广东省梅州市五华县2020-2021学年八年级下学期期中数学试题(word版含答案)

这是一份广东省梅州市五华县2020-2021学年八年级下学期期中数学试题(word版含答案)，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

广东省梅州市五华县2020-2021学年八年级下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．若，则下列式子中错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，，的坐标为，，若将线段平移至，则的值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知等腰三角形的两边长分别为、，则该等三角形的周长是（ ）
A． B． C． D．或
5．如图，数轴上所表示关于x的不等式组的解集是（　 　）

A． B． C． D．
6．下列命题是假命题的是（ ）
A．等边对等角
B．有一个角为的等腰三角形为等边三角形
C．一个外角等于相邻的两个内角之和
D．到三角形的三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点
7．如图，在中，，点是上的点，且垂直平分，垂足是．如果，则等于（ ）

A． B． C． D．
8．如图，函数y=kx与y=ax+b的图象交于点P（-4，-2）．则不等式kx＜ax+b的解集是（　　）

A．x＜-2 B．x＞-2 C．x＜-4 D．x＞-4
9．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧交于、于，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于，下列四个结论：①是的平分线；②；③点在的垂直平分线上；④．其中正确的个数是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
10．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为1cm2则△PBC的面积为( ).

A．0.4 cm2 B．0.5 cm2
C．0.6 cm2 D．不能确定

二、填空题
11．不等式的解集为________．
12．若不等式组的解集是，则_____．
13．如图，在，，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，则的度数是______．

14．如图，点是的平分线上一点，于点．已知，则点到的距离是______．

15．在中，，，的度数之比是，，则______．
16．如图，在三角形中，，将沿方向平移的长度得到．已知，，，三角形平移的距离为6，则图中阴影部分的面积是______．


三、解答题
17．如图，点A的坐标为（1，0），点B在直线y=-x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为____.

18．解不等式组：．
19．如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，，求证：.

20．如图，已知点、、，把向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得到．

（1）直接写出，，三个对应点，，的坐标；
（2）求的面积．
21．如图，在中，

(1)用尺规作图，在边上找一点，使 (保留作图痕迹，不要求写作法和证明)；
(2)在(1)的条件下若，求的长．
22．如图，是等边三角形，点在边上，将绕点旋转得到，连接．

（1）求证：．
（2）若，，求的周长．
23．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买《艾青诗选》和《格列佛游记》两种书共50本；已知购买2本《艾青诗选》和1本《格列佛游记》需100元；购买6本《艾青诗选》与购买7本《格列佛游记》的价格相同，
（1）求这两种书的单价；
（2）若购买《艾青诗选》的数量不少于所购买《格列佛游记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元，请问最多能买多少本《艾青诗选》？
24．已知方程的解满足为非正数，为负数．
（1）求的取值范围；
（2）化简：；
（3）在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为．
25．如图1，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°
（1）观察猜想
将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图②的位置，使得点O与点N重合，CD与MN相交于点E，则∠CEN＝　 度．
（2）操作探究
将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图3，且OD恰好平分∠MON，CD与NM相交于点E，求∠CEN的度数；
（3）深化拓展
将图1中的三角尺OCD绕点O按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若边CD恰好与边MN平行，请你求出此时旋转的角度．



参考答案
1．D
【分析】
根据不等式的性质求解即可．
【详解】
解：A、两边都减4，不等号的方向不变，故不符合题意；
B、两边都除以4，不等号的方向不变，故不符合题意；
C、两边都加4，不等号的方向不变，故不符合题意；
D、两边都乘以-4，不等号的方向改变，故符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质是解题关键．
2．B
【详解】
根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此，只有选项B符合条件．故选B．
3．B
【分析】
先利用点A平移到A1得到平移的规律，再按此规律平移B点得到B1，从而得到B1点的坐标，于是可求出a、b的值，然后计算a+b即可．
【详解】
解：∵点A（2，0）先向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到点A1（3，1），
∴线段AB先向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到线段A1B1，
∴点B（0，1）先向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到点B1，则B1（1，2）
∴a＝1，b＝2，
∴a+b＝1+2＝3．
故选：B．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化﹣平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
4．C
【分析】
根据已知条件和三角形三边关系可知；等腰三角形的腰长不可能为3cm，只能为6cm，然后即可求得等腰三角形的周长．
【详解】
解：①6cm为腰，3cm为底，此时周长为6+6+3＝15cm；
②6cm为底，3cm为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去．
故其周长是15cm．
故答案选：C．
【点睛】
此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
5．A
【详解】
试题解析：由数轴可得：关于x的不等式组的解集是：x≥2．
故选A．

