还剩26页未读，
继续阅读
高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.3.1 等比数列授课ppt课件
展开
这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.3.1 等比数列授课ppt课件，共34页。PPT课件主要包含了-2-，知识梳理，双基自测，同一个常数，qq≠0，-3-，G2ab，a1qn-1，amqn-m，-4-等内容，欢迎下载使用。
1.等比数列 (1)等比数列的定义一般地,如果一个数列从第 项起,每一项与它的前一项的比等于 ,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 ,公比通常用字母 表示.数学
(2)等比中项如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即:G是a与b的等比中项⇔a,G,b成等比数列⇒ . (3)等比数列的通项公式an= ;可推广为an= . (4)等比数列的前n项和公式
2.等比数列及其前n项和的性质(1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak·al= ;若m+n=2k,则 (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比数列,公比为 . (3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则
④当q<0时,{an}为摆动数列.(5)当q≠-1或q=-1,且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为 .
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列. ( )(2)G为a,b的等比中项⇔G2=ab.( )(3)等比数列中不存在数值为0的项.( )(4)若{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.( )(5)若数列{an}为等比数列,则数列{ln an}是等差数列.( )(6)若数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为
2.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏
3.已知{an}为等差数列,公差为1,且a5是a3与a11的等比中项,Sn是{an}的前n项和,则S12的值为( )A.21B.42C.63D.54
4.在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n= .
5.在各项均为正数的等比数列{an}中,a2a3=16,则数列{lg2an}的前4项和等于 .
(2)(2017全国Ⅲ,理14)设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4= .
思考解决等比数列基本运算问题的常见思想方法有哪些?
例1(1)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5等于( )
解析:(1)由题意可知公比q≠1.
解题心得解决等比数列有关问题的常见思想方法(1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解.(2)分类讨论的思想:因为等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,所以当某一参数为公比进行求和时,就要对参数是否为1进行分类求和.(3)整体思想:应用等比数列前n项和公式时,常把qn或 当成整体进行求解.
对点训练1(1)(知{an}为等比数列,a1=3,且4a1,2a2,a3成等差数列,则a3+a5等于( )A.189 B.72C.60D.33(2)已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则( )A.a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>0
解析: (1)∵4a1,2a2,a3成等差数列,∴4a2=4a1+a3,即4a1q=4a1+a1q2,∴q2-4q+4=0.∴q=2.∴a3+a5=a1(q2+q4)=3×(4+16)=60.(2)设{an}的首项为a1,公差为d,则a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d.∵a3,a4,a8成等比数列,∴(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即3a1d+5d2=0.
例2已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;思考判断或证明一个数列是等比数列有哪些方法?
解题心得1.判断数列{an}为等比数列的方法:
2.解答选择题、填空题时也可用如下方法:(1)通项公式法:若数列通项公式可写成an=c·qn(c,q均是不为0的常数,n∈N*),则数列{an}是等比数列.(2)前n项和法:若Sn=kqn-k(k为常数,且k≠0,q≠0,1),则数列{an}为等比数列.3.若证明一个数列不是等比数列,则可用反证法证明存在相邻三项不成等比数列即可,一般证明
对点训练2设a1=2,a2=4,数列{bn}满足bn+1=2bn+2,且an+1-an=bn.(1)求证:数列{bn+2}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.
∵b1=a2-a1=4-2=2,∴b1+2=4.∴{bn+2}是以4为首项,以2为公比的等比数列.
(2)解：由(1)可得bn+2=4·2n-1,即bn=2n+1-2.∵an+1-an=bn,∴a2-a1=b1,a3-a2=b2,a4-a3=b3,……an-an-1=bn-1.累加得an-a1=b1+b2+b3+…+bn-1,则an=2+(22-2)+(23-2)+(24-2)+…+(2n-2)
即an=2n+1-2n(n≥2).而a1=2=21+1-2×1,∴an=2n+1-2n(n∈N*).
考向一 等比数列项的性质的应用例3(1)在由正数组成的等比数列{an}中,若a3a4a5=3π,则sin(lg3a1+lg3a2+…+lg3a7)的值为( )
(2)在正项等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1 =324,则n= . 思考经常用等比数列的哪些性质简化解题过程?
考向二 等比数列前n项和的性质的应用例4设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=( )A.31B.32C.63D.64思考本题应用什么性质求解比较简便?
