专题01 空间向量与立体几何【专项训练】-高二数学下学期期末专项复习（新人教A版2019）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知向量，则与的夹角为（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【详解】
向量，2，，，，，
，
．
与的夹角为．
2．平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，则平面与平面的关系是（ ）
A．平行B．重合C．平行或重合D．垂直
【答案】C
【详解】
平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，
，
平面与平面的关系是平行或重合．
3．已知空间直角坐标系中，点关于平面对称点为，点关于轴对称点为点为，则点为（ ）
A．B．6C．4D．
【答案】D
【详解】
点关于平面对称点为，
点关于轴对称点为点为，
所以，
故选：D
4．如图，在三棱锥中，已知，，平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
取的中点为，连接
因为，所以，
因为平面平面，平面平面，平面
所以平面
因为，
所以
如图建立空间直角坐标系，则
所以
所以异面直线与所成角的余弦值为
故选：A
5．已知四边形ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，PD⊥AD，PD＝AD＝2，二面角P-AD-C为60°，则P到AB的距离是（ ）
A．2B．
C．2D．
【答案】D
【详解】
因为ABCD为正方形，所以AD⊥DC.
由⇒∠PDC为二面角P-AD-C的平面角，即∠PDC＝60°.
如图所示，过P作PH⊥DC于H.
∵,∴AD⊥面PDC.,∴AD⊥面PH.
又PH⊥DC, ,∴PH⊥面ABCD,
在平面AC内过H作HE⊥AB于E，连接PE，则PE⊥AB，
所以线段PE即为所求．
以H为坐标原点建立空间直角坐标系，
则
所以,∴
6．如图所示，在空间四边形中，，点在上，且，为中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
故选：B
7．在棱长为2的正方体中，点在棱上，，点是棱的中点，点满足，当平面与平面所成（锐）二面角的余弦值为时，经过三点的截面的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
解：如图，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，
设平面的一个法向量为，则
，取，则，
平面的一个法向量为，
由题意得，解得或（舍去），
延长，设，连接，交于，延长，交的延长线于，连接，交于，则五边形为截面图形，
由题意求得，，，，，，截面五边形如图所示，
则等腰三角形底边上的高为，等腰梯形的高为，
则截面面积为
故选：B
8．在三棱锥中，、、两两垂直且，点为的外接球上任意一点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
因为三棱锥中，、、两两垂直且，
将三棱锥补成正方体，
设三棱锥的外接球半径为，球心为，
则，，
取的中点，连接、，
，则为的外接圆的一条直径，则为的外接圆圆心，
所以，平面，平面，，
，，
由球的几何性质可知，当、、三点共线且点在线段上时，
取得最大值，且.
，，
所以，.
当且仅当时，等号成立.
因此，的最大值为.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．与是共线向量B．与同向的单位向量是
C．和夹角的余弦值是D．平面的一个法向量是
【答案】BD
【详解】
对于A，，，可知，与不共线，A错误；
对于B，，，，即与同向的单位向量是，B正确；
对于C，，，
即和夹角的余弦值为，C错误；
对于D，设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
即平面的一个法向量为，D正确.
故选：BD.
10．(多选)已知平面α的一个法向量＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，若点P(－2，1，z)到α的距离为，则z＝( )
A．－16B．－4
C．4D．16
【答案】AC
【详解】
点A(－1，3，0)，P(－2，1，z)，∴＝(－1，－2，z)
又＝(－2，－2，1)，则d＝＝＝＝，解得：z＝4或－16.
故选：AC.
11．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面是边长为2的正方形D、E分别是BB1、AC的中点，则下列结论成立的是（ ）
A．直线A1D与直线BC是异面直线
B．直线BE与平面A1CD不平行
C．直线AC与直线A1D所成角的余弦值等于
D．直线CD与平面AA1C1C所成角的正弦值等于
【答案】AC
【详解】
解：在A中，∵BC⊂平面BCC1B1，A1D∩平面BCC1B1＝D，D∉BC，平面，
∴由异面直线判定定理得直线A1D与直线BC是异面直线，故A正确；
在B中，由题意知正三棱锥ABC﹣A1B1C1的的所有棱长都为2，
△ABC是边长为2的正三角形，且AE＝EC，
∴BE⊥AC，且BEAC，
∵平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ABC∩平面ACC1A1＝AC，平面，
∴BE⊥平面ACC1A1，
取A1C1中点F，连结EF，则在正方形ACC1A1中，EF⊥AC，
∴以F为坐标原点，直线EA、EF、EB分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
则E（0，0，0），B（0，0，），C（﹣1，0，0），A（1，0，0），A1（1，2，0），C1（﹣1，2，0），D（0，1，），
则（0，0，），（﹣2，2，0），（﹣2，﹣2，0），（1，1，），
∴，
根据向量共面定理，可知与、共面，
∵C，EB⊄平面A1CD，
∴BE∥平面A1CD，故B错误；
在C中，(﹣2，0，0），(﹣1，﹣1，），
∴直线AC与直线A1D所成角的余弦值为：
|cs，故C正确；
在D中，(1，1，)，平面AA1C1C的法向量(0，0，1)，
设直线CD与平面AA1C1C所成角为θ，
则直线CD与平面AA1C1C所成角的正弦值为：
sinθ，故D错误．
故选：AC．
12．如图，已知P为棱长为1的正方体对角线上的一点，且，下面结论中正确结论的有（ ）
A．；
B．当取最小值时，；
C．若，则；
D．若P为的中点，四棱锥的外接球表面积为．
【答案】ABD
【详解】
以D为坐标原点建立如图空间直角坐标系，
则，，设，
，，即，
则可解得，
对A，，，，则，则，故A正确；
对B，
，
则当时，取最小值，故B正确；
对C，，，，
则，
，则，则，
即，则，故C错误；
对于D，当P为中点时，四棱锥为正四棱锥，设平面的中心为O，四棱锥的外接球半径为R，所以，解得，
故四棱锥的外接球表面积为，所以D正确.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则两直线所成角的余弦值为________．
【答案】
【详解】
，所以两直线所成角的余弦值为.
故答案为：
14．如图所示，ABCD-EFGH为边长等于1的正方体，若P点在正方体的内部且满足，则P点到直线AB的距离为________．
【答案】
【详解】
解析：过P作PM⊥平面ABCD于M，过M作MN⊥AB于N，连接PN，则PN即为所求，如图所示．
因为，
所以，
所以.
即P点到直线AB的距离为.
故答案为：.
15．将边长为1，A＝60°的菱形ABDC沿对角线BC折成直二面角，则二面角A-BD-C的正弦值为________．
【答案】
【详解】
取BC中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A，B，D.
所以，，.
由于为平面BCD的一个法向量，
设平面ABD的一个法向量 (x，y，z)，
则 所以
取x＝1，则y＝－，z＝1，
所以 (1，－，1)是平面ABD的一个法向量，
所以，
所以二面角A-BD-C的正弦值为.
16．正方体的棱长为是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，为正方体表面上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是__________．
【答案】
【详解】
当弦MN经过圆心时，弦MN最长，此时，MN=2，以D为原点，如图，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设M,N是上下底面的中心，则，
因为P为正方体面上的点，P在上下两个面相同，P在四个侧面相同，
当P在底面ABCD时，，
当=0或2时，=0或2时，最小为-2；当时，最大为0；
当P在侧面时，，
当=0或2时，=0或2时，最小为-2；当时，最大为0；
所以取值范围：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图所示，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【详解】
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
18．如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．
求证：（1）共面；
（2）求证：．
【详解】
证明：如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
设，，，
则0，，0，，2b，，
2b，，0，，
为AB的中点，F为PC的中点，
0，，b，，
b，，，2b，，

