专题03 圆锥曲线的方程【专项训练】-高二数学下学期期末专项复习（新人教A版2019）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
由抛物线方程可得，开口向左，
则准线方程为.
故选：D.
2．设抛物线y2=-12x上一点P到y轴的距离是1，则点P到该抛物线焦点的距离是（ ）
A．3B．4C．7D．13
【答案】B
【详解】
依题意，点P到该抛物线的焦点的距离等于点P到其准线x=3的距离，即等于3+1=4.
故选：B
3．双曲线与抛物线的准线交于，两点，若，则双曲线的实轴长为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【详解】
由题意，抛物线的准线，
∴将代入双曲线方程得：，则，
∴，故双曲线的实轴长.
故选：C
4．已知椭圆：的焦点在轴上，，是的短轴的两个端点，是的一个焦点，且，则（ ）
A．B．4C．12D．16
【答案】B
【详解】
依题意，
由于，所以，
所以，
所以.
故选：B
5．已知双曲线，若存在圆心在双曲线的一条渐近线上的圆，它与另一条渐近线、轴都相切，则该双曲线的离心率为（ ）
A．3B．C．D．2
【答案】D
【详解】
双曲线的渐近线为，
设圆心在直线上，其坐标为
则该圆与直线相切，与轴相切
所以，所以，即
故选：D
6．已知，是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，是等腰三角形且底角的余弦值为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
，是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，不妨在第一象限，如图：
是等腰三角形且底角的余弦值为，
可得，，所以，
可得，，
所以，
双曲线的渐近线方程为：．
故选：．
7．大庆体育场由于形似国家体育场，被大庆人称为“大庆鸟巢”，国家体育场（鸟巢）是第24届冬季奥林匹克运动会开、闭幕式的场馆．第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
若内层椭圆方程为，由离心率相同，可设外层椭圆方程为，
∴，设切线为，切线为，
∴，整理得，由知：，整理得，
同理，，可得，
∴，即，故.
8．在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)，动点M满足以MA为直径的圆与y轴相切，已知B(2，1)，则|MA|+|MB|的最小值为( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】
设M(x，y)，以MA为直径的圆的圆心为，
又由动点M满足以MA为直径的圆与y轴相切，则有，
整理得：y2＝4x，
则M的轨迹是抛物线，其焦点为A(1，0)，准线l为x＝-1，
如图，过M作MD⊥l于D，|MA|=|MD|，
|MA|+|MB|=|MD|+|MB|≥|BD|，当且仅当B、M、D三点共线时取“=”，
|MA|+|MB|取得最小值为|BD|＝2-(-1)＝3．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知椭圆C：，则下列结论正确的是（ ）
A．长轴长为B．焦距为
C．焦点坐标为：D．离心率为
【答案】CD
【详解】
由椭圆方程化为标准方程可得，
所以 ，
所以长轴长为，焦距，焦点坐标为，
短轴长为，离心率.
故选：CD
10．已知双曲线C：（mn＞0）的渐近线方程为，则该双曲线的方程可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【详解】
对于选项A：的渐近线方程为，正确；
对于选项B：的渐近线方程为，错误；
对于选项C：的渐近线方程为，正确；
对于选项D：的渐近线方程为，错误；
故选：AC.
11．已知抛物线x2＝8y上的点P到其准线的距离为4，直线l交抛物线于A，B两点，且AB的中点为Q(4，3)，则P到直线l的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【详解】
设，则，故，故，所以.
设，
由，故，
因为的中点为，故，故，此时满足，直线的方程为，
若，则到直线的距离为；
若，则到直线的距离为；
故选：AC.
12．已知椭圆：的左､右端点分别为，，点，是椭圆上关于原点对称的两点(异于左右端点)，且，则下列说法正确的有（ ）
A．椭圆的离心率为B．椭圆的离心率不确定
C．的值受点，的位置影响D．的最小值为
【答案】AD
【详解】
解：设，则，
因为，
所以，
因为，所以，
所以，
所以离心率，所以A正确，B错误；
因为点，是椭圆上关于原点对称的两点，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为，所以，不受，位置影响，所以C错误；
设，由题意得，则有，
所以，
当且仅当时取等号，即当时，即当点为短轴的端点时最大，此时最小，，
，
所以，
所以D正确，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．抛物线的焦点为椭圆＋＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为________．
【答案】x2＝－4y
【详解】
由椭圆方程知，a2＝9，b2＝4，焦点在y轴上，下焦点坐标为(0，－c)，其中c＝＝.所以抛物线焦点坐标为(0，－)，所以抛物线方程为x2＝－4y.
14．已知是椭圆上的任意一点，若，则___________.
