专题06 计数原理【专项训练】-高二数学下学期期末专项复习（新人教A版2019）

专题06 计数原理【专项训练】

一、单选题

1．已知，则 （    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】A

【详解】

由，

得，

，

，

所以，

因为，，

上式化为

而，所以.

故选：.

2．展开式中的各二项式系数之和为1024，则的系数是 （    ）

A．-210 B．-960 C．960 D．210

【答案】B

【详解】

由已知得：,∴,

∴展开式的通项公式为,

令,对应系数为：，

故选：B.

3．某校学生志愿者服务团队由3名男同学和2名女同学组成，若从这5名同学中随机选出3人参加社区志愿者活动，且每人被选到的可能性相等，则恰有2名男同学被选中的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由题意知：恰有2名男同学被选中的选法有种，而总选法有种，

∴恰有2名男同学被选中的概率为.

故选：D.

4．的展开式中所有不含的项的系数之和为（    ）

A． B． C．10 D．64

【答案】A

【详解】

在的展开式中，通项公式为

若展开式中的项不含，则，此时符合条件的项为展开式中的所有项.

令，得这些项的系数之和为

故选：

5．已知，若，则（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【详解】

展开式中的系数为，故，

故选：B.

6．植树节那天，有4名同学植树，现有3棵不同种类的树．若一棵树限1人完成，则不同的分配方法有（    ）

A．6种 B．3种

C．81种 D．64种

【答案】D

【详解】

解析：完成这件事需分三步．第1步，植第一棵树有4种不同的分配方法；

第2步，植第二棵树有4种不同的分配方法；

第3步，植第三棵树也有4种不同的分配方法．

由分步乘法计数原理得，共有不同的分配方法4×4×4＝64(种)．

故选：D

7．“3+1+2”高考方案中，“3”是指统一高考的语文､数学､外语3门科目，“1”是指考生在物理､历史两门选择性考试科目中所选择的1门科目，“2”是指考生在思想政治､地理､化学､生物4门选择性考试科目中所选择的2门科目.小明同学非常喜欢化学，所以必选化学，那么他的选择方法数有（    ）

A．4种 B．6种 C．8种 D．12种

【答案】B

【详解】

根据题意，分2步进行分析：

①小明必选化学，需要在思想政治､地理､生物中再选出一门，选法有种，

②小明在物理､历史两门选出一门，选法有种，

∴共有种选择方法，

故选：B.

8．展开式中项的系数为（    ）

A．120 B．240 C．360 D．480

【答案】D

【详解】

因为，所以通项公式为：，

令，所以，

设二项式的通项公式为：，

令，所以，

因此项的系数为：，

故选：D

9．在中国共产党建党百年之际，我们将迎来全面建成小康社会，实现第一个百年目标的伟大胜利.在脱贫攻坚如期收官之后，为更好地解决相对贫困问题，某地着力加强教育脱贫工作.现安排名优秀教师到个贫困县进行支教工作，要求每个贫困县至少安排名教师，则不同的安排方案有（  ）种

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

根据题意，先将5名教师分成4组，有种分法，

将分好的4组安排到4个贫困县，有种安排方式，

由分步计数原理，可得共有种安排方式.

故选：C.

10．若的展开式中各项系数之和为，且常数项为，则该展开式中的系数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

解：令，得，所以，

令，得，所以，故该展开式中的系数为，

故选:C.

二、多选题

11．若，，则（　　）

A． B．

C．  D．

【答案】AC

【详解】

因为

所以令可得：

令可得

故选：AC

12．(多选)已知(x－1)n的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则（    ）

A．n＝7

B．所有项的系数和为0

C．偶数项的系数和为－64

D．展开式的中间项为－35x3和35x4

【答案】ABC

【详解】

由已知，可得2n－1＝64，解得n＝7，(x－1)7的展开式中共有8项．

取代入二项式得所有项的系数和为0，则偶数项的系数和为－64．

展开式的中间项为第4项与第5项，，，

故选：ABC．

13．已知(1-2x)2021=ao+a1x+a2x2+a3x3+…+a2021x2021.（    ）

A．展开式中所有项的二项式系数和为22021 B．展开式中所有奇次项系数和为

C．展开式中所有偶次项系数和为 D．

【答案】ACD

【详解】

A .二项式系数之和为，故A正确；

当，①

当，②

①+②，可得当，

①-②，

故B错误，故C正确；

D.

令，则

令，则

，故D正确

故答案为：ACD

14．关于的二项展开式，下列说法正确的有（    ）

A．展开式各项系数的和为 B．展开式中奇数项的二项式系数和为

C．展开式中存在常数项 D．展开式中含项的系数为

【答案】ABD

【详解】

A.当时，，所以展开式各项系数的和为，故A正确；

B.展开式的奇数项的二项式系数和为，故B正确；

C.，当时，不是整数，所以不存在常数项，故C不正确；

D.令，得，此时展开式中含项的系数是，故D正确.

故选：ABD

15．我国古代著名的数学著作中，《周碑算经》､《九章算术》､《孙子算经》､《五曹算经》､《夏侯阳算经》､《孙丘建算经》､《海岛算经》､《五经算术》､《级术》和《纠古算经》，称为“算经十书”，某老师将其中的《周碑算经》､《九章算术》､《孙子算经》､《五经算术》､《级术》和《纠古算经》6本书分给4名数学爱好者，其中每人至少一本，则不同的分配方法的种数为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【详解】

根据题意，第一类，从6本书中取出3本视作一本书，连同剩余的3本分配给4个人，共有种分法，

第二类，从6本书中取出2本书，再从剩余4本书中取出2本书，平均分堆后连同剩余2本，视作4本书分配给4个人，共有，

由分类加法计数原理可得，不同的分配方法的种数为；

或者先分组再分配，6本书分为4组，

若为1，1，1，3，则有种，再分配给4个人有种，

若为1，1，2，2，则有种，再分配给4个人有种，

则一共有种分配方法.

三、解答题

16．已知(1＋2x－x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14.

（1）求a0＋a1＋a2＋…＋a14；

（2）求a1＋a3＋a5＋…＋a13.

【详解】

(1)令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27＝128.

(2)令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…－a13＋a14＝(－2)7＝－128.

结合（1）得：2(a1＋a3＋…＋a13)＝256，

∴a1＋a3＋a5＋…＋a13＝128.

17．有四个编有的四个不同的盒子，有编有的四个不同的小球，现把小球放入盒子里.

（1）小球全部放入盒子中有多少种不同的放法；

（2）恰有一个盒子没放球有多少种不同的放法；

（3）恰有两个盒子没放球有多少种不同的放法.

【详解】

解：（1）小球全部放入盒子中有种不同的放法；

（2）恰有一个盒子没球有种不同的放法；

（2）恰有两个盒子没放球有种不同的放法

18．已知函数(，).

（1）当时，求的展开式中二项式系数最大的项；

（2）若，且，

①求；

②求(，)的最大值.

【详解】

（1）当时，的展开式共有8项，

二项式系数最大的项为第四项或第五项，

所以或；

（2）①的通项公式为，

且，所以的系数为，解得，

所以的通项公式为，

所以，当时，，

令，，

②设为()中的最大值，则，

解得，即，，所以，

所以.