2020-2021学年甘肃省天水市高二（上）期末数学试卷（文科）人教A版

这是一份2020-2021学年甘肃省天水市高二（上）期末数学试卷（文科）人教A版，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下列四个命题中的真命题为（ ）
A.若sinA=sinB，则∠A=∠BB.任意x∈R，x2+1>0
C.若lgx2=0，则x=1D.存在x∈Z，使1<4x<3

2. 与命题“若a∈M，则b∉M”等价的命题是（ ）
A..若 a∉M，则 b∉MB..若b∉M，则 a∈M
C..若 a∉M，则 b∈MD.若b∈M，则 a∉M

3. 已知p、q是两个命题，则“p是真命题”是“p且q是真命题”的（ ）
A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4. 命题“梯形的两对角线互相不平分”的命题形式为( )
A.p或qB.p且qC.非pD.简单命题

5. 设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到x0+△x时，函数值的改变量△y等于（ ）
A.f(x0+△x)B.f(x0)+△x
C.f(x0)⋅△xD.f(x0+△x)−f(x0)

6. 椭圆x2+my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（ ）
A.14B.12C.2D.4

7. 过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x1, y1)，Q(x2, y2)两点，若x1+x2=3p，则|PQ|等于（ ）
A.4pB.5pC.6pD.8p

8. 函数y=f(x)在区间[a, b]上的最大值是M，最小值是m，若m=M，则f′(x)( )
A.等于0B.大于0C.小于0D.以上都有可能

9. 函数f(x)的定义域为开区间(a, b)，导函数f′(x)在(a, b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a, b)内有极小值（ ）

A.2 个B.1 个C.3 个D.4 个

10. 函数y＝x3−3x2−9x(−2A.极大值5，极小值−27B.极大值5，极小值−11
C.极大值5，无极小值D.极小值−27，无极大值

11. 函数y=4x2+1x单调递增区间是（ ）
A.(0, +∞)B.(−∞, 1)C.(12,+∞)D.(1, +∞)

12. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的顶点恰好是椭圆x29+y25=1的两个顶点，且焦距是63，则此双曲线的渐近线方程是（ ）
A.y=±12xB.y=±22xC.y=±2xD.y=±2x
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

命题“所有的长方体都是四棱柱”的否定是________．

已知f(x)＝exlnx．求f(x)的导数________．

已知抛物线y=2ax2过点(1, 4)，则焦点坐标为________．

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2c，且a，b，c依次成等差数列，则椭圆的离心率为________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共70分）．

求与椭圆x249+y224=1有公共焦点，且离心率e=54的双曲线的方程．

已知椭圆的一个顶点为A(0, −1)，焦点在x轴上．若右焦点到直线x−y+22=0的距离为3．
（1）求椭圆的方程；

（2）求此椭圆的离心率．

当α从0∘到180∘变化时，方程x2+y2csα=1表示的曲线的形状怎样变换？

已知函数f(x)＝xlnx．
（1）求这个函数的导数；

（2）求这个函数的图象在点x＝e处的切线方程．

一边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒．

（1）试把方盒的容积V表示为x的函数．

（2）x多大时，方盒的容积V最大？

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+5，曲线y=f(x)在点P（1, f(1)）处的切线方程为y=3x+1．
（1）求a，b的值；