解题心得1.在解答等比数列的有关问题时,为简化解题过程常常利用等比数列项的如下性质:(1)通项公式的推广:an=amqn-m;(2)等比中项的推广与变形: =am·an(m+n=2p)及ak·al=am·an(k+l=m+n).2.对已知条件为等比数列的前几项和,求其前多少项和的问题,应用公比不为-1的等比数列前n项和的性质:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列比较简便.
对点训练3(1)已知在各项均为正数的等比数列{an}中,a5·a6=4,则数列{lg2an}的前10项和为( )A.5B.6C.10D.12(2)已知等比数列{an}的首项a1=-1,其前n项和为Sn,若 ,则公比q= .
例5已知{an}是等比数列,前n项和为Sn(n∈N*),且(1)求{an}的通项公式;(2)若对任意的n∈N*,bn是lg2an和lg2an+1的等差中项,求数列 {(-1) }的前2n项和.思考解决等差数列、等比数列的综合问题的基本思路是怎样的?
解题心得等差数列和等比数列的综合问题,涉及的知识面很广,题目的变化也很多,但是万变不离其宗,只要抓住基本量a1,d(q)充分运用方程、函数、转化等数学思想方法,合理调用相关知识,就不难解决这类问题.
对点训练4已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.
解 (1)设数列{an}的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=0时,an=2;当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2,从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2.
(2)当an=2时,Sn=2n.显然2n<60n+800,此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立.当an=4n-2时,令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0,解得n>40或n<-10(舍去),此时存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值为41.综上,当an=2时,不存在满足题意的n;当an=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.
审题答题指导——如何理解条件和转化条件典例在等差数列{an}中,a3+a4+a5=84,a9=73.(1)求数列{an}的通项公式;(2)对任意m∈N*,将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的个数记为bm,求数列{bm}的前m项和Sm.审题要点:(1)题干中已知条件有三个:“数列{an}是等差数列”和两个等式;(2)第(2)问中所含条件可理解为:数列{an}的各项在所给区间的项数为bm;(3)第(2)问中条件的转化方法:文字语言转化为符号语言,即求满足9m
1.等比数列 (1)等比数列的定义一般地,如果一个数列从第 项起,每一项与它的前一项的比等于 ,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 ,公比通常用字母 表示.数学
(2)等比中项如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即:G是a与b的等比中项⇔a,G,b成等比数列⇒ . (3)等比数列的通项公式an= ;可推广为an= . (4)等比数列的前n项和公式
2.等比数列及其前n项和的性质(1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak·al= ;若m+n=2k,则 (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比数列,公比为 . (3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则
④当q<0时,{an}为摆动数列.(5)当q≠-1或q=-1,且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为 .
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列. ( )(2)G为a,b的等比中项⇔G2=ab.( )(3)等比数列中不存在数值为0的项.( )(4)若{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.( )(5)若数列{an}为等比数列,则数列{ln an}是等差数列.( )(6)若数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为
2.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏
3.已知{an}为等差数列,公差为1,且a5是a3与a11的等比中项,Sn是{an}的前n项和,则S12的值为( )A.21B.42C.63D.54
4.在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n= .
5.在各项均为正数的等比数列{an}中,a2a3=16,则数列{lg2an}的前4项和等于 .
(2)(2017全国Ⅲ,理14)设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4= .
思考解决等比数列基本运算问题的常见思想方法有哪些?
例1(1)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5等于( )
解析:(1)由题意可知公比q≠1.
解题心得解决等比数列有关问题的常见思想方法(1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解.(2)分类讨论的思想:因为等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,所以当某一参数为公比进行求和时,就要对参数是否为1进行分类求和.(3)整体思想:应用等比数列前n项和公式时,常把qn或 当成整体进行求解.
对点训练1(1)(知{an}为等比数列,a1=3,且4a1,2a2,a3成等差数列,则a3+a5等于( )A.189 B.72C.60D.33(2)已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则( )A.a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>0
解析: (1)∵4a1,2a2,a3成等差数列,∴4a2=4a1+a3,即4a1q=4a1+a1q2,∴q2-4q+4=0.∴q=2.∴a3+a5=a1(q2+q4)=3×(4+16)=60.(2)设{an}的首项为a1,公差为d,则a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d.∵a3,a4,a8成等比数列,∴(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即3a1d+5d2=0.
