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2020-2021学年甘肃省兰州市四片区高二（上）期末数学试卷（理科）人教A版
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这是一份2020-2021学年甘肃省兰州市四片区高二（上）期末数学试卷（理科）人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 命题“若α=π4，则tanα＝1”的逆否命题是（ ）
A.若α≠π4，则tan α≠1B.若α=π4，则tan α≠1
C.若tan α≠1，则α≠π4D.若tan α≠1，则α=π4
2. 命题“∀x∈R，ex≥x+1”的否定是（ ）
A.∀x∈R，exC.∀x∉R，ex
3. 双曲线2x2−y2＝8的实轴长是（ ）
A.2B.2C.4D.4
4. 若点M在平面ABC内，且满足OM→=pOA→+2OB→−3OC→（点O为空间任意一点），则抛物线y2=2px的准线方程是（ ）
A.x=−1B.x=1C.y=−1D.y=1
5. 命题“设a、b、c∈R，若ac2>bc2，则a>b”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（ ）
A.0个B.1个C.2个D.3个
6. 已知命题p：函数的最小值为4；命题q：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“A>B”是“a>b”的充要条件，则下列命题为真命题的是（ ）
A.(￢p)∧qB.p∨(￢q)C.p∧qD.(￢p)∧(￢q)
7. 已知F1，F2为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P，PF1与双曲线相交于点Q，且|PQ|＝2|QF1|，则该双曲线的离心率为 （ ）
A.5B.2C.3D.52
8. 若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则抛物线的标准方程为（ ）
A.y2＝16xB.y2＝8xC.y2＝4xD.y2＝32x
9. 设向量a→=(x−1, x)，b→=(x+2, x−4)，则“a→⊥b→”是“x=2”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
10. 命题p：对任意x∈R，x2+x+1<0的否定是（ ）
A.对任意x∈R，x2+x+1≥0B.存在x∈R，x2+x+1≥0
C.对任意x∈R，x2+x+1>0D.存在x∈R，x2+x+1>0
11. “若x≠a且x≠b，则x2−(a+b)x+ab≠0”的否命题是（ ）
A.若x=a且x=b，则x2−(a+b)x+ab=0
B.若x=a或x=b，则x2−(a+b)x+ab≠0
C.若x=a且x=b，则x2−(a+b)x+ab≠0
D.若x=a或x=b，则x2−(a+b)x+ab=0
12. 下列命题中错误的个数是（ ）
①命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的否命题是“若x2−3x+2=0，则x≠1”
②命题P:∃x0∈R，使sinx0>1，则￢P:∀x0∈R，使sinx0≤1
③若P且q为假命题，则P、q均为假命题
④“φ=π2+2kπ(k∈Z)”是函数y=sin(2x+φ)为偶函数的充要条件．
A.1B.2C.3D.4
二、填空题（本题共计4小题，每题5分，共计20分.）
设a，b∈R，则“a+b>4”是“a>2且b>2”的________．
设变量x、y满足约束条件y≥0,x−y+1≥0,x+y−3≤0, 则z=2x+y的最大值为________．
满足约束条件 3x+y≥0(x−2)2+y2≤4的点P(x, y)所在平面区域的面积为________．
设命题p：函数y=lg(ax2+ax+1)的定义域为R，若p是真命题，则实数a的取值范围________．
三、解答题（本题共计6小题，17题10分，其它题12分，共计70分.）
若a>0，b>0，求证：(a+b)(1a+1b)≥4．
已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为223，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+42.
(1)求椭圆M的方程；
(2)设直线l：x=ky+m与椭圆M交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求m的值.
已知p:−40，若￢p是￢q的充分条件，求实数a的取值范围．
f(x)=x2−2x−8，g(x)=2x2−4x−16.
(1)求不等式g(x)<0的解集；
(2)若对一切x>2，均有f(x)≥(m+2)x−m−15成立，求实数m的取值范围．
某工厂生产的某种产品，当年产量在150吨至250吨之间时，年生产总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的关系可近似地表示成y=x210−30x+4000，问年产量为多少时，每吨的平均成本最低？并求出该最低成本．
已知椭圆x24+y29=1，一组平行直线的斜率是32．
(1)这组直线何时与椭圆相交？
(2)当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上．
参考答案与试题解析
2020-2021学年甘肃省兰州市四片区高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本题共计12小题，每题5分，共计60分.）
1.
【答案】
C
【考点】
四种命题的定义
【解析】
根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，直接写出它的逆否命题即可．
【解答】
命题“若α=π4，则tan α＝1”的逆否命题是
“若tan α≠1，则α≠π4”．
2.