（2）求y=f(x)在[−3, 1]上的最大值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年甘肃省天水市高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。）
1.
【答案】
B
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
A、特殊值B=30∘A=150∘，进行判断；
B、根据，x2≥0，进行判断；
C、当x=−1，也满足，进行判断；
D、根据x∈Z，可得4x的值；
【解答】
解：A、当B=30∘A=150∘，也成立sinA=sinB，但∠A≠∠B，故A错误；
B、∵ x2≥0，∴ 任意x∈R，x2+1>0，故B正确；
C、若x=−1可得lgx2=0，故C错误；
D、∵ x∈Z，4x={...−8, 4, 0, 4, 8...}，不可能有1<4x<3，故D错误；
2.
【答案】
D
【考点】
四种命题间的逆否关系
【解析】
互为逆否命题的两个命题为等价命题，即可得到结论．
【解答】
∵ 原命题和逆否命题互为等价命题，
∴ 与命题“若a∈M，则b∉M”等价的命题是：
若b∈M，则 a∉M．
3.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
根据充要条件的定义进行判断，即可得到结果．
【解答】
解：由“p是真命题”不能确定“p且q是真命题”；反过来，由“p且q是真命题”可知“p是真命题”．
因此，“p是真命题”是“p且q是真命题”的必要而不充分条件，选A．
故选A．
4.
【答案】
C
【考点】
逻辑联结词“或”“且”“非”
【解析】
命题中含有逻辑连接词“不”，属于命题的否定，所以是“非p”的命题形式．
【解答】
解：记命题p：梯形的两对角线互相平分，
而原命题是“梯形的两对角线互相不平分”，是命题p的否定形式.
故选C.
5.
【答案】
D
【考点】
变化的快慢与变化率
【解析】
根据题意函数y=f(x)，我们知道当自变量x变化时，因变量也要发生变化，因此把x0和x0+△x分别代入函数y=f(x)，然后相减求出△y．
【解答】
解：∵ 自变量x由x0改变到x0+△x，
当x=x0，y=f(x0)，
当x=x0+△x，y=f(x0+△x)，
∴ △y=f(x0+△x)−f(x0)，
故选D．
6.
【答案】
A
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
根据题意，求出长半轴和短半轴的长度，利用长轴长是短轴长的两倍，解方程求出m的值．
【解答】
椭圆x2+my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，∴ 1m=2⇒m=14，
7.
【答案】
A
【考点】
抛物线的求解
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
利用抛物线的定义可得，|PQ|=|PF|+|QF|=x1+p2+x2+p2，把x1+x2=3p代入可得结果．
【解答】
解：设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，由抛物线的定义可知，|PQ|=|PF|+|QF|=x1+p2+x2+p2
=(x1+x2)+p=4p，
故选 A．
8.
【答案】
A
【考点】
导数求函数的最值
【解析】
由最大最小相等，可得y=f(x)是常数函数，即可得出结论．
【解答】
解：∵ 最大最小相等，
∴ y=f(x)是常数函数，
∴ f′(x)=0．
故选：A．
9.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
由图象得：f(x)的增区间为(a, c)，(d, 0)，(0, e)，减区间为(c, d)，(e, b)，从而求出函数f(x)在开区间(a, b)内有1个极小值．
【解答】
函数f(x)的定义域为开区间(a, b)，
导函数f′(x)在(a, b)内的图象如图所示，
由图象得：
当a0，
当c∴ f(x)的增区间为(a, c)，(d, 0)，(0, e)，减区间为(c, d)，(e, b)，
∴ f(d)是函数f(x)在开区间(a, b)内有极小值，
∴ 函数f(x)在开区间(a, b)内有1个极小值．
10.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
求出y的导函数得到x＝−1，x＝3（因为−20；当x>−1时，y′<0，得到函数极值即可．
【解答】
y′＝3x2−6x−9＝0，得x＝−1，x＝3，当x<−1时，y′>0；当x>−1时，y′<0，
当x＝−1时，y极大值＝5；x取不到3，无极小值．
11.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
求出函数y的导函数y′，因为要求单调递增区间，令y′>0得到不等式求出x的范围即可．
【解答】
