2022版新高考数学一轮总复习课后集训：66+离散型随机变量及其分布列+Word版含解析

课后限时集训(六十六)　

离散型随机变量及其分布列

建议用时：40分钟

一、选择题

1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于(　　)

A．0 B． 

C． D．

C　[由已知得X的所有可能取值为0,1，

且P(X＝1)＝2P(X＝0)，

由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得P(X＝0)＝.]

2．若离散型随机变量X的分布列为

则常数c的值为(　　)

A．或 B． 

C． D．1

C　[根据离散型随机变量分布列的性质知

解得c＝.]

3．(多选)设随机变量ξ的分布列为P＝ak(k＝1,2,3,4,5)，则(　　)

A．15a＝1

B．P(0.5＜ξ＜0.8)＝0.2

C．P(0.1＜ξ＜0.5)＝0.2

D．P(ξ＝1)＝0.3

ABC　[由题意可得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，即15a＝1，故A正确；

P(0.5＜ξ＜0.8)＝P(ξ＝0.6)＝3a＝＝0.2，故B正确；

P(0.1＜ξ＜0.5)＝P(ξ＝0.2)＋P(ξ＝0.4)＝×1＋×2＝＝0.2，故C正确；

P(ξ＝1)＝×5＝，故D不正确．

故选ABC.]

4．(多选)设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列如下，则下列结论正确的有(　　)

A．E(ξ)随着p的增大而增大

B．E(ξ)随着p的增大而减小

C．P(ξ＝0)＜P(ξ＝2)

D．P(ξ＝2)的值最大

BC　[∵E(ξ)＝p2＋2－2p,0＜p＜1，

∴E(ξ)随着p的增大而减小，故A错误，B正确；

∵0＜p＜1，

∴P(ξ＝0)－P(ξ＝2)＝p－p2－1＋p＝－p2＋2p－1＜0，

∴P(ξ＝0)＜P(ξ＝2)，故C正确；

∵0＜p＜1，

∴当≤p＜1时，P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝p2＋p－1≥0，

故当≤p＜1时，P(ξ＝1)≥P(ξ＝2)，故D错误．

故选BC.]

5．从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是(　　)

A． B． 

C． D．

C　[如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P＝＝.]

二、填空题

6．设随机变量X的概率分布列为

则P(|X－3|＝1)＝________.

　[由＋m＋＋＝1，解得m＝，

P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝.]

7．袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P(ξ≤6)＝________.

　[P(ξ≤6)＝P(取到3只红球1只黑球)＋P(取到4只红球)＝＋＝.]

8．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．

－1,0,1,2,3　[X＝－1，甲抢到一题但答错了，而乙抢到两个题都答错了．

X＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错．

X＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题， 且1错2对．

X＝2时，甲抢到2题均答对．

X＝3时，甲抢到3题均答对．]

三、解答题

9．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别

为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．

(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；

(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列．

[解]　(1)由题意知，在7张卡片中，编号为3的卡片有2张，故所求概率为P＝1－＝1－＝.

(2)由题意知，X的可能取值为1,2,3,4，且

P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.

所以随机变量X的分布列是

10．PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2019年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：

(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；

(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．

[解]　(1)记“从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，

则P(A)＝＝.

(2)由条件知，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.

P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2,3)．

∴P(ξ＝0)＝＝，

P(ξ＝1)＝＝，

P(ξ＝2)＝＝，

P(ξ＝3)＝＝.

故ξ的分布列为

1．设随机变量X的概率分布列如下表所示：

若F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)等于(　　)

A． B． 

C． D．

D　[由分布列的性质，

得a＋＋＝1，所以a＝.

而x∈[1,2)，

所以F(x)＝P(X≤x)＝＋＝.]

2．一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，下列概率等于的是(　　)

A．P(X＝3) B．P(X≥2)

C．P(X≤3) D．P(X＝2)

D　[由超几何分布知P(X＝2)＝.]

3.如图所示，A，B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X，则P(X≥8)＝________.

　[法一：(直接法)由已知得，X的取值为7,8,9,10，

∵P(X＝7)＝＝，P(X＝8)＝＝，

P(X＝9)＝＝，P(X＝10)＝＝，

∴X的概率分布列为

∴P(X≥8)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)

＝＋＋＝.

法二：(间接法)由已知得，X的取值为7,8,9,10，

故P(X≥8)与P(X＝7)是对立事件，

所以P(X≥8)＝1－P(X＝7)＝1－＝.]

4．随着高考制度的改革，某省即将实施“语数外＋3”的新高考改革方案，2019年秋季入学的高一新生将面临从物理(物)、化学(化)、生物(生)、政治(政)、历史(历)、地理(地)六科中任选三科(共20种选法)作为自己将来高考要考的“语数外＋3”中的“3”．某市为了顺利迎接新高考改革，在某高中200名学生中进行“学生模拟选科数据”调查，每个学生只能从表格中的20种课程组合中选择一种，得到学生模拟选课数据统计如下表：

为了解学生学习成绩与学生模拟选课情况之间的关系，用分层抽样的方法从这200名学生中抽取40人的样本进行分析．

(1)从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人，求这3人中至少有2人要学习生物的概率；

(2)从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人，记这3人中要学习地理的人数为X，求随机变量X的分布列．

[解]　(1)由题意可知，样本中选择学习物理且学习化学的学生共有9人，其中还学习生物的有4人，

则从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人，

这3人中至少有2人要学习生物的概率P＝＝.

(2)由题意可知，样本中选择学习物理且学习化学的学生共有9人，其中还学习地理的有2人，

则X的所有可能取值为0,1,2.

所以P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝.

X的分布列为

1．有编号为1,2,3，…，n的n个学生，入座编号为1,2,3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法．

(1) n的值为________；

(2) P(X＝3)＝________.

(1)4　(2)　[(1)因为当X＝2时，有C种坐法，

所以C＝6，即＝6，

n2－n－12＝0，解得n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4.

(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，则 P(X＝3)＝＝＝.]

2．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布列为________．

[ξ的可能取值为0,1，.

P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝)＝＝.

P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝.

所以随机变量ξ的分布列为

　]