专题06 计数原理【知识梳理】-高二数学下学期期末专项复习（新人教A版2019）
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一、两个基本计数原理
1.分类加法计数原理
做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法.则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法，……，做第n个步骤有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法.
3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.
【例题1】甲、乙、丙三个同学报名参加学校运动会中设立的跳高、铅球、跳远、100米比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名方法（ ）
A．12 B．24 C．64 D．81
【答案】C
【详解】
甲、乙、丙三个同学报名参加学校运动会中设立的跳高、铅球、跳远、100米比赛，每人限报一项, 每人有4种报名方法，
根据分步计数原理，可知共有种不同的报名方法.
故选：C
【例题2】某寝室6名同学打算在“五一假期（1日至5日）”中，随便选择一天参加志愿者活动，则不同的参加种数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
根据分步乘法计数原理，共有种不同的参加种数，
故选：D
【跟踪训练1】若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ）
A．6种 B．24种 C．64种 D．81种
【跟踪训练2】某医院研究所研制了5种消炎药X1，X2，X3，X4，X5和4种退烧药T1，T2，T3，T4，现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效试验．又知X1，X2两种消炎药必须同时搭配使用，但X3和T4两种药不能同时使用，则不同的试验方案有（ ）
A．16种 B．15种
C．14种 D．13种
【跟踪训练3】将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法共有（ ）
A．48种 B．72种 C．96种 D．108种
二、排列与组合
1.排列与组合的概念
名称 | 定义 |
|
排列 | 从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素 | 按照一定的顺序排成一列 |
组合 | 合成一组 |
2.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.
3.排列数、组合数的公式及性质
公式 | (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝. (2)C＝＝ ＝(n，m∈N+，且m≤n).特别地C＝1 |
性质 | (1)0！＝1；A＝n！. (2)C＝C；C＝C＋C |
【例题1】用0，1，2，…，9这十个数字可组成无重复数字的三位数的个数是（ ）
A． B．
C．－ D．
【答案】A
【详解】
百位上有9种排法，其他数位上有A种排法，故共有9A个三位数；
如用排除法，应为(A－A)个．
故选：A．
【例题2】用0，1，2，3，4组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ）
A．24 B．48 C．60 D．72
【答案】C
【详解】
当个位数为0时，有个，
当个位数为2或4时，有个，
所以无重复数字的四位偶数有24+36=60个，
故选：C
【跟踪训练1】若将9名会员分成三组讨论问题，每组3人，则不同的分组方法种数有（ ）
A． B．
C． D．
【跟踪训练2】若从这个整数中取个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有（ ）
A．种 B．种
C．种 D．种
【跟踪训练3】3张卡片正反面分别标有数字1和2，3和4，5和7.若将3张卡片并列组成一个三位数，可以得到不同的三位数的个数为（ ）
A．30 B．48
C．60 D．96
三、二项式定理
1.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N+)；
(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
2.二项式系数的性质
性质 | 性质描述 | |
对称性 | 与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C | |
增减性 | 二项式系数C | 当k＜(n∈N+)时，是递增的 |
当k＞(n∈N+)时，是递减的 | ||
二项式 系数最 大值 | 当n为偶数时，中间的一项取得最大值 | |
当n为奇数时，中间的两项与取得最大值 | ||
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
【例题1】在的二项展开式中，的系数是（ ）
A．8 B． C．10 D．
【答案】D
【详解】
的二项展开式的通项公式为：，
要求的系数，只需，解得：r=1.
所以的系数是：.
故选：D.
【例题2】的展开式中的系数为（ ）
A．25 B．15 C． D．
【答案】A
【详解】
解：因为，又展开式的通项为，所以含的项有，故的系数为，
故选：A
【跟踪训练1】已知，则的值等于（ ）
A．31 B．32 C．63 D．64
【跟踪训练2】的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练3】在的展开式中，若常数项为21，则a=（ ）
A． B．2 C．3 D．4
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