2021年高中数学人教版必修第一册期中复习专题3.6 解答（30道）冲刺篇（1-3章）（解析版）

专题3.6  解答（30道）冲  刺篇（期中篇）（1-3章）

1．已知集合

（1）判断8，9，10是否属于集合；

（2）已知集合，证明：“”的充分非必要条件是“”；

（3）写出所有满足集合的偶数.

【答案】（1），，；（2）详见解析；（3）所有满足集合的偶数为，．

【解析】

（1），，，，

假设，，则，且，

，

，或，显然均无整数解，

，

，，；

（2）集合，则恒有，

，即一切奇数都属于，

又，“”的充分非必要条件是“”；

（3）集合，成立，

①当，同奇或同偶时，，均为偶数，为4的倍数；

②当，一奇，一偶时，，均为奇数，为奇数，

综上所有满足集合的偶数为，．

2．已知，.

（1）若，求；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）当时，，

或，

因此，；

（2）由（1）可得，

若是的充分不必要条件，则，

所以，，解得.

①当时，，则成立；

②当时，，则成立.

综上所述，实数的取值范围是.

3．设集合．

（1）若，求实数的值；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）或； （2）或.

【解析】

（1）集合，

若，则是方程的实数根，

可得：，解得或；

（2）∵，∴，

当时，方程无实数根，

即

解得：或；

当时，方程有实数根，

若只有一个实数根，，

解得：．

若只有两个实数根，x=1、x=2，,无解.

综上可得实数的取值范围是{a|a≤-3或a＞}

4．比较下列各组中两个代数式的大小：

（1）与；

（2）当，且时，与.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1），

因此，；

（2）.

①当时，即，时，，；

②当时，即，时，，.

综上所述，当，且时，.

5．已知，.

（1）求证：；

（2）若，求ab的最小值.

【答案】（1）证明见解析；（2）1.

【解析】

证明：（1）∵，

∴.

（2）∵，，

∴，即，

∴，∴.

当且仅当时取等号，此时ab取最小值1.

6．已知，，为正实数，且，证明：

（1）；

（2）.

【解析】

（1）因为，，为正实数，所以，，，

（当且仅当时，等号同时成立），

所以.

（2）因为，所以

又，

即.（当且仅当时，等号同时成立）.

所以，即.

7．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）正数满足，证明：.

【答案】(1) (2)证明见解析

【解析】

（1）当时，，

解得，所以；

当时，，；

当时，，

解得，所以.

综上，不等式的解集为.

（2）证明：因为为正数，则

等价于对任意的恒成立.

又因为，且，所以只需证，

因为，当且仅当时等号成立.

所以成立.

8．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若为集合中的最大元素，且，求的最小值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）当，即时，，解得；

当，即时，，解得，

所以不等式的解集

（2）由（1）知，所以，

所以

.

当且仅当，时,等号成立.

所以的最小值的最小值为.

9．已知，函数.

（1）若，且函数的定义域和值域均为，求实数的值；

（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）∵的图象开口向上，对称轴为，

∴在上单调递减，

∴，即，解得.

（2）不等式对恒成立，

即对恒成立，

故且在恒成立，

令，，

所以，

所以.

令，

所以，

所以.

综上：.

10．（1）已知，，且，比较与的大小；

（2）若关于的不等式的解集中整数恰好有个，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1），且，，

则，

因此，；

（2）由可得，

由于不等式的解集中恰好有三个整数，则，可得.

原不等式的解为，即，

，则，，

所以，不等式的解集中一定含有整数、、，则，

可得，解得.

因此，实数的取值范围是.

11．已知函数的图象关于直线对称且．

（1）求的值；

（2）求函数在区间上的最小值和最大值．

【答案】（1）；（2）最大值，最小值.

【解析】

（1）由于函数的图象关于直线对称且，

则，解得；

（2），，

所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以，函数在区间上的最大值为，最小值为．

12．已知，若关于x的不等式的解集是．

(1)求a的值；

(2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数b的取值范围.