【答案】
D
【考点】
命题的否定
【解析】
利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【解答】
因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，ex≥x+1”的否定是∃x0∈R，ex03.
【答案】
C
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
A
【考点】
抛物线的标准方程
平面向量的基本定理及其意义
【解析】
利用题中条件：“OM→=pOA→+2OB→−3OC→”结合四点共面的充要条件，列出方程求出p值．由此可得抛物线y2=2px的准线方程．
【解答】
解：∵ 点M在平面ABC内，且满足OM→=pOA→+2OB→−3OC→，∴ p+2−3=1
解得p=2．
抛物线y2=2px的焦点在x轴上，且开口向右，p=2，∴ p2=1，
∴ 抛物线y2=2px的准线方程为x=−1．
故选A．
5.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
命题的真假判断与应用
四种命题的真假关系
不等式的概念与应用
【解析】
先看原命题，∵ 若ac2>bc2，则c≠0，∴ a>b，由于等价命题同真同假，只要判断原命题和逆命题即可．
【解答】
解：原命题：，∵ 若ac2>bc2，则c≠0，∴ a>b，成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为真；
逆命题：若a>b，则ac2>bc2，不正确，∵ a>b，∴ 关键是c是否为0，∴ 逆命题为假，由等价命题同真同假知否命题也为假，
∴ 命题“设a、b、c∈R，若ac2>bc2，则a>b”的逆命题、否命题、逆否命题中有1个真命题．
故选B
6.
【答案】
A
【考点】
复合命题及其真假判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
A
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
根据|PQ|＝2|QF1|，以及圆的性质，结合直角三角形的性质，建立三角形的边角关系，利用双曲线的定义得到关于a，c的方程进行求解即可．
【解答】
∵ 点P是以F1F2为直径的圆与C右支的一个交点，
∴ 即∠F1PF2为直角，
∴ 则设|QF1|＝m，|PQ|＝2m，
则|F1F2|＝2c，
则|PF2|=4c2−9m2，|QF2|=4c2−5m2，
则|PF1|−|PF2|＝3m−4c2−9m2=2a，①
|QF2|−|QF1|=4c2−5m2−m＝2a，②，
则3m−4c2−9m2=4c2−5m2−m＝2a，
即4m−4c2−9m2=4c2−5m2，
平方整理得45m2＝16c2，
则m2=1645c2，代回②得4c2−5×16c245−4515c＝2a，
即c=5a
即离心率e=ca=5，
8.
【答案】
A
【考点】
抛物线的性质
【解析】
写出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离列方程求得p的值即可．
【解答】
抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F（，0)，
F到双曲线的一条渐近线-＝0的距离为
d＝＝，
化简得+＝，
解得p＝8；
∴ 抛物线的标准方程为y2＝16x．
9.
【答案】
B
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
a→⊥b→，可得a→⋅b→=0，解出即可得出．
【解答】
解：∵ a→⊥b→，
∴ (x−1)(x+2)+x(x−4)=0，
化为：2x2−3x−2=0，
解得x=−12或2．
∴ “a→⊥b→”是“x=2”的必要不充分条件．
故选B.
10.
【答案】
B
【考点】
命题的否定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
11.
【答案】
D
【考点】
四种命题的定义
【解析】
根据命题否定的规则进行求解，注意“且”的否定为：“或”.
【解答】
解：∵ "若x≠a且x≠b，则x2−(a+b)x+ab≠0”，∵ 对且否定是或，对不等于否定是等于.
∴ 其命题的否定为：若x=a或x=b，则x2−(a+b)x+ab=0.
故选D．
12.
【答案】
C
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
根据否命题的定义，写出原命题的否命题，可判断①的真假；
根据特殊命题的否定方法，求出原命题的否定形式，可判断②的真假；
根据复合命题真假判断的真值表，可知当P且q为假命题时，不一定P、q均为假命题，可判断③的真假；
根据正弦型函数的对称性，分析出函数y=sin(2x+φ)为偶函数的充要条件，进而判断④的真假；
【解答】
解：命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的否命题是“若x2−3x+2≠0，则x≠1”，故①错误；
命题P:∃x0∈R，使sinx0>1，则￢P:∀x0∈R，使sinx0≤1，故②正确；
若P且q为假命题，则P与q至少存在一个假命题，可能是一真一假，不一定P、q均为假命题，故③错误；
当“φ=π2+2kπ(k∈Z)”时函数y=sin(2x+φ)为偶函数，但函数y=sin(2x+φ)为偶函数时，“φ=π2+kπ(k∈Z)”，故“φ=π2+2kπ(k∈Z)”是函数y=sin(2x+φ)为偶函数的充分不必要条件，故④错误；
故选C
二、填空题（本题共计4小题，每题5分，共计20分.）
【答案】
必要不充分条件
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．
【解答】
解：当a=5，b=0时，满足a+b>4，
但a>2且b>2不成立，即充分性不成立，
若a>2且b>2，则必有a+b>4，即必要性成立，
故“a+b>4”是“a>2且b>2”的必要不充分条件，
故答案为：必要不充分条件．
【答案】
6
【考点】
求线性目标函数的最值
【解析】
先画出约束条件y≥0x−y+1≥0x+y−3≤0 的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数z＝2x+y的最大值．
【解答】
解：由约束条件y≥0,x−y+1≥0,x+y−3≤0, 得如图所示的三角形区域，
三个顶点坐标为A(1, 2)，B(−1, 0)，C(3, 0),
由z=2x+y可得y=−2x+z，则z表示直线y=−2x+z在y轴上的截距，截距越大，z越大
直线z=2x+y过点 C(3, 0)时，z取得最大值为6.
