2022版新高考数学一轮总复习课后集训：68+离散型随机变量的均值与方差、正态分布+Word版含解析

这是一份2022版新高考数学一轮总复习课后集训：68+离散型随机变量的均值与方差、正态分布+Word版含解析，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


课后限时集训(六十八)
离散型随机变量的均值与方差、正态分布
建议用时：40分钟

一、选择题
1．同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则X的数学期望是(　　)
A．1 B．2
C． D．
A　[∵一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率为×＝，
∴X～B，∴E(X)＝4×＝1.故选A.]
2．在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，若P(0<ξ<1)＝0.4，则P(0<ξ<2)＝(　　)
A．0.4 B．0.8
C．0.6 D．0.2
B　[由正态分布的图象和性质得P(0<ξ<2)＝2P(0<ξ<1)＝2×0.4＝0.8.故选B.]
3．(多选)设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
q
0.4
0.1
0.2
0.2
若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有(　　)
A．q＝0.1 B．E(X)＝2，D(X)＝1.4
C．E(X)＝2，D(X)＝1.8 D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2
ACD　[由离散型随机变量X的分布列的性质得：
q＝1－0.4－0.1－0.2－0.2＝0.1，
E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，
D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，
∵离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，
∴E(Y)＝2E(X)＋1＝5，
D(Y)＝4D(X)＝7.2.
故选ACD.]
4．(多选)设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，且X落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(1,3)内的概率相等．若P(X＞2)＝p，则下列结论正确的有
(　　)
A．μ＝0 B．σ＝2
C．P(0＜X＜2)＝－p D．P(X＜－2)＝1－p
AC　[∵正态分布N(μ，σ2)关于x＝μ对称，又X落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(1,3)内的概率相等，
∴μ＝0，故A正确；
∵正态分布N(μ，σ2)关于x＝μ对称，∴P(X＞0)＝，则P(0＜X＜2)＝P(X＞0)－P(X≥2)＝－p，故C正确；
P(X＜－2)＝P(X＞2)＝p，σ不确定，故B，D错误．
故选AC.]
5．(2020·全国卷Ⅲ)在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且pi＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是(　　)
A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4
B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1
C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3
D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2
B　[对于A，当p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4时，随机变量X1的分布列为
X1
1
2
3
4
P
0.1
0.4
0.4
0.1
E(X1)＝1×0.1＋2×0.4＋3×0.4＋4×0.1＝2.5，D(X1)＝(1－2.5)2×0.1＋(2－2.5)2×0.4＋(3－2.5)2×0.4＋(4－2.5)2×0.1＝1.52×0.1＋0.52×0.4＋0.52×0.4＋1.52×0.1＝0.65，所以＝.
对于B，当p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1时，随机变量X2的分布列为
X2
1
2
3
4
P
0.4
0.1
0.1
0.4
E(X2)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.1＋4×0.4＝2.5，D(X2)＝(1－2.5)2×0.4＋(2－2.5)2×0.1＋(3－2.5)2×0.1＋(4－2.5)2×0.4＝1.52×0.4＋0.52×0.1＋0.52×0.1＋1.52×0.4＝1.85，所以＝.
对于C，当p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3时，随机变量X3的分布列为
X3
1
2
3
4
P
0.2
0.3
0.3
0.2
E(X3)＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.3＋4×0.2＝2.5，D(X3)＝(1－2.5)2×0.2＋(2－2.5)2×0.3＋(3－2.5)2×0.3＋(4－2.5)2×0.2＝1.52×0.2＋0.52×0.3＋0.52×0.3＋1.52×0.2＝1.05，所以＝.
对于D，当p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2时，随机变量X4的分布列为
X4
1
2
3
4
P
0.3
0.2
0.2
0.3
E(X4)＝1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.3＝2.5，D(X4)＝(1－2.5)2×0.3＋(2－2.5)2×0.2＋(3－2.5)2×0.2＋(4－2.5)2×0.3＝1.52×0.3＋0.52×0.2＋0.52×0.2＋1.52×0.3＝1.45，所以＝.所以B中的标准差最大．]
二、填空题
6．设X为随机变量，X～B，若随机变量X的均值E(X)＝2，则P(X＝2)等于________．
　[由X～B，E(X)＝2，得
np＝n＝2，∴n＝6，
则P(X＝2)＝C24＝.]
7．某超市经营的某种包装优质东北大米的质量X(单位：kg)服从正态分布N(25,0.22)，任意选取一袋这种大米，质量在24.8～25.4 kg的概率为________．(附：若Z～N(μ，σ2)，则P(|Z－μ|＜σ)＝0.682 7，P(|Z－μ|＜2σ)＝0.954 5，P(|Z－μ|＜3σ)＝0.997 3)
0.818 6　[∵X～N(25,0.22)，∴μ＝25，σ＝0.2.
∴P(24.8≤X≤25.4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋2σ)＝×(0.682 7＋0.954 5)＝0.818 6.]
8．(2021·全国统一考试模拟演练)对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果，已知最后结果的误差εn～N，为使误差εn在(－0.5，0.5)的概率不小于0.954 5，至少要测量________次(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|＜2σ)＝0.954 5)．
32　[P(|X－μ|＜2σ)＝0.954 5，又μ＝0，σ2＝，即P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝P＝0.954 5，由题意2σ≤0.5，即2≤，所以n≥32.]
三、解答题
9．大豆是我国主要的农作物之一，因此，大豆在农业发展中占有重要的地位，随着农业技术的不断发展，为了使大豆得到更好的种植，就要进行超级种培育研究．某种植基地培育的“超级豆”种子进行种植测试：选择一块营养均衡的可种植4株的实验田地，每株放入三粒“超级豆”种子，且至少要有一粒种子发芽这株豆苗就能有效成活，每株豆成活苗可以收成大豆2.205 kg.已知每粒豆苗种子成活的概率为(假设种子之间及外部条件一致，发芽相互没有影响)．
(1)求恰好有3株成活的概率；
(2)记成活的豆苗株数为ξ，收成为η(kg)，求随机变量ξ分布列及η的数学期望E(η)．
[解]　(1)设每株豆子成活的概率为P0，则P0＝1－3＝.所以4株中恰好有3株成活的概率P＝C31＝.
(2)记成活的豆苗株数为ξ，收成为η＝2.205ξ，
则ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B，所以ξ的分布列如下表：