共面.

（2），

．
19．如图，在四棱锥中，平面，，，底面为直角梯形，，，．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
【详解】
（1）连接相交于点，连接.
,可得与相似，则
又,则，所以
又平面，平面，所以平面；
（2）由平面，.
以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系,如图.
由，，
则,,
则,
所以
所以异面直线与所成角的余弦值为
20．如图：直角梯形ABCD中，ADBC，∠ABC=90°，E，F分别为边AD和BC上的点，且EFAB，AD=2AE=2AB=4FC=4，将四边形EFCD沿EF折起成如图的位置，使AD=AE.
（1）求证：BC平面DAE；
（2）求四棱锥D﹣AEFB的体积；
（3）求面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：∵直角梯形ABCD中，ADBC，∠ABC=90°，E，F分别为边AD和BC上的点，且EFAB，
∴CFDE，CF⊂面CBF，DE面CBF，则DE面CBF；
FBAE，FB ⊂面CBF，AE面CBF，则AE面CBF；
又∵AE∩DE=E，DE､AE⊂面DAE
∴面CBF面DAE
又BC⊂面CBF，所以BC平面DAE
（2）取AE的中点H，连接DH
∵EF⊥ED，EF⊥EA，ED∩EA=E
∴EF⊥平面DAE又DH⊂平面DAE，
∴EF⊥DH
∴AE=ED=DA=2，
∴DH⊥AE，DH=，
又AE∩EF=E
∴DH⊥面AEFB…
所以四棱锥D﹣AEFB的体积
（3）如图以AE中点为原点，AE为x轴建立空间直角坐标系
则A(﹣1，0，0)，D(0，0，)，B(﹣1，﹣2，0)，E(1，0，0)，F(1，﹣2，0)
因为，所以C(，﹣2，)
易知是平面ADE的一个法向量，==(0，2，0)
设平面BCD的一个法向量为=(x，y，z)
由
令x=2，则y=2，z=﹣2，∴=(2，2，﹣2)，
∴cs<，>=
所以面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值为
21．如图，四边形为菱形，，四边形为矩形，平面平面，点在上，．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若与平面所成角为，求直线与平面所成角的正弦值．
【详解】
（Ⅰ），，，
平面平面，，平面平面，平面，平面，又平面，，
又，平面，平面．
（Ⅱ）由（1）知：平面，即为与平面所成的角，
，，由平面知：，
设，则，．
连接，以和的交点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设为平面的一个法向量，
则，令，解得：，，，
又
，直线与平面所成角等于直线与平面所成角，
设直线与平面所成角为，则，
直线与平面所成角正弦值为.
22．如图，在直四棱柱中，
（1）求二面角的余弦值；
（2）若点P为棱的中点，点Q在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求的长．
【详解】
解（1）在直四棱柱中，
因为平面，平面，平面，
所以
因为，所以以A为原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，
所以,
所以，
设平面的一个法向量为，则
，令，则，
因为平面，所以平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，由图可知为锐角，
所以二面角的余弦值为
（2）设，则，
因为点为的中点，所以，
则，
设平面的一个法向量为，则
，令，则，
设直线与平面所成角的大小为，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，
解得或（舍去）
所以