故答案为：6.
【答案】
10π3+3
【考点】
二元一次不等式（组）与平面区域
圆的标准方程
【解析】
画出约束条件：3x+y≥0(x−2)2+y2≤4的表示的可行域，如图求出圆心角∠OQA的大小，然后再求出阴影部分面积，即求出可行域的面积即可．
【解答】
解：可行域如图阴影部分，
∵ 直线3x+y=0的倾斜角为2π3，∴ ∠QOA=π−2π3=π3，
在等腰三角形AOQ中，∴ ∠OQA=π3，
且QO=QA=2，正三角形AQO的面积=34×22=3，
∴ 阴影部分所在平面区域的面积为：
12×(2π−π3)×2×2+3=10π3+3
故答案为：10π3+3．
【答案】
0≤a<4
【考点】
不等式恒成立问题
命题的真假判断与应用
对数函数的定义域
【解析】
根据对数函数的定义，结合命题的真假性，得出ax2+ax+1>0在R上恒成立，从而求出a的取值范围即可．
【解答】
解：∵ 命题p：函数y=lg(ax2+ax+1)的定义域为R，且p是真命题，
∴ ax2+ax+1>0在R上恒成立；
当a=0时，1>0满足题意；
当a≠0时，有a>0,Δ=a2−4a<0,
解得0综上，实数a的取值范围是0≤a<4．
故答案为：0≤a<4．
三、解答题（本题共计6小题，17题10分，其它题12分，共计70分.）
【答案】
证明：左式=1+ba+ab+1
≥2+2ba×ab=4=右式．
∴ (a+b)(1a+1b)≥4．
【考点】
基本不等式
【解析】
本题主要考查证明不等式的方法：综合法和分析法，欲证原不等式成立，只须将左式展开利用基本不等式即可．故利用综合法证明．
【解答】
证明：左式=1+ba+ab+1
≥2+2ba×ab=4=右式．
∴ (a+b)(1a+1b)≥4．
【答案】
解：(1)由题意，可得2a+2c=6+42，即a+c=3+22.
又椭圆的离心率为223，即e=ca=223，
所以a=3，c=22，
所以b2=a2−c2=1，
所以椭圆M的方程为x29+y2=1.
(2)由x=ky+m,x29+y2=1消去x得(k2+9)y2+2kmy+m2−9=0.
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
由韦达定理得y1+y2=−2kmk2+9，y1y2=m2−9k2+9.
因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点C(3, 0)，
所以CA→⋅CB→=0.
由CA→=(x1−3,y1)，CB→=(x2−3,y2)，
得(x1−3)(x2−3)+y1y2=0.
将x1=ky1+m，x2=ky2+m代入上式，
得(k2+1)y1y2+k(m−3)(y1+y2)+(m−3)2=0，
即(k2+1)×m2−9k2+9+k(m−3)×(−2kmk2+9)+(m−3)2=0，
解得m=125或m=3.
【考点】
椭圆的标准方程
圆锥曲线中的定点与定值问题
圆锥曲线的综合问题
【解析】
（1）根据椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+42，椭圆的离心率，建立方程，利用b2=a2−c2，可求椭圆M的方程；
（2）由直线与椭圆方程联立，消元，由以AB为直径的圆过椭圆右顶点C(3, 0)，可得 CA→⋅CB→=0，结合数量积公式及韦达定理，即可求m的值．
【解答】
解：(1)由题意，可得2a+2c=6+42，即a+c=3+22.
又椭圆的离心率为223，即e=ca=223，
所以a=3，c=22，
所以b2=a2−c2=1，
所以椭圆M的方程为x29+y2=1.