ξ
0
1
2
3
4
P
C4
C1·
3
C2·
2
C3·
1
C4
∴E(ξ)＝4×＝3.5，
E(η)＝E(2.205ξ)＝2.205·E(ξ)＝7.717 5(kg)．
10．(2020·合肥第一次教学检测)“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地．为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：
研学游类型
科技体验游
民俗人文游
自然风光游
学校数
40
40
20
该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”的学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响)．
(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；
(2)设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
[解]　(1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为，选择“自然风光游”的概率为，
若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择的概率为P＝C2＋C2＝.
(2)X的可能取值为0,1,2,3.
则P(X＝0)＝C3＝，
P(X＝1)＝C2＝，
P(X＝2)＝C2＝，
P(X＝3)＝C3＝，
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P




∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

1．已知随机变量ξ的分布列如下：
ξ
0
1
2
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为(　　)
A． B．
C． D．
B　[由题意知a，b，c∈[0,1]，且解得b＝，又函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，故对于方程x2＋2x＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P(ξ＝1)＝.]
2．体育课的排球发球项目考试的规则是：每名学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生每次发球成功的概率为p(0＜p＜1)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)＞1.75，则p的取值范围是
(　　)
A． B．
C． D．
C　[由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，
P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则E(X)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3＞1.75，解得p＞或p＜.由p∈(0,1)，可得p∈.]
3．在一次随机试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数为ξ，则数学期望E(ξ)＝________，方差D(ξ)的最大值为________．
p　　[记事件A发生的次数ξ可能的值为0,1.
ξ
0
1
P
1－p
p
数学期望E(ξ)＝0×(1－p)＋1×p＝p，
方差D(ξ)＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2×p＝p(1－p)≤.
故数学期望E(ξ)＝p，方差D(ξ)的最大值为.]
4．(2020·广州市调研检测)某城市A公司外卖配送员底薪是每月1 800元/人，设每月每人配送的单数为X，若X∈[1,300]，配送员每单提成3元；若X∈(300,600]，配送员每单提成4元；若X∈(600，＋∞)，配送员每单提成4.5元．B公司外卖配送员底薪是每月2 100元/人，设每月每人配送的单数为Y，若Y∈[1,400]，配送员每单提成3元；若Y∈(400，＋∞)，配送员每单提成4元．小王计划在A公司和B公司之间选择一份外卖配送员工作，他随机调查了A公司外卖配送员甲和B公司外卖配送员乙在9月份(30天)的送餐量数据，如下表：
表1：A公司外卖配送员甲送餐量统计
日送餐量x/单
13
14
16
17
18
20
天数
2
6
12
6
2
2
表2：B公司外卖配送员乙送餐量统计
日送餐量y/单
11
13
14
15
16
18
天数
4
5
12
3
5
1
(1)设A公司外卖配送员月工资为f(X)(单位：元/人)，B公司外卖配送员月工资为g(Y)(单位：元/人)，当X＝Y且X，Y∈(300,600]时，比较f(X)与g(Y)的大小．
(2)若将甲、乙9月份的日送餐量的频率视为对应公司日送餐量的概率．
(ⅰ)分别计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望；
(ⅱ)请利用你所学的知识为小王作出选择，并说明理由．
[解]　(1)因为X＝Y且X，Y∈(300,600]，所以g(X)＝g(Y)，
当X∈(300,400]时，f(X)－g(X)＝(1 800＋4X)－(2 100＋3X)＝X－300＞0.
当X∈(400,600]时，f(X)－g(X)＝(1 800＋4X)－(2 100＋4X)＝－300＜0.
故当X∈(300,400]时，f(X)＞g(X)，当X∈(400,600]时，f(X)＜g(X)．
(2)(ⅰ)甲的日送餐量x的分布列为：
x
13
14
16
17
18
20
P