6．C
【分析】
根据等腰三角形的性质、等边三角形的判定、三角形外角的性质、角平分线的判定定理即可对以上命题的真假作出判断．
【详解】
A、根据等腰三角形的性质知，此命题是真命题；
B、根据等边三角形的判定知，此命题是真命题；
C、三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和，此命题是假命题；
D、根据角的内部点到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可知，此命题是真命题；
故选：C．
【点睛】
本题考查了命题的真假，判断一个命题是真命题，则要通过证明，判断一个命题是假命题，只要举出反例即可．
7．B
【分析】
求出，推出，求出，根据含角的直角三角形性质求出即可．
【详解】
解：∵垂直平分
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵，，
∴
∴在中，．
故选：B
【点睛】
本题考查了垂直平分线性质、角平分线性质、等腰三角形性质、含角的直角三角形性质的应用，关键是求出和得出的长．
8．C
【分析】
以交点为分界，结合图象写出不等式kx＜ax+b的解集即可．
【详解】
函数y=kx和y=ax+b的图象相交于点P（-4，-2）．
由图可知，不等式kx＜ax+b的解集为x＜-4．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．关键是求出A点坐标以及利用数形结合的思想．
9．A
【分析】
利用基本作图直接对①进行判断；利用角平分线的定义计算出∠CAD＝∠BAD＝30°，则利用互余可计算出∠ADC＝60°，从而可对②进行判断；利用∠DAB＝∠B＝30°得到DA＝DB，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断；利用直角三角形的性质对④进行判断．
【详解】
解：由作法得AD平分∠BAC，所以①正确，
∴∠BAD＝∠CAD，
而∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∴∠CAD＝∠BAD＝30°，
∴∠ADC＝90°﹣30°＝60°；所以②正确，
∵∠DAB＝∠B＝30°，
∴DA＝DB，
∴点D在AB的中垂线上，所以③正确，
∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，
∴∠CAD＝30°
∴
∴所以④正确，
故答案选：A
【点睛】
本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．
10．B
【分析】
延长AP交BC于E，根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP=PE，得出S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，推出S△PBC=S△ABC，代入求出即可．
【详解】
如图，延长AP交BC于E，

∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠EPB=90°，BP=BP,
∴△ABP≌△EBP(ASA)，
∴AP=PE，
∴S△ABP=S△EBP,S△ACP=S△ECP，
∴S△PBC=S△ABC=×1=0.5(cm2)，
故选B.
【点睛】
此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.
11．
【分析】
不等式左右两边同时除以2，即可求出不等式的解集．
【详解】
不等式，
左右两边除以2得：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的解法，灵活运用不等式的基本性质是解不等式的关键．
12．
【分析】
先求出两个不等式的解集，再结合不等式组的解集列出关于、的方程，求出、的值，继而代入计算即可．
【详解】
解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为，
，，
解得，，
，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据及实数的运算．
13．
【分析】
易知OAB和OA1B1为等腰直角三角形，得到，结合旋转角为,即可得的度数
【详解】
解：∵，，
∴为等腰直角三角形，∠AOB=45º，
∵绕点沿逆时针方向旋转得到，
∴为等腰直角三角形，∠A1OB1=45º，旋转角为，
∴,
故答案为：135º．
【点睛】
本题考查了旋转的性质和等腰直角三角形的性质，明确旋转角及旋转的性质是解题的关键．
14．3
【分析】
过点P作PF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PF=PE．
【详解】
解：如图，过点P作PF⊥AB于F，
∵AD是∠BAC的平分线，PE⊥AC，
∴PF=PE=3．
故答案为：3．

【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
15．
【分析】
根据三角形内角和定理求出各角的度数，得出直角三角形，由30度所对的直角边等于斜边的一半即可求解．
【详解】
在中，
，
，
，即是直角三角形，
又，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，含30度角的直角三角形性质，解题关键是求出各角度数．
16．39
【分析】
根据平移的性质得到BE=6，BC=EF=8，则BG=5，再证明S阴影部分=S梯形BEFG，然后根据梯形的面积公式计算即可．
【详解】
解：∵三角形ABC沿AB方向平移AD的长度得到三角形DEF，
∴BE=6，BC=EF=8，
∴BG=BC-CG=8-3=5，
∵S阴影部分+S△DBG=S△DBG+S梯形BEFG，
∴S阴影部分=S梯形BEFG=(5+8)×6=39．
故答案为39．
【点睛】
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
17．（，）．
【分析】
线段AB最短，说明AB此时为点A到y=﹣x的距离．过A点作垂直于直线y=﹣x的垂线AB，由题意可知：△AOB为等腰直角三角形，过B作BC垂直x轴垂足为C，则点C为OA的中点，有OC=BC，故可确定出点B的坐标．
【详解】
过A点作垂直于直线y=﹣x的垂线AB．
∵点B在直线y=﹣x上运动，∴∠AOB=45°，∴△AOB为等腰直角三角形，过B作BC垂直x轴垂足为C，则点C为OA的中点，则OC=BC．
作图可知B在x轴下方，y轴的右方，∴横坐标为正，纵坐标为负．
所以当线段AB最短时，点B的坐标为（，）．
故答案为（，）．