【答案】(1)；(2)

【解析】

(1)和是的两根，将代入方程解得；

(2)由(1)可知不等式在上恒成立，即在上恒成立，

当时，恒成立，此时；

当时，不等式可转化为在上恒成立，

因为，当且仅当，即时，等号成立，

所以，所以,

综上，实数b的取值范围为.

13．已知函数

（1）若，求的值；

（2）解不等式.

【答案】（1） ；（2）.

【解析】

（1）当时，由，得，不符合题意；

当时，由，得或 (舍去)，故

（2）等价于 ——①或——②

解①得，解②得，

综合①②知的解集为.

14．已知，求。

【答案】，

【解析】

令，则，

将代入中，

可得，

所以，。

15．（1）已知函数是一次函数，若，求的解析式；

（2）已知是二次函数，且满足，，求的解析式．

【答案】（1）或；（2）．

【解析】

（1）设，则，

又，所以，，解得或，

因此，或；

（2），则，

，即，

即，所以，解得.

因此，.

16．已知函数.

（1）当时，求函数的单调递增区间；

（2）对任意，当函数的图像恒在函数图像的下方时，求实数的取值范围.

【答案】（1）和；（2）.

【解析】

（1）当时，，

可知函数的单调递增区间为；

（2）由题知在恒成立，即，

即，

即只要且在上恒成立即可，

在时，只有的最大值小于且的最小值大于即可，

当时，单调递增，则，

当时，单调递增，则，

.

17．已知函数f(x)为二次函数,且f(x-1)+f(x)=2x2+4.

(1)求f(x)的解析式;

(2)当x∈[t,t+2],t∈R时,求函数f(x)的最小值(用t表示).

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)设f(x)=ax2+bx+c,

b(x-1)+c+a+bx+c=2a+(2b-2a)x+a-b+2c=2+4,

,

解得,∴f(x)=x2+x+2.

(2)∵f(x)=x2+x+2的对称轴为x=-;

当tt+2，即时, =f(-)=

当t时,f(x)=x2+x+2在x∈[t,t+2]上单调递增， =f(t)=t2+t+2,

当t<时,f(x)=x2+x+2在x∈[t,t+2]上单调递减， =f(t+2)=+5t+8,

综上:f(x)min=

18．已知函数，.

（1）判断该函数在区间上的单调性，并给予证明；

（2）求该函数在区间上的最大值与最小值.

【答案】（1）在区间上是减函数；证明见解析；（2），.

【解析】

解：（1）在区间上是减函数.（导数法也可以）

证明任意取，且，

则，.

.

∵，

∴，，.

∴，∴.

∴在区间上是减函数.

（2）由（1）可知在区间上是递减的，故对任意的均有，

∴，

.

19．已知奇函数的定义域为，当时，.

（1）求的值；

（2）当时，求的解析式；

（3）若有成立，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）时，；（3）或 .

【解析】

（1）∵函数为奇函数，∴；

（2）设，则－

∴，

∵函数为奇函数　　

∴当时,；

（3）因为由得或，

所以或，

解得或．

20．已知定义在上的奇函数是增函数，且．

（1）求函数的解析式；

（2）解不等式．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

解：（1）∵是区间上的奇函数，

∴,又，

∴∴，此时，

为奇函数；

（2）∵，且为奇函数，

∴

又函数在区间上是增函数

∴，解得

故关于的不等式的解集为．

21．已知幂函数，且在上为增函数.

（1）求函数的解析式；

（2）若函数，求在区间上的最小值.

【答案】（1）；（2）时，；时，.

【解析】

（1）,即,则,解得或,

当时,,

当时,,

∵在上为增函数,∴

（2）由（1）,,,

①时,,,

②时,对称轴

（i）,即时,

（ii）,即时,

③时,∵,∴

综上：时,；时,

22．已知是幂函数，且在区间（0，＋∞）上单调递增．

（1）求的值；

（2）解不等式

【答案】（1）； （2）.

【解析】

函数是幂函数，

则，即，解得或，

当时，函数，此时函数在上单调递减，不符合题意；

当时，函数，此时函数在上单调递增，符合题意，

综上可得，实数的值为.