则E(x)＝13×＋14×＋16×＋17×＋18×＋20×＝16.
乙的日送餐量y的分布列为：
y
11
13
14
15
16
18
P






则E(y)＝11×＋13×＋14×＋15×＋16×＋18×＝14.
(ⅱ)E(X)＝30E(x)＝480∈(300,600]，E(Y)＝30E(y)＝420∈(400，＋∞)．
估计A公司外卖配送员月薪平均为1 800＋4E(X)＝3 720(元)．
估计B公司外卖配送员月薪平均为2 100＋4E(Y)＝3 780(元)．
因为3 780＞3 720，所以小王应选择做B公司外卖配送员．

武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城．其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等．
(1)为了解“五一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1 000人，制成了如下的频率分布直方图：

现从年龄在[42,52]内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记这4人中年龄在[47,52]内的人数为ξ，求P(ξ＝3)．
(2)为了给游客提供更舒适的旅游体验，某旅游景点游船中心计划在2022年劳动节当日投入至少1艘至多3艘A型游船供游客乘坐观光．由2010年到2019年这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量X(单位：万人)都大于1.将每年劳动节当日客流量分成3个区间整理得下表：
劳动节当日客流量X
1＜X＜3
3≤X≤5
X＞5
频数
2
4
4
以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立．
该游船中心希望投入的A型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日A型游船最多使用量(单位：艘)要受当日客流量X(单位：万人)的影响，其关系如下表：
劳动节当日客流量X
1＜X＜3
3≤X≤5
X＞5
A型游船最多使用量
1
2
3
若某艘A型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘A型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元．记Y(单位：万元)表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，Y的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2022年劳动节当日应投入多少艘A型游船才能使其当日获得的总利润最大？
[解]　(1)年龄在[42,47)内的游客人数为150，年龄在[47,52]内的游客人数为100.若采用分层抽样的方法抽取10人，则年龄在[42,47)内的游客人数为6，年龄在[47,52]内的游客人数为4.
所以P(ξ＝3)＝＝.
(2)①当投入1艘A型游船时，因客流量总大于1，则E(Y)＝3(万元)．
②当投入2艘A型游船时，
若1＜X＜3，则Y＝3－0.5＝2.5，此时P(Y＝2.5)＝P(1＜X＜3)＝＝；
若X≥3，则Y＝3×2＝6，此时P(Y＝6)＝P(3≤X≤5)＋P(X＞5)＝.
此时Y的分布列如表：
Y
2.5
6
P


此时E(Y)＝2.5×＋6×＝5.3(万元)．
③当投入3艘A型游船时，
若1＜X＜3，则Y＝3－1＝2，此时P(Y＝2)＝P(1＜X＜3)＝＝；
若3≤X≤5，则Y＝3×2－0.5＝5.5，此时P(Y＝5.5)＝P(3≤X≤5)＝；
若X＞5，则Y＝3×3＝9，此时P(Y＝9)＝P(X＞5)＝.
此时Y的分布列如表：
Y
2
5.5
9
P



此时E(Y)＝2×＋5.5×＋9×＝6.2(万元)．
由于6.2＞5.3＞3，则该游船中心在2022年劳动节当日应投入3艘A型游船才能使其当日获得的总利润最大．