【点睛】
本题考查了一次函数的性质以及垂线段的性质．本题用到的知识点为：垂线段最短．
18．＜＜
【分析】
分别解不等式组中的两个不等式，再取两个不等式解集的公共部分即可得到答案．
【详解】
解：
由①得：＜
＞
由②得：＞
＞
＜
所以不等式组的解集为：＜＜
【点睛】
本题考查的是一元一次不等式组的解法，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
19．见解析.
【分析】
根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离=点D到AC的距离即DE=CD，再证明△CDF≌△EBD，从而得出DF=BD．
【详解】
∵平分，，，
∴.∠C=∠BED=90
在△CDF和△EDB中，
∵
∴.
∴.
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质．求得CD=DE是解答本题的关键．
20．（1）、、；（2）3
【分析】
（1）根据平移方向和平移的距离写出点的坐标即可；
（2）根据轴，直接用三角形面积公式进行计算即可；
【详解】
解：（1）依题意，把向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得到
即将的横坐标加2，纵坐标减3得到：
、、，
即、、；
（2）、、，


．
【点睛】
本题考查了平移的性质，坐标与图形，掌握点的平移的规律是解题的关键．
21．（1）点D作法见解析；（2）
【分析】
（1）作AB边的垂直平分线交AC于点D，点D即为所求；
（2）计算BC的长度，设，表示DB=AD=，在中，使用勾股定理可得结果．
【详解】
（1）如图，点D为所作：

（2）∵
∴
设，则
在中，由
∴，
∴
即CD的长为．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的作法，及使用勾股定理求线段长度，熟知垂直平分线的作法，及勾股定理的运算是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）的周长
【分析】
（1）由旋转可知是等边三角形，再根据平行线判定定理判断即可；
（2）根据AD+DE=AC=8，BD=AE=7，可求周长．
【详解】
（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵将绕点旋转得到．
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
（2）解：∵将绕点旋转得到．
∴，
∵的周长
，
∴的周长．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，解题关键是通过旋转的性质得到边相等和角相等，利用这些等量关系证明等边三角形或进行边的转换．
23．（1）购买《艾青诗选》的单价为35元，《格列佛游记》的单价为30元；（2）最多购买20本《艾青诗选》
【分析】
（1）设购买《艾青诗选》的单价为x元，《格列佛游记》的单价为y元，根据题意建立方程组求解即可；
（2）设购买《艾青诗选》的数量n本，则购买《格列佛游记》的数量为（50﹣n）本，根据题意的两个不等关系列不等式组解答并确定整数解即可．
【详解】
解：（1）设购买《艾青诗选》的单价为元，《格列佛游记》的单价为元，
由题意得：，
解得，
答：购买《艾青诗选》的单价为35元，《格列佛游记》的单价为30元；
（2）设购买《艾青诗选》的数量本，则购买《格列佛游记》的数量为本，
根据题意得，
解得，
则可以取17、18、19、20．
∴最多购买20本《艾青诗选》．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组和不等式组的应用，弄清题意、确定等量关系和不等关系是解答本题的关键．
24．（1）；（2）；（3）0
【分析】
（1）把看成常数，求出二元一次方程组的解，结合解满足为非正数，为负数求解一元一次不等式即可得出答案；
（2）根据（1）中的m的取值范围化简绝对值即可得出答案；
（3）对进行分类讨论，求出的取值范围结合不等式的解集为即可得出答案.
【详解】
解：（1）由方程组，得，
∵方程组的解满足为非正数，为负数，
∴，
解得，，
即的取值范围是；
（2）∵，
∴


；
（3）由不等式得，当时，，当时，，当时，该不等式无解，
∵不等式的解集为，
∴，得，
∵，
∴，
∴当为整数时，，
即在的取值范围内，当时，不等式的解集为．
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式和解二元一次方程组，解答本题的关键是把看成常数进行求解.
25．（1）105°；（2）∠CEN＝150°；（3）75或255．
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理列式计算即可得解；
（2）由OD平分∠MON，得∠DON＝ ∠MPN＝45°，则∠DON＝∠D＝45°，可得CD∥AB， 由两直线平行，同旁内角互补，可得出∠CEN＝150°；
（3）分当CD在AB上方及当CD在AB的下方两种情况进行讨论，画出具体图形，进行计算即可．
【详解】
（1）∵∠ECN＝45°，∠ENC＝30°，
∴∠CEN＝180-75=105°．故答案为105°．
（2）∵OD平分∠MON，
∴∠DON＝∠MPN＝×90°＝45°，
∴∠DON＝∠D＝45°，
∴CD∥AB，
∴∠CEN＝180°﹣∠MNO＝180°﹣30°＝150°；
（3）如图1，CD在AB上方时，设OM与CD相交于F，

∵CD∥MN，
∴∠OFD＝∠M＝60°，
在△ODF中，∠MOD＝180°﹣∠D﹣∠OFD，
＝180°﹣45°﹣60°，
＝75°，
当CD在AB的下方时，设直线OM与CD相交于F，
∵CD∥MN，
∴∠DFO＝∠M＝60°，
在△DOF中，∠DOF＝180°﹣∠D﹣∠DFO＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∴旋转角为75°+180°＝255°，
综上所述，旋转的角度为75°或255°时，边CD恰好与边MN平行．
故答案为75或255．
【点睛】
掌握1.平行线的判定；2.角的计算；3.角平分线性质是解题的关键．