（2）由（1）知，函数，

又由不等式，即，即或，

解得或，即不等式的解集为.

23．已知幕函数为偶函数，且在上单调递增.

(1)求函数的解析式；

(2)若函数在区间上的值恒为正数，求实数的取值范围.

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）∵函数为偶函数且在上单调递增，

∴为正偶数．

而，

∴（时取等号），

∴；

（2）函数，

令，

∴．

根据一次函数的保号性可知：，

所以实数的取值范围时．

24．已知幂函数为偶函数.

（1）求的解析式；

（2）若函数在区间(2,3)上为单调函数，求实数a的取值范围.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）由f(x)为幂函数知，2m2-6m+5=1，即m2-3m+2=0，得m=1或m=2，

当m=1时，f(x)=x2，是偶函数，符合题意；

当m=2时，f(x)=，为奇函数，不合题意，舍去.

故f(x)=；

（2）由（1）得，

函数的对称轴为x=a-1，

由题意知函数在(2,3)上为单调函数，

∴a-1≤2或a-1≥3，分别解得a≤3或a≥4.

即实数a的取值范围为：a≤3或a≥4.

25．已知幂函数满足：

（1）在区间上为增函数；

（2）对任意的都有.

求同时满足（1）（2）的幂函数的解析式，并求当时，的值域.

【答案】，值域是

【解析】

由题意，幂函数递增，所以

解得，因为，所以或．

又因为，所以函数是偶函数，

当时，，即函数，满足题意

当时，，即函数，不满足题意

所以函数的解析式为，

由幂函数的性质，可得幂函数在区间上递增，

所以最小值为，最大值为．

所以函数的值域是．

26．已知幂函数

(1)求的解析式；

(2)(i)若图像不经过坐标原点，直接写出函数的单调区间.

(ii)若图像经过坐标原点，解不等式.

【答案】（1）或（2）(i) 单调递减区间为，无单调递增区间 (ii) .

【解析】

（1）    因为幂函数，

所以，解得或，

所以函数为或.

（2）(i)因为图像不经过坐标原点，

所以，

函数的单调递减区间为，无单调递增区间.

(ii)因为图像经过坐标原点，

所以，

因为为偶函数，且在上为增函数，

所以，

又在上为增函数，

所以，

解得，

所以不等式的解为.

27．已知幂函数为偶函数．

（1）求的解析式；

（2）若，求实数a的取值范围．

【答案】（1）（2）或

【解析】

(1) 幂函数为偶函数,

∴,解得或；

当时, 不符合题意,舍去；

当时, 满足题意；

∴；

(2)由(1)知,不等式化为,

解得或,

即或,

∴实数a的取值范围是或．

28．已知幂函数在上单调递增.

（1）求实数的值；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

解：（1）因为是幂函数，所以，解得或，

又因为在上单调递增，所以，即，

所以.

（2）由于在区间都是减函数，且

分三种情况讨论：

①当，即时，原不等式成立；

②当且时，有，即，解集为空集；

③当且时，有，即，

∴

综上所述：的取值范围是.

29．定义在上的函数，满足，且当时，.

（1）求的值.

（2）求证：.

（3）求证：在上是增函数.

（4）若，解不等式.

（5）比较与的大小.

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）；（5）.

【解析】

（1）令，由条件得.

（2），

即.

（3）任取，，且，则.

由（2）得.，即.

∴在上是增函数.

（4）∵，∴，

.

又在上为增函数，∴

解得.

故不等式的解集为.

（5）∵，

，

∵，

∴（当且仅当时取等号）.

又在上是增函数，

∴.

∴.

30．函数的定义域为，且对一切，都有，当时，总有.

（1）求的值；

（2）判断单调性并证明；

（3）若，解不等式.

【答案】（1）（2）是上的增函数，证明见解析（3）

【解析】

(1)令,得,∴.

(2)是上的增函数,证明：任取,且,则,∴,∴,

即,

∴是上的增函数.

(3)由及,可得,结合（2）知不等式等价于,可得,解得.所以原不等式的解集为.