例2已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;思考判断或证明一个数列是等比数列有哪些方法?
解题心得1.判断数列{an}为等比数列的方法:
2.解答选择题、填空题时也可用如下方法:(1)通项公式法:若数列通项公式可写成an=c·qn(c,q均是不为0的常数,n∈N*),则数列{an}是等比数列.(2)前n项和法:若Sn=kqn-k(k为常数,且k≠0,q≠0,1),则数列{an}为等比数列.3.若证明一个数列不是等比数列,则可用反证法证明存在相邻三项不成等比数列即可,一般证明
对点训练2设a1=2,a2=4,数列{bn}满足bn+1=2bn+2,且an+1-an=bn.(1)求证:数列{bn+2}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.
∵b1=a2-a1=4-2=2,∴b1+2=4.∴{bn+2}是以4为首项,以2为公比的等比数列.
(2)解：由(1)可得bn+2=4·2n-1,即bn=2n+1-2.∵an+1-an=bn,∴a2-a1=b1,a3-a2=b2,a4-a3=b3,……an-an-1=bn-1.累加得an-a1=b1+b2+b3+…+bn-1,则an=2+(22-2)+(23-2)+(24-2)+…+(2n-2)
即an=2n+1-2n(n≥2).而a1=2=21+1-2×1,∴an=2n+1-2n(n∈N*).
考向一 等比数列项的性质的应用例3(1)在由正数组成的等比数列{an}中,若a3a4a5=3π,则sin(lg3a1+lg3a2+…+lg3a7)的值为( )
(2)在正项等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1 =324,则n= . 思考经常用等比数列的哪些性质简化解题过程?
考向二 等比数列前n项和的性质的应用例4设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=( )A.31B.32C.63D.64思考本题应用什么性质求解比较简便?
解题心得1.在解答等比数列的有关问题时,为简化解题过程常常利用等比数列项的如下性质:(1)通项公式的推广:an=amqn-m;(2)等比中项的推广与变形: =am·an(m+n=2p)及ak·al=am·an(k+l=m+n).2.对已知条件为等比数列的前几项和,求其前多少项和的问题,应用公比不为-1的等比数列前n项和的性质:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列比较简便.
对点训练3(1)已知在各项均为正数的等比数列{an}中,a5·a6=4,则数列{lg2an}的前10项和为( )A.5B.6C.10D.12(2)已知等比数列{an}的首项a1=-1,其前n项和为Sn,若 ,则公比q= .
例5已知{an}是等比数列,前n项和为Sn(n∈N*),且(1)求{an}的通项公式;(2)若对任意的n∈N*,bn是lg2an和lg2an+1的等差中项,求数列 {(-1) }的前2n项和.思考解决等差数列、等比数列的综合问题的基本思路是怎样的?
解题心得等差数列和等比数列的综合问题,涉及的知识面很广,题目的变化也很多,但是万变不离其宗,只要抓住基本量a1,d(q)充分运用方程、函数、转化等数学思想方法,合理调用相关知识,就不难解决这类问题.
对点训练4已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.
解 (1)设数列{an}的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=0时,an=2;当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2,从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2.
(2)当an=2时,Sn=2n.显然2n<60n+800,此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立.当an=4n-2时,令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0,解得n>40或n<-10(舍去),此时存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值为41.综上,当an=2时,不存在满足题意的n;当an=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.
审题答题指导——如何理解条件和转化条件典例在等差数列{an}中,a3+a4+a5=84,a9=73.(1)求数列{an}的通项公式;(2)对任意m∈N*,将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的个数记为bm,求数列{bm}的前m项和Sm.审题要点:(1)题干中已知条件有三个:“数列{an}是等差数列”和两个等式;(2)第(2)问中所含条件可理解为:数列{an}的各项在所给区间的项数为bm;(3)第(2)问中条件的转化方法:文字语言转化为符号语言,即求满足9m
相关课件
新高考数学一轮复习讲练课件6.3 等比数列及其前n项和（含解析）： 这是一份新高考数学一轮复习讲练课件6.3 等比数列及其前n项和（含解析），共41页。
高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列图片课件ppt： 这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列图片课件ppt，共25页。
数学4.3 等比数列教案配套课件ppt： 这是一份数学4.3 等比数列教案配套课件ppt，共30页。