【答案】4
【详解】
解：由椭圆的方程知：，
由椭圆的定义知：，
所以
15．已知F为椭圆的右焦点，A为椭圆C的左顶点，P是椭圆C上一点，且PF垂直于x轴，若直线AP的斜率为，则椭圆C的离心率为__．
【答案】
【详解】
解：设直线AP的倾斜角为θ，在Rt△PAF中，
由题意可得tanθ＝＝，整理可得3b2＝（a2+ac），
即3（a2﹣c2）＝（a2+ac），
可得3e2+e﹣3+＝0，解得e＝﹣1（舍去），e＝．
16．已知双曲线Γ：﹣＝1（a＞0，b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于y轴的直线与Γ交于A，B两点，AF2，BF2分别交x轴于点C，D，若|CF2|+|DF2|＝12，则过点M（a，b2），N（﹣2，0）的直线的斜率的最大值为__．
【答案】4
【详解】
解：由题意可得，|CF2|＝，，
因为|CF2|+|DF2|＝12，所以，所以|AF2|+|BF2|＝24，
根据双曲线的定义可得：（2a+|AF1|）+（2a+|BF1|）＝24，
所以4a+|AB|＝24，则4a+＝24，所以b2＝2a（6﹣a）（0＜a＜6），
所以过点M（a，b2），N（﹣2，0）的直线的斜率为
，当且仅当a+2＝即a＝2时取等号，所以过点M，N的直线的斜率的最大值为4，
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点在坐标轴上，且经过A(，－2)和B(－2，1)两点；
（2）a＝4，c＝；
（3）过点P(－3，2)，且与椭圆有相同的焦点．
【详解】
（1）设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
由和两点在椭圆上可得
，即，
解得．
故所求椭圆的标准方程为．
（2）因为a＝4，所以b2＝a2－c2＝1，
所以当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程是；当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程是．
（3）因为所求的椭圆与椭圆的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且c2＝5．
设所求椭圆的标准方程为．
因为所求椭圆过点P(－3，2)，所以有①
又a2－b2＝c2＝5，②
由①②解得a2＝15，b2＝10．
故所求椭圆的标准方程为．
18．已知抛物线的焦点为F，为抛物线C上的点，且.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线与抛物线C相交于A，B两点，求弦长.
【详解】
（1），
所以，即抛物线C的方程.
（2）设，
由得
所以，
所以
.
19．如图，若是双曲线的两个焦点.
（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
（2）若P是双曲线左支上的点，且，试求的面积.
【详解】
解：（1）是双曲线的两个焦点，则，
点M到它的一个焦点的距离等于16，设点到另一个焦点的距离为，
则由双曲线定义可知，，解得或，
即点到另一个焦点的距离为或；
（2）P是双曲线左支上的点，则，
则，而，
所以，
即，
所以为直角三角形，，
所以.
20．已知椭圆＝1上一点M（x0，y0），且x0＜0，y0＝2．
（1）求x0的值；
（2）求过点M且与椭圆＝1共焦点的椭圆的方程．
【详解】
（1）把M的纵坐标代入＝1，得＝1，即x2＝9．∴x＝±3．又x0＜0，故M的横坐标x0＝﹣3．
（2）对于椭圆＝1，焦点在x轴上且c2＝9﹣4＝5，故设所求椭圆的方程为＝1（a2＞5），
把M点坐标代入得＝1，解得a2＝15（a2＝3舍去）．
故所求椭圆的方程为＝1．
21．如图，设曲线过抛物线的焦点，直线过与从下到上依次交于，，与交于，，直线过与从下到上依次交于，，与交于，，直线，的斜率乘积为．
（1）求，两点的纵坐标之积；
（2）设，，的面积分别为，，，求的值．
【详解】
解：（1）由，令，得，所以，所以，
所以抛物线，
设直线的方程为，则直线的斜率为，
由，得，解得或，所以点的纵坐标为，
设直线的方程为，则直线的斜率为，同理可得点的纵坐标为，
因为直线，的斜率乘积为，
所以，
所以，两点的纵坐标之积为，
（2）由（1）知，设，
由，得，所以，
所以，
，
同理，
设,则
因为，，
所以
，
所以
22．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，平行于轴的直线经过点，且与椭圆交于，两点，四边形的面积为6.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点是椭圆上一动点，直线，分别与椭圆交于点，，试问：是否为定值?若是，求出该定值.
【详解】
解：（1）椭圆的离心率为，
，
，
.①
由题意将代入椭圆方程可得，
，
，
.②
解①②可得，，
椭圆的标准方程为.
（2）设，，，
当时，设直线，的方程分别为，，
由
，，，
，
，
，
，
同理由
.
.
当时，直线，与轴重合，
.
综上，.