2022版新高考数学一轮总复习课后集训：53+双曲线+Word版含解析

课后限时集训(五十三)　双曲线

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一、选择题

1．(2019·浙江高考)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是(　　)

A． B．1 

C． D．2

C　[根据渐近线方程为x±y＝0的双曲线，可得a＝b，所以c＝a，

则该双曲线的离心率为e＝＝，故选C.]

2．已知双曲线的方程为－＝1，则下列关于双曲线说法正确的是(　　)

A．虚轴长为4

B．焦距为2

C．离心率为

D．渐近线方程为2x±3y＝0

D　[由题意知，双曲线－＝1的焦点在y轴上，且a2＝4，b2＝9，故c2＝13，所以选项A，B均不对；离心率e＝＝，故选项C不对；由双曲线的渐近线知选项D正确．故选D.]

3．(多选)(2020·山东青岛二中期中)若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是(　　)

A．若1＜t＜5，则C为椭圆

B．若t＜1，则C为双曲线

C．若C为双曲线，则焦距为4

D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜5

BD　[对于A，当t＝3时，方程x2＋y2＝2表示圆，所以A不正确；对于B，当t＜1时，5－t＞0，t－1＜0，此时曲线C是焦点在x轴上的双曲线，所以B正确；对于C，当t＝0时，方程－＝1表示双曲线，此时双曲线的焦距为2，所以C不正确；对于D，当方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆时，满足解得3＜t＜5，所以D正确．]

4．(2020·全国卷Ⅰ)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为(　　)

A． B．3 

C． D．2

B　[法一：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(－2,0)，F2(2,0)，又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2是直角三角形，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝16.不妨令点P在双曲线C的右支上，则有|PF1|－|PF2|＝2，两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4，又|PF1|2＋|PF2|2＝16，所以|PF1|·|PF2|＝6，则S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×6＝3，故选B.

法二：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(－2,0)，F2(2,0)，又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2是直角三角形，所以S△PF1F2＝＝＝3(其中θ＝∠F1PF2)，故选B.