(2)由x=ky+m,x29+y2=1消去x得(k2+9)y2+2kmy+m2−9=0.
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
由韦达定理得y1+y2=−2kmk2+9，y1y2=m2−9k2+9.
因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点C(3, 0)，
所以CA→⋅CB→=0.
由CA→=(x1−3,y1)，CB→=(x2−3,y2)，
得(x1−3)(x2−3)+y1y2=0.
将x1=ky1+m，x2=ky2+m代入上式，
得(k2+1)y1y2+k(m−3)(y1+y2)+(m−3)2=0，
即(k2+1)×m2−9k2+9+k(m−3)×(−2kmk2+9)+(m−3)2=0，
解得m=125或m=3.
【答案】
命题p:−4命题q：(x−2)(8−x)>0⟺2又￢p是￢q的充分条件，
即￢p⇒￢q，它的等价命题是q⇒p．
所以，
解得−1≤a≤6．
故实数a的取值范围为[1, 6]．
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
解：(1)由g(x)=2x2−4x−16<0，得x2−2x−8<0，
即(x+2)(x−4)<0，解得−2所以不等式g(x)<0的解集为{x|−2(2)因为f(x)=x2−2x−8，
当x>2时，f(x)≥(m+2)x−m−15成立，
则x2−2x−8≥(m+2)x−m−15成立，
即x2−4x+7≥m(x−1),
所以对一切x>2，均有不等式x2−4x+7x−1≥m成立．
而x2−4x+7x−1=(x−1)+4x−1−2
≥2(x−1)×4x−1−2=2（当x=3时等号成立）．
所以实数m的取值范围是(−∞, 2]．
【考点】
不等式恒成立问题
基本不等式在最值问题中的应用
一元二次不等式的解法
【解析】
(1)直接因式分解后求解不等式的解集；
(2)把函数f(x)的解析式代入f(x)≥(m+2)x−m−15，分离变量m后利用基本不等式求解m的取值范围．
【解答】
解：(1)由g(x)=2x2−4x−16<0，得x2−2x−8<0，
即(x+2)(x−4)<0，解得−2所以不等式g(x)<0的解集为{x|−2(2)因为f(x)=x2−2x−8，
当x>2时，f(x)≥(m+2)x−m−15成立，
则x2−2x−8≥(m+2)x−m−15成立，
即x2−4x+7≥m(x−1),
所以对一切x>2，均有不等式x2−4x+7x−1≥m成立．
而x2−4x+7x−1=(x−1)+4x−1−2
≥2(x−1)×4x−1−2=2（当x=3时等号成立）．
所以实数m的取值范围是(−∞, 2]．
【答案】
解：当年产量在150吨至250吨之间时，年生产总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的关系
可近似地表示成y=x210−30x+4000，
可得平均成本为：x10+4000x−30≥2x10⋅4000x−30=10，
当且仅当x10=4000x即x=200时取等号，
年产量为200吨时，每吨的平均成本最低，最低为10万元．
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
利用函数的解析式求出平均成本的表达式，利用基本不等式求解即可．
【解答】
解：当年产量在150吨至250吨之间时，年生产总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的关系
可近似地表示成y=x210−30x+4000，
可得平均成本为：x10+4000x−30≥2x10⋅4000x−30=10，
当且仅当x10=4000x即x=200时取等号，
年产量为200吨时，每吨的平均成本最低，最低为10万元．
【答案】
(1)解：设一组平行直线的方程为y=32x+m，
代入椭圆方程，可得：
9x2+494x2+3mx+m2=36，
即为18x2+12mx+4m2−36=0.
由判别式大于0，可得：
144m2−72(4m2−36)>0，
解得−32则这组平行直线的纵截距在区间(−32, 32)内时与椭圆相交.
(2)证明：由(1)直线和椭圆方程联立，
可得：18x2+12mx+4m2−36=0，
即有x1+x2=−23m，
截得弦的中点为−13m, 12m，
由x=−13m，y=12m，
消去m，可得y=−32x．
则这些直线被椭圆截得的线段的中点在直线y=−32x上．
【考点】
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
圆锥曲线的综合问题
圆锥曲线的轨迹问题
【解析】
（1）设出平行直线的方程：y=32x+m，代入椭圆方程，消去y，由判别式大于0，可得m的范围；
（2）运用中点坐标公式和参数方程，消去m，即可得到所求的结论．
【解答】
(1)解：设一组平行直线的方程为y=32x+m，
代入椭圆方程，可得：
9x2+494x2+3mx+m2=36，
即为18x2+12mx+4m2−36=0.
由判别式大于0，可得：
144m2−72(4m2−36)>0，
解得−32则这组平行直线的纵截距在区间(−32, 32)内时与椭圆相交.
