2022版新高考数学一轮总复习课后集训：65+古典概型与几何概型+Word版含解析

课后限时集训(六十五)

古典概型与几何概型

建议用时：40分钟

一、选择题

1．(2020·全国卷Ⅰ)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为(　　)

A. B． 

C. D．

A　[根据题意作出图形，如图所示，在O，A，B，C，D中任取3点，有10种可能情况，分别为(OAB)，(OAC)，(OAD)，(OBC)，(OBD)，(OCD)，(ABC)，(ABD)，(ACD)，(BCD)，其中取到的3点共线有(OAC)和(OBD)2种可能情况，所以在O，A，B，C，D中任取3点，取到的3点共线的概率为＝，故选A.]

2．“上医医国”出自《国语·晋语八》，比喻高贤能治理好国家．现把这四个字分别写在四张卡片上，其中“上”字已经排好，某幼童把剩余的三张卡片进行排列，则该幼童能将这句话排列正确的概率是(　　)

A. B． 

C. D．

A　[幼童把这三张卡片进行随机排列，基本事件总数n＝3，∴该幼童能将这句话排列正确的概率P＝.故选A.]

3．《易经》是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面、一枚反面的概率为(　　)

A. B． 

C. D．

C　[抛掷三枚古钱币出现的基本事件有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反，共8种，其中出现两正一反的共有3种，故所求概率为.故选C.]

4．某公司的班车在7：00,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(　　)

A. B． 

C. D．

B　[如图所示，画出时间轴．

小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型的概率计算公式，

得所求概率P＝＝，故选B.]

5.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形板、一块正方形板和一块平行四边形板组成．如图，是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为(　　)

A. B． 

C. D．

D　[设图中最小正方形的边长为a，

则此点取自阴影部分的概率P＝＝＝.故选D.]

二、填空题

6．(2019·江苏高考)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________．

　[从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n＝10，

选出的2名同学中没有女同学包含的基本事件个数：m＝3，∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p＝1－＝1－＝.]

7．有一个底面半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．

　[由题意得该圆柱的体积V＝π×12×2＝2π.圆柱内满足点P到点O的距离小于等于1的几何体为以圆柱底面圆心为球心的半球，且此半球的体积V1＝ × π×13＝π，

所以所求概率P＝＝.]

8.如图所示的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为________．

0.3　[依题意，记题中被污损的数字为x，若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，则有(8＋9＋2＋1)－(5＋3＋x＋5)≤0，解得x≥7，即此时x的可能取值是7,8,9，因此甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率P＝＝0.3.]

三、解答题

9．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．

(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？

(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．

①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．

[解]　(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．

(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．

②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．

所以，事件M发生的概率P(M)＝.

10．某学校为担任班主任的教师办理手机语音月卡套餐，为了解通话时长，采用随机抽样的方法，得到该校100位班主任每人的月平均通话时长T(单位：分钟)的数据，其频率分布直方图如图所示，将频率视为概率．

(1)求图中m的值；

(2)估计该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数；

(3)在[450,500)，[500,550]这两组中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人恰在同一组的概率．

[解]　(1)依题意，根据频率分布直方图的性质，可得：

50×(m＋0.004 0＋0.005 0＋0.006 6＋0.001 6＋0.000 8)＝1，解得m＝0.002 0.

(2)设该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为t.

因为前2组的频率之和为(0.002 0＋0.004 0)×50＝0.3<0.5，

前3组的频率之和为(0.002 0＋0.004 0＋0.005 0)×50＝0.55>0.5，

所以350<t<400，

由0.3＋0.0050×(t－350)＝0.5，得t＝390.

所以该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为390分钟．

(3)由题意，可得在[450,500)内抽取6×＝4人，分别记为a，b，c，d，

在[500,550]内抽取2人，记为e，f，

则6人中抽取2人的取法有：{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{a，f}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{b，f}，{c，d}，{c，e}，{c，f}，{d，e}，{d，f}，{e，f}，共15种等可能的取法．

其中抽取的2人恰在同一组的有{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{e，f}，共7种取法，所以从这6人中随机抽取的2人恰在同一组的概率P＝.

1．在区间[0，π]上随机地取一个数x，则事件“sin x≤”发生的概率为(　　)

A. B． 

C. D．

D　[在[0，π]上，当x∈∪时，sin x≤，故概率为＝.]

2．(多选)已知甲罐中有四个相同的小球，标号1,2,3,4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1,2,3,5,6.现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A＝“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B＝“抽取的两个小球标号之积大于8”，则(　　)

A．事件A发生的概率为

B．事件A∪B发生的概率为

C．事件A∩B发生的概率为

D．从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为

BC　[甲罐中有四个相同的小球，标号1,2,3,4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1,2,3,5,6.

现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A＝“抽取的两个小球标号之和大于5”，

事件B＝“抽取的两个小球标号之积大于8”，

对于A，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，基本事件总数n＝4×5＝20，

事件A包含的基本事件有：(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,5)，(3,6)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，共11个，

∴P(A)＝，故A错误；

对于B，事件A∪B包含的基本事件有：(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,5)，(3,6)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，共11个，

∴P(A∪B)＝，故B正确；

对于C，事件A∩B包含的基本事件有(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,5)，(3,6)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，共8个，

∴P(A∩B)＝＝，故C正确；

对于D，从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为P＝＝，故D错误．

故选BC.]

3．甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”．从上述回答分析，丙是第一名的概率是________．

　[因为甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊，又考虑到所有的限制条件对丙、丁、戊都没有影响，所以这三个人获得第一名是等概率事件，所以丙是第一名的概率是.]

4．已知向量a＝(－2,1)，b＝(x，y)．

(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率；

(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b<0的概率．

[解]　(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36，

由a·b＝－1，得－2x＋y＝－1，

所以满足a·b＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个．

故满足a·b＝－1的概率为＝.

(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝

{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}．

满足a·b<0的基本事件的结果为A＝

{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且－2x＋y<0}．

画出图象如图所示，矩形的面积为S矩形＝25，

阴影部分的面积为S阴影＝25－×2×4＝21，

故满足a·b<0的概率为.

1．(多选)(2020·湖北武汉质监改编)同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次，记事件A＝{第一个四面体向下的一面出现偶数}；事件B＝{第二个四面体向下的一面出现奇数}；事件C＝{两个四面体向下的一面同时出现奇数，或者同时出现偶数}．下列说法正确的是(　　)

A．P(A)＝P(B)＝P(C)

B．P(AB)＝P(AC)＝P(BC)

C．P(ABC)＝

D．P(A)P(B)P(C)＝

ABD　[由古典概型的概率计算公式，得P(A)＝P(B)＝＝，P(C)＝＝，所以P(A)＝P(B)＝P(C)＝，A正确；P(A)P(B)P(C)＝，D正确；而事件A，B，C不可能同时发生，故P(ABC)＝0，所以C不正确；又P(AB)＝＝，P(AC)＝＝，P(BC)＝＝，所以P(AB)＝P(AC)＝P(BC)，B正确．故选ABD.]

2．某人有4把钥匙，其中2把能打开门．现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是________．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是________．

　　[第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开的概率为＝；

如果试过的钥匙不扔掉，这个概率为＝.]