥的体积公式计算即可．
【解答】
(1)证明：∵ PA⊥底面ABCD，CE⊂平面ABCD，
∴ PA⊥CE.
∵ AB⊥AD，CE // AB，
∴ CE⊥AD.
又PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴ CE⊥平面PAD．
(2)解：∵ AB⊥AD，BC // AD，CE // AB，
∴ 四边形ABCE是矩形，∴ CE=AB=1，CE⊥DE，
又CD=2，∴ DE=1，
∴ AE=AD−DE=2，即BC=2，
∴ VP−ABCD=13×12×(2+3)×1×1=56．
【答案】
解：(1)根据题意，设要求直线的方程为3x−y−m=0，
又由要求直线经过点1,1，
则有3−1−m=0，解可得m=2，
即要求直线的方程为3x−y−2=0．
(2)根据题意，设要求圆的半径为r，
若直线l与圆相切，则有r=d=|4+3−2|1+9=102，
则要求圆的方程为x−42+y−12=52．
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
点到直线的距离公式
圆的标准方程
【解析】
（1）根据两直线垂直的性质，设出所求直线的方程，将点1,1坐标代入，由此求得所求直线方程．
（2）利用圆心到直线的距离求得圆的半径，由此求得圆的方程．
【解答】
解：(1)根据题意，设要求直线的方程为3x−y−m=0，
又由要求直线经过点1,1，
则有3−1−m=0，解可得m=2，
即要求直线的方程为3x−y−2=0．
(2)根据题意，设要求圆的半径为r，
若直线l与圆相切，则有r=d=|4+3−2|1+9=102，
则要求圆的方程为x−42+y−12=52．
【答案】
证明：(1)取BE中点F，连结CF，MF，
又M是AE的中点，
所以MF=12AB，
又N是矩形ABCD边CD的中点，
所以NC=12AB，
所以MF平行且等于NC，
所以四边形MNCF是平行四边形，
所以MN//CF，
又MN⊄平面EBC，CF⊂平面EBC，
所以MN//平面EBC．
(2)在矩形ABCD中，BC⊥AB，
又平面EAB⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面EAB=AB，BC⊂平面ABCD，
所以BC⊥平面EAB，又EA⊂平面EAB，
所以BC⊥EA，
又EA⊥EB，BC∩EB=B，EB，BC⊂平面EBC，
所以EA⊥平面EBC．
【考点】
直线与平面平行的判定
直线与平面垂直的判定
【解析】
取BE中点F，连结CF，MF，证明四边形MNCF是平行四边形，所以MN//CF，即可证明直线MN//平面EBC．
证明BC⊥平面EAB，得到BC⊥EA，又EA⊥EB，BC∩EB=B，EB，BC⊂平面EBC，即可证明EA⊥平面EBC．
【解答】
证明：(1)取BE中点F，连结CF，MF，
又M是AE的中点，
所以MF=12AB，
又N是矩形ABCD边CD的中点，
所以NC=12AB，
所以MF平行且等于NC，
所以四边形MNCF是平行四边形，
所以MN//CF，
又MN⊄平面EBC，CF⊂平面EBC，
所以MN//平面EBC．
(2)在矩形ABCD中，BC⊥AB，
又平面EAB⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面EAB=AB，BC⊂平面ABCD，
所以BC⊥平面EAB，又EA⊂平面EAB，
所以BC⊥EA，
又EA⊥EB，BC∩EB=B，EB，BC⊂平面EBC，
所以EA⊥平面EBC．
【答案】
解：(1)由题可设圆心(a,3a)，半径为r(r>0)，
则圆的方程为：(x−a)2+(y−3a)2=r2，
所以(2−a)2+(1−3a)2=r2，|a−6a|5=r,
解得a=1，r=5,
所以圆C的方程为(x−1)2+(y−3)2=5.
(2)设直线方程为：kx−y−1=0，
则由半弦长公式可得22=5−(|k−4|1+k2)2，
解得k=1或k=−237，
此时直线方程：y=x−1或y=−237x−1，
故所求直线方程为y=x−1或y=−237x−1.
【考点】
圆的标准方程
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
【解析】


【解答】
解：(1)由题可设圆心(a,3a)，半径为r(r>0)，
则圆的方程为：(x−a)2+(y−3a)2=r2，
所以(2−a)2+(1−3a)2=r2，|a−6a|5=r,
解得a=1，r=5,
所以圆C的方程为(x−1)2+(y−3)2=5.
(2)设直线方程为：kx−y−1=0，
则由半弦长公式可得22=5−(|k−4|1+k2)2，
解得k=1或k=−237，
此时直线方程：y=x−1或y=−237x−1，
故所求直线方程为y=x−1或y=−237x−1.