(2)证明：由(1)直线和椭圆方程联立，
可得：18x2+12mx+4m2−36=0，
即有x1+x2=−23m，
截得弦的中点为−13m, 12m，
由x=−13m，y=12m，
消去m，可得y=−32x．
则这些直线被椭圆截得的线段的中点在直线y=−32x上．
1. 命题“若α=π4，则tanα＝1”的逆否命题是（ ）
A.若α≠π4，则tan α≠1B.若α=π4，则tan α≠1
C.若tan α≠1，则α≠π4D.若tan α≠1，则α=π4
2. 命题“∀x∈R，ex≥x+1”的否定是（ ）
A.∀x∈R，ex
3. 双曲线2x2−y2＝8的实轴长是（ ）
A.2B.2C.4D.4
4. 若点M在平面ABC内，且满足OM→=pOA→+2OB→−3OC→（点O为空间任意一点），则抛物线y2=2px的准线方程是（ ）
A.x=−1B.x=1C.y=−1D.y=1
5. 命题“设a、b、c∈R，若ac2>bc2，则a>b”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（ ）
A.0个B.1个C.2个D.3个
6. 已知命题p：函数的最小值为4；命题q：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“A>B”是“a>b”的充要条件，则下列命题为真命题的是（ ）
A.(￢p)∧qB.p∨(￢q)C.p∧qD.(￢p)∧(￢q)
7. 已知F1，F2为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P，PF1与双曲线相交于点Q，且|PQ|＝2|QF1|，则该双曲线的离心率为 （ ）
A.5B.2C.3D.52
8. 若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则抛物线的标准方程为（ ）
A.y2＝16xB.y2＝8xC.y2＝4xD.y2＝32x
9. 设向量a→=(x−1, x)，b→=(x+2, x−4)，则“a→⊥b→”是“x=2”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
10. 命题p：对任意x∈R，x2+x+1<0的否定是（ ）
A.对任意x∈R，x2+x+1≥0B.存在x∈R，x2+x+1≥0
C.对任意x∈R，x2+x+1>0D.存在x∈R，x2+x+1>0
11. “若x≠a且x≠b，则x2−(a+b)x+ab≠0”的否命题是（ ）
A.若x=a且x=b，则x2−(a+b)x+ab=0
B.若x=a或x=b，则x2−(a+b)x+ab≠0
C.若x=a且x=b，则x2−(a+b)x+ab≠0
D.若x=a或x=b，则x2−(a+b)x+ab=0
12. 下列命题中错误的个数是（ ）
①命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的否命题是“若x2−3x+2=0，则x≠1”
②命题P:∃x0∈R，使sinx0>1，则￢P:∀x0∈R，使sinx0≤1
③若P且q为假命题，则P、q均为假命题
④“φ=π2+2kπ(k∈Z)”是函数y=sin(2x+φ)为偶函数的充要条件．
A.1B.2C.3D.4
二、填空题（本题共计4小题，每题5分，共计20分.）
设a，b∈R，则“a+b>4”是“a>2且b>2”的________．
设变量x、y满足约束条件y≥0,x−y+1≥0,x+y−3≤0, 则z=2x+y的最大值为________．
满足约束条件 3x+y≥0(x−2)2+y2≤4的点P(x, y)所在平面区域的面积为________．
设命题p：函数y=lg(ax2+ax+1)的定义域为R，若p是真命题，则实数a的取值范围________．
三、解答题（本题共计6小题，17题10分，其它题12分，共计70分.）
若a>0，b>0，求证：(a+b)(1a+1b)≥4．
已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为223，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+42.
(1)求椭圆M的方程；
(2)设直线l：x=ky+m与椭圆M交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求m的值.
已知p:−4
f(x)=x2−2x−8，g(x)=2x2−4x−16.
(1)求不等式g(x)<0的解集；
(2)若对一切x>2，均有f(x)≥(m+2)x−m−15成立，求实数m的取值范围．
某工厂生产的某种产品，当年产量在150吨至250吨之间时，年生产总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的关系可近似地表示成y=x210−30x+4000，问年产量为多少时，每吨的平均成本最低？并求出该最低成本．
已知椭圆x24+y29=1，一组平行直线的斜率是32．
(1)这组直线何时与椭圆相交？
(2)当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上．
参考答案与试题解析
2020-2021学年甘肃省兰州市四片区高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本题共计12小题，每题5分，共计60分.）
1.
【答案】
C
【考点】
四种命题的定义
【解析】
根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，直接写出它的逆否命题即可．
【解答】
命题“若α=π4，则tan α＝1”的逆否命题是
“若tan α≠1，则α≠π4”．
2.