解：令y′=8x−1x2=8x3−1x2>0，
即(2x−1)(4x2+2x+1)>0，
解得x>12.
故选C.
12.
【答案】
C
【考点】
双曲线的特性
【解析】
根据双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的顶点恰好是椭圆x29+y25=1的两个顶点，且焦距是63，可得双曲线的a与c，进而可求双曲线的渐近线方程．
【解答】
解：∵ 双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的顶点恰好是椭圆x29+y25=1的两个顶点，且焦距是63，
∴ a=3，c=33，
∴ b=c2−a2=32，
∴ 双曲线的渐近线方程是y=±bax=±2x．
故选C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
【答案】
存在长方体不是四棱柱
【考点】
命题的否定
【解析】
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】
命题“所有的长方体都是四棱柱”为全称命题，则命题的否定为“存在长方体不是四棱柱”，
【答案】
f′(x)=exlnx+exx
【考点】
导数的运算
【解析】
根据基本初等函数和积的导数的求导公式求导即可．
【解答】
∵ f(x)＝exlnx，
∴ f′(x)=exlnx+exx．
【答案】
(0, 116)
【考点】
抛物线的求解
【解析】
将点(1, 4)代入抛物线方程可得a=2，即可求得抛物线y=4x2即x2=14y的焦点坐标．
【解答】
解：抛物线y=2ax2过点(1, 4)，
即有4=2a，解得a=2，
则抛物线y=4x2即x2=14y的焦点坐标为(0, 116)．
故答案为：(0, 116)．
【答案】
35
【考点】
椭圆的定义
【解析】
利用等差数列的性质及a，b，c间的关系建立关于a、c的方程，转化为关于e的方程，求出e的值．
【解答】
解：∵ a，b，c依次成等差数列，∴ 2b=a+c，又a2−b2=c2，∴ a2−(a+c2)2=c2，
即 3a2−5c2−2ac=0，∴ −5e2−2e+3=0，e=35 或 e=−1（舍去）．
故答案为：35．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共70分）．
【答案】
依题意，双曲线的焦点坐标是F1(−5, 0)，F2(5, 0)，
故双曲线方程可设为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，
又双曲线的离心率e=54，
∴ a2+b2=255a=54
解之得a＝4，b＝3
故双曲线的方程为x216−y29=1
【考点】
圆锥曲线的共同特征
【解析】
根据题意双曲线方程可设为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，可得关于a，b的方程组，进而求出a，b的数值即可求出双曲线的方程．
【解答】
依题意，双曲线的焦点坐标是F1(−5, 0)，F2(5, 0)，
故双曲线方程可设为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，
又双曲线的离心率e=54，
∴ a2+b2=255a=54
解之得a＝4，b＝3
故双曲线的方程为x216−y29=1
【答案】
由已知可得b＝1，设椭圆的右焦点坐标为F(c, 0)，
则点F到直线x−y+22=0的距离为d=|c+22|12+12=3，
解得c=2，则a2＝b2+c2＝3，
故椭圆的方程为x23+y2=1；
由（1）知：a=3，c=2，
所以椭圆的离心率为e=ca=63．
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
【解析】
（1）由已知即可求出b的值，然后设出椭圆的右焦点坐标，利用点到直线的距离公式求出c的值，进而可以求解；
（2）根据（1）即可求出椭圆的离心率．
【解答】
由已知可得b＝1，设椭圆的右焦点坐标为F(c, 0)，
则点F到直线x−y+22=0的距离为d=|c+22|12+12=3，
解得c=2，则a2＝b2+c2＝3，
故椭圆的方程为x23+y2=1；
由（1）知：a=3，c=2，
所以椭圆的离心率为e=ca=63．
【答案】
解：当α=0∘时，cs0∘=1，方程x2+y2=1表示圆心在原点的单位圆；
当90∘>α>0∘时，1>csα>0，方程x2+y2csα=1表示中心在原点，焦点在y轴上的椭圆；
当α=90∘时，cs90∘=0，方程x2=1，得x=±1表示与y轴平行的两条直线；
当180∘>α>90∘时，csα<0，方程x2+y2csα=1表示焦点在x轴上的双曲线；
当α=180∘时，cs180∘=−1，方程x2−y2=1表示焦点在x轴上的等轴双曲线．
【考点】
二元二次方程表示圆的条件
【解析】
根据csα符号，对角α分五类进行讨论，由圆、椭圆和双曲线的标准方程判断对应曲线的具体形状．
【解答】
