2020-2021学年甘肃省天水市高二（上）期末数学试卷（文科）人教A版

这是一份2020-2021学年甘肃省天水市高二（上）期末数学试卷（文科）人教A版，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列四个命题中的真命题为（ ）
A.若sinA=sinB，则∠A=∠BB.任意x∈R，x2+1>0
C.若lgx2=0，则x=1D.存在x∈Z，使1b>0)的焦距为2c，且a，b，c依次成等差数列，则椭圆的离心率为________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共70分）．

求与椭圆x249+y224=1有公共焦点，且离心率e=54的双曲线的方程．

已知椭圆的一个顶点为A(0, −1)，焦点在x轴上．若右焦点到直线x−y+22=0的距离为3．
（1）求椭圆的方程；

（2）求此椭圆的离心率．

当α从0∘到180∘变化时，方程x2+y2csα=1表示的曲线的形状怎样变换？

已知函数f(x)＝xlnx．
（1）求这个函数的导数；

（2）求这个函数的图象在点x＝e处的切线方程．

一边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒．

（1）试把方盒的容积V表示为x的函数．

（2）x多大时，方盒的容积V最大？

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+5，曲线y=f(x)在点P（1, f(1)）处的切线方程为y=3x+1．
（1）求a，b的值；

（2）求y=f(x)在[−3, 1]上的最大值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年甘肃省天水市高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。）
1.
【答案】
B
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
A、特殊值B=30∘A=150∘，进行判断；
B、根据，x2≥0，进行判断；
C、当x=−1，也满足，进行判断；
D、根据x∈Z，可得4x的值；
【解答】
解：A、当B=30∘A=150∘，也成立sinA=sinB，但∠A≠∠B，故A错误；
B、∵ x2≥0，∴ 任意x∈R，x2+1>0，故B正确；
C、若x=−1可得lgx2=0，故C错误；
D、∵ x∈Z，4x={...−8, 4, 0, 4, 8...}，不可能有10)，可得关于a，b的方程组，进而求出a，b的数值即可求出双曲线的方程．
【解答】
依题意，双曲线的焦点坐标是F1(−5, 0)，F2(5, 0)，
故双曲线方程可设为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，
又双曲线的离心率e=54，
∴ a2+b2=255a=54
解之得a＝4，b＝3
故双曲线的方程为x216−y29=1
【答案】
由已知可得b＝1，设椭圆的右焦点坐标为F(c, 0)，
则点F到直线x−y+22=0的距离为d=|c+22|12+12=3，
解得c=2，则a2＝b2+c2＝3，
故椭圆的方程为x23+y2=1；
由（1）知：a=3，c=2，
所以椭圆的离心率为e=ca=63．
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
【解析】
（1）由已知即可求出b的值，然后设出椭圆的右焦点坐标，利用点到直线的距离公式求出c的值，进而可以求解；
（2）根据（1）即可求出椭圆的离心率．
【解答】
由已知可得b＝1，设椭圆的右焦点坐标为F(c, 0)，
则点F到直线x−y+22=0的距离为d=|c+22|12+12=3，
解得c=2，则a2＝b2+c2＝3，
故椭圆的方程为x23+y2=1；
由（1）知：a=3，c=2，
所以椭圆的离心率为e=ca=63．
【答案】
解：当α=0∘时，cs0∘=1，方程x2+y2=1表示圆心在原点的单位圆；
当90∘>α>0∘时，1>csα>0，方程x2+y2csα=1表示中心在原点，焦点在y轴上的椭圆；
当α=90∘时，cs90∘=0，方程x2=1，得x=±1表示与y轴平行的两条直线；
当180∘>α>90∘时，csαα>0∘时，1>csα>0，方程x2+y2csα=1表示中心在原点，焦点在y轴上的椭圆；
当α=90∘时，cs90∘=0，方程x2=1，得x=±1表示与y轴平行的两条直线；
当180∘>α>90∘时，csα0)；
由（1）知，切线的斜率k＝f′(e)＝lne+1＝2，点(e, e)，
代入点斜式方程得：y−e＝2(x−e)，即2x−y−e＝0，
∴ 该函数的图象在x＝e处的切线方程为：2x−y−e＝0．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
（1）直接利用导数的运算法则结合基本初等函数的求导公式得答案；
（2）求出函数在x＝e处的导数，再求出切点坐标，代入直线方程的点斜式得答案．
【解答】
∵ f(x)＝xlnx，
∴ f′(x)＝lnx+1(x>0)；
由（1）知，切线的斜率k＝f′(e)＝lne+1＝2，点(e, e)，
代入点斜式方程得：y−e＝2(x−e)，即2x−y−e＝0，
∴ 该函数的图象在x＝e处的切线方程为：2x−y−e＝0．
【答案】
无盖方盒的容积V=(a−2x)2⋅x,x∈(0,a2)．
因为V=(a−2x)2⋅x,x∈(0,a2)，
所以V′＝12x2−8ax+a2，
令V′＝0得x=a2（舍），或x=a6．
当x∈(0,a6)时，V′>0，当x∈(a6,a2)时，V′0，当x∈(a6,a2)时，V′