【答案】
D
【考点】
命题的否定
【解析】
利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【解答】
因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，ex≥x+1”的否定是∃x0∈R，ex0
【答案】
C
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
A
【考点】
抛物线的标准方程
平面向量的基本定理及其意义
【解析】
利用题中条件：“OM→=pOA→+2OB→−3OC→”结合四点共面的充要条件，列出方程求出p值．由此可得抛物线y2=2px的准线方程．
【解答】
解：∵ 点M在平面ABC内，且满足OM→=pOA→+2OB→−3OC→，∴ p+2−3=1
解得p=2．
抛物线y2=2px的焦点在x轴上，且开口向右，p=2，∴ p2=1，
∴ 抛物线y2=2px的准线方程为x=−1．
故选A．
5.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
命题的真假判断与应用
四种命题的真假关系
不等式的概念与应用
【解析】
先看原命题，∵ 若ac2>bc2，则c≠0，∴ a>b，由于等价命题同真同假，只要判断原命题和逆命题即可．
【解答】
解：原命题：，∵ 若ac2>bc2，则c≠0，∴ a>b，成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为真；
逆命题：若a>b，则ac2>bc2，不正确，∵ a>b，∴ 关键是c是否为0，∴ 逆命题为假，由等价命题同真同假知否命题也为假，
∴ 命题“设a、b、c∈R，若ac2>bc2，则a>b”的逆命题、否命题、逆否命题中有1个真命题．
故选B
6.
【答案】
A
【考点】
复合命题及其真假判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
A
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
根据|PQ|＝2|QF1|，以及圆的性质，结合直角三角形的性质，建立三角形的边角关系，利用双曲线的定义得到关于a，c的方程进行求解即可．
【解答】
∵ 点P是以F1F2为直径的圆与C右支的一个交点，
∴ 即∠F1PF2为直角，
∴ 则设|QF1|＝m，|PQ|＝2m，
则|F1F2|＝2c，
则|PF2|=4c2−9m2，|QF2|=4c2−5m2，
则|PF1|−|PF2|＝3m−4c2−9m2=2a，①
|QF2|−|QF1|=4c2−5m2−m＝2a，②，
则3m−4c2−9m2=4c2−5m2−m＝2a，
即4m−4c2−9m2=4c2−5m2，
平方整理得45m2＝16c2，
则m2=1645c2，代回②得4c2−5×16c245−4515c＝2a，
即c=5a
即离心率e=ca=5，
8.
【答案】
A
【考点】
抛物线的性质
【解析】
写出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离列方程求得p的值即可．
【解答】
抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F（，0)，
F到双曲线的一条渐近线-＝0的距离为
d＝＝，
化简得+＝，
解得p＝8；
∴ 抛物线的标准方程为y2＝16x．
9.
【答案】
B
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
a→⊥b→，可得a→⋅b→=0，解出即可得出．
【解答】
解：∵ a→⊥b→，
∴ (x−1)(x+2)+x(x−4)=0，
化为：2x2−3x−2=0，
解得x=−12或2．
∴ “a→⊥b→”是“x=2”的必要不充分条件．
故选B.
10.
【答案】
B
【考点】
命题的否定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
11.
【答案】
D
【考点】
四种命题的定义
【解析】
根据命题否定的规则进行求解，注意“且”的否定为：“或”.
【解答】
解：∵ "若x≠a且x≠b，则x2−(a+b)x+ab≠0”，∵ 对且否定是或，对不等于否定是等于.
∴ 其命题的否定为：若x=a或x=b，则x2−(a+b)x+ab=0.
故选D．
12.