解：当α=0∘时，cs0∘=1，方程x2+y2=1表示圆心在原点的单位圆；
当90∘>α>0∘时，1>csα>0，方程x2+y2csα=1表示中心在原点，焦点在y轴上的椭圆；
当α=90∘时，cs90∘=0，方程x2=1，得x=±1表示与y轴平行的两条直线；
当180∘>α>90∘时，csα<0，方程x2+y2csα=1表示焦点在x轴上的双曲线；
当α=180∘时，cs180∘=−1，方程x2−y2=1表示焦点在x轴上的等轴双曲线．
【答案】
∵ f(x)＝xlnx，
∴ f′(x)＝lnx+1(x>0)；
由（1）知，切线的斜率k＝f′(e)＝lne+1＝2，点(e, e)，
代入点斜式方程得：y−e＝2(x−e)，即2x−y−e＝0，
∴ 该函数的图象在x＝e处的切线方程为：2x−y−e＝0．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
（1）直接利用导数的运算法则结合基本初等函数的求导公式得答案；
（2）求出函数在x＝e处的导数，再求出切点坐标，代入直线方程的点斜式得答案．
【解答】
∵ f(x)＝xlnx，
∴ f′(x)＝lnx+1(x>0)；
由（1）知，切线的斜率k＝f′(e)＝lne+1＝2，点(e, e)，
代入点斜式方程得：y−e＝2(x−e)，即2x−y−e＝0，
∴ 该函数的图象在x＝e处的切线方程为：2x−y−e＝0．
【答案】
无盖方盒的容积V=(a−2x)2⋅x,x∈(0,a2)．
因为V=(a−2x)2⋅x,x∈(0,a2)，
所以V′＝12x2−8ax+a2，
令V′＝0得x=a2（舍），或x=a6．
当x∈(0,a6)时，V′>0，当x∈(a6,a2)时，V′<0，
因此x=a6是函数V的极大值点，也是最大值点，
故当x=a6时，方盒的容积最大．
【考点】
函数最值的应用
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
（1）由已知可得方盒的底面边长为a−2x，高为x，进而可得答案；
（2）利用导数法，可得方盒的容积V的最大值．
【解答】
无盖方盒的容积V=(a−2x)2⋅x,x∈(0,a2)．
因为V=(a−2x)2⋅x,x∈(0,a2)，
所以V′＝12x2−8ax+a2，
令V′＝0得x=a2（舍），或x=a6．
当x∈(0,a6)时，V′>0，当x∈(a6,a2)时，V′<0，
因此x=a6是函数V的极大值点，也是最大值点，
故当x=a6时，方盒的容积最大．
【答案】
解：（1）由f(x)=x3+ax2+bx+5得，f′(x)=3x2+2ax+b，
∴ y=f(x)在点P（1, f(1)）处的切线方程为：
y−f(1)=f′(1)(x−1)，
即y−(a+b+6)=(3+2a+b)(x−1)，
整理得y=(3+2a+b)x+3−a．
又∵ y=f(x)在点P（1, f(1)）处的切线方程为y=3x+1，
∴ 3+2a+b=33−a=1，解得a=2b=−4，
∴ a=2，b=−4．
（2）由（1）知f(x)=x3+2x2−4x+5，
f′(x)=3x2+4x−4=(3x−2)(x+2)，
令f′(x)=0，得x=23或x=−2．
当x变化时，f(x)，f′(x)的变化如下表：
∴ f(x)的极大值为f(−2)=13，极小值为f(23)=9527，
又∵ f(−3)=8，f(1)=4，
∴ f(x)在[−3, 1]上的最大值为13．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
导数求函数的最值
【解析】
（1）先由求导公式和法则求出导数，再由点斜式求出切线方程并化为斜截式，再与条件对比列出方程，求出a和b的值；
（2）由（1）求出f′(x)，再求出临界点，列出表格，求出函数的极值和端点处的函数值，对比后求出函数在已知区间上的最大值．
【解答】
解：（1）由f(x)=x3+ax2+bx+5得，f′(x)=3x2+2ax+b，
∴ y=f(x)在点P（1, f(1)）处的切线方程为：
y−f(1)=f′(1)(x−1)，
即y−(a+b+6)=(3+2a+b)(x−1)，
整理得y=(3+2a+b)x+3−a．
又∵ y=f(x)在点P（1, f(1)）处的切线方程为y=3x+1，
∴ 3+2a+b=33−a=1，解得a=2b=−4，
∴ a=2，b=−4．
（2）由（1）知f(x)=x3+2x2−4x+5，
f′(x)=3x2+4x−4=(3x−2)(x+2)，
令f′(x)=0，得x=23或x=−2．
当x变化时，f(x)，f′(x)的变化如下表：
∴ f(x)的极大值为f(−2)=13，极小值为f(23)=9527，
又∵ f(−3)=8，f(1)=4，
∴ f(x)在[−3, 1]上的最大值为13．x
−3
(−3, −2)
−2
(−2,23)
23
(23，1)
1
f′(x)
+
-
+
f(x)
8
增
极大值
减
极小值
增
4
x
−3
(−3, −2)
−2
(−2,23)
23
(23，1)
1
f′(x)
+
-
+
f(x)
8
增
极大值
减
极小值
增
4