【答案】
C
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
根据否命题的定义，写出原命题的否命题，可判断①的真假；
根据特殊命题的否定方法，求出原命题的否定形式，可判断②的真假；
根据复合命题真假判断的真值表，可知当P且q为假命题时，不一定P、q均为假命题，可判断③的真假；
根据正弦型函数的对称性，分析出函数y=sin(2x+φ)为偶函数的充要条件，进而判断④的真假；
【解答】
解：命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的否命题是“若x2−3x+2≠0，则x≠1”，故①错误；
命题P:∃x0∈R，使sinx0>1，则￢P:∀x0∈R，使sinx0≤1，故②正确；
若P且q为假命题，则P与q至少存在一个假命题，可能是一真一假，不一定P、q均为假命题，故③错误；
当“φ=π2+2kπ(k∈Z)”时函数y=sin(2x+φ)为偶函数，但函数y=sin(2x+φ)为偶函数时，“φ=π2+kπ(k∈Z)”，故“φ=π2+2kπ(k∈Z)”是函数y=sin(2x+φ)为偶函数的充分不必要条件，故④错误；
故选C
二、填空题（本题共计4小题，每题5分，共计20分.）
【答案】
必要不充分条件
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．
【解答】
解：当a=5，b=0时，满足a+b>4，
但a>2且b>2不成立，即充分性不成立，
若a>2且b>2，则必有a+b>4，即必要性成立，
故“a+b>4”是“a>2且b>2”的必要不充分条件，
故答案为：必要不充分条件．
【答案】
6
【考点】
求线性目标函数的最值
【解析】
先画出约束条件y≥0x−y+1≥0x+y−3≤0 的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数z＝2x+y的最大值．
【解答】
解：由约束条件y≥0,x−y+1≥0,x+y−3≤0, 得如图所示的三角形区域，
三个顶点坐标为A(1, 2)，B(−1, 0)，C(3, 0),
由z=2x+y可得y=−2x+z，则z表示直线y=−2x+z在y轴上的截距，截距越大，z越大
直线z=2x+y过点 C(3, 0)时，z取得最大值为6.
故答案为：6.
【答案】
10π3+3
【考点】
二元一次不等式（组）与平面区域
圆的标准方程
【解析】
画出约束条件：3x+y≥0(x−2)2+y2≤4的表示的可行域，如图求出圆心角∠OQA的大小，然后再求出阴影部分面积，即求出可行域的面积即可．
【解答】
解：可行域如图阴影部分，
∵ 直线3x+y=0的倾斜角为2π3，∴ ∠QOA=π−2π3=π3，
在等腰三角形AOQ中，∴ ∠OQA=π3，
且QO=QA=2，正三角形AQO的面积=34×22=3，
∴ 阴影部分所在平面区域的面积为：
12×(2π−π3)×2×2+3=10π3+3
故答案为：10π3+3．
【答案】
0≤a<4
【考点】
不等式恒成立问题
命题的真假判断与应用
对数函数的定义域
【解析】
根据对数函数的定义，结合命题的真假性，得出ax2+ax+1>0在R上恒成立，从而求出a的取值范围即可．
【解答】
解：∵ 命题p：函数y=lg(ax2+ax+1)的定义域为R，且p是真命题，
∴ ax2+ax+1>0在R上恒成立；
当a=0时，1>0满足题意；
当a≠0时，有a>0,Δ=a2−4a<0,
解得0
故答案为：0≤a<4．
三、解答题（本题共计6小题，17题10分，其它题12分，共计70分.）
【答案】
证明：左式=1+ba+ab+1
≥2+2ba×ab=4=右式．
∴ (a+b)(1a+1b)≥4．
【考点】
基本不等式
【解析】
本题主要考查证明不等式的方法：综合法和分析法，欲证原不等式成立，只须将左式展开利用基本不等式即可．故利用综合法证明．
【解答】
证明：左式=1+ba+ab+1
≥2+2ba×ab=4=右式．
∴ (a+b)(1a+1b)≥4．
【答案】
解：(1)由题意，可得2a+2c=6+42，即a+c=3+22.
又椭圆的离心率为223，即e=ca=223，
所以a=3，c=22，
所以b2=a2−c2=1，
所以椭圆M的方程为x29+y2=1.
(2)由x=ky+m,x29+y2=1消去x得(k2+9)y2+2kmy+m2−9=0.
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
由韦达定理得y1+y2=−2kmk2+9，y1y2=m2−9k2+9.
因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点C(3, 0)，
所以CA→⋅CB→=0.
由CA→=(x1−3,y1)，CB→=(x2−3,y2)，
得(x1−3)(x2−3)+y1y2=0.
将x1=ky1+m，x2=ky2+m代入上式，
得(k2+1)y1y2+k(m−3)(y1+y2)+(m−3)2=0，
即(k2+1)×m2−9k2+9+k(m−3)×(−2kmk2+9)+(m−3)2=0，
解得m=125或m=3.
【考点】
椭圆的标准方程
圆锥曲线中的定点与定值问题
圆锥曲线的综合问题
【解析】
（1）根据椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+42，椭圆的离心率，建立方程，利用b2=a2−c2，可求椭圆M的方程；
（2）由直线与椭圆方程联立，消元，由以AB为直径的圆过椭圆右顶点C(3, 0)，可得 CA→⋅CB→=0，结合数量积公式及韦达定理，即可求m的值．
【解答】
解：(1)由题意，可得2a+2c=6+42，即a+c=3+22.
又椭圆的离心率为223，即e=ca=223，
所以a=3，c=22，
所以b2=a2−c2=1，
所以椭圆M的方程为x29+y2=1.
(2)由x=ky+m,x29+y2=1消去x得(k2+9)y2+2kmy+m2−9=0.
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
由韦达定理得y1+y2=−2kmk2+9，y1y2=m2−9k2+9.
因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点C(3, 0)，
所以CA→⋅CB→=0.
由CA→=(x1−3,y1)，CB→=(x2−3,y2)，
得(x1−3)(x2−3)+y1y2=0.
将x1=ky1+m，x2=ky2+m代入上式，
得(k2+1)y1y2+k(m−3)(y1+y2)+(m−3)2=0，
即(k2+1)×m2−9k2+9+k(m−3)×(−2kmk2+9)+(m−3)2=0，
解得m=125或m=3.
【答案】
命题p:−4
即￢p⇒￢q，它的等价命题是q⇒p．
所以，
解得−1≤a≤6．
故实数a的取值范围为[1, 6]．
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
解：(1)由g(x)=2x2−4x−16<0，得x2−2x−8<0，
即(x+2)(x−4)<0，解得−2
当x>2时，f(x)≥(m+2)x−m−15成立，
则x2−2x−8≥(m+2)x−m−15成立，
即x2−4x+7≥m(x−1),
所以对一切x>2，均有不等式x2−4x+7x−1≥m成立．
而x2−4x+7x−1=(x−1)+4x−1−2
≥2(x−1)×4x−1−2=2（当x=3时等号成立）．
所以实数m的取值范围是(−∞, 2]．
【考点】
不等式恒成立问题
基本不等式在最值问题中的应用
一元二次不等式的解法
【解析】
(1)直接因式分解后求解不等式的解集；
(2)把函数f(x)的解析式代入f(x)≥(m+2)x−m−15，分离变量m后利用基本不等式求解m的取值范围．
【解答】
解：(1)由g(x)=2x2−4x−16<0，得x2−2x−8<0，
即(x+2)(x−4)<0，解得−2
当x>2时，f(x)≥(m+2)x−m−15成立，
则x2−2x−8≥(m+2)x−m−15成立，
即x2−4x+7≥m(x−1),
所以对一切x>2，均有不等式x2−4x+7x−1≥m成立．
而x2−4x+7x−1=(x−1)+4x−1−2
≥2(x−1)×4x−1−2=2（当x=3时等号成立）．
所以实数m的取值范围是(−∞, 2]．
【答案】
解：当年产量在150吨至250吨之间时，年生产总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的关系
可近似地表示成y=x210−30x+4000，
可得平均成本为：x10+4000x−30≥2x10⋅4000x−30=10，
当且仅当x10=4000x即x=200时取等号，
年产量为200吨时，每吨的平均成本最低，最低为10万元．
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
利用函数的解析式求出平均成本的表达式，利用基本不等式求解即可．
【解答】
解：当年产量在150吨至250吨之间时，年生产总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的关系
可近似地表示成y=x210−30x+4000，
可得平均成本为：x10+4000x−30≥2x10⋅4000x−30=10，
当且仅当x10=4000x即x=200时取等号，
年产量为200吨时，每吨的平均成本最低，最低为10万元．
【答案】
(1)解：设一组平行直线的方程为y=32x+m，
代入椭圆方程，可得：
9x2+494x2+3mx+m2=36，
即为18x2+12mx+4m2−36=0.
由判别式大于0，可得：
144m2−72(4m2−36)>0，
解得−32
(2)证明：由(1)直线和椭圆方程联立，
可得：18x2+12mx+4m2−36=0，
即有x1+x2=−23m，
截得弦的中点为−13m, 12m，
由x=−13m，y=12m，
消去m，可得y=−32x．
则这些直线被椭圆截得的线段的中点在直线y=−32x上．
【考点】
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
圆锥曲线的综合问题
圆锥曲线的轨迹问题
【解析】
（1）设出平行直线的方程：y=32x+m，代入椭圆方程，消去y，由判别式大于0，可得m的范围；
（2）运用中点坐标公式和参数方程，消去m，即可得到所求的结论．
【解答】
(1)解：设一组平行直线的方程为y=32x+m，
代入椭圆方程，可得：
9x2+494x2+3mx+m2=36，
即为18x2+12mx+4m2−36=0.
由判别式大于0，可得：
144m2−72(4m2−36)>0，
解得−32
(2)证明：由(1)直线和椭圆方程联立，
可得：18x2+12mx+4m2−36=0，
即有x1+x2=−23m，
截得弦的中点为−13m, 12m，
由x=−13m，y=12m，
消去m，可得y=−32x．
则这些直线被椭圆截得的线段的中点在直线y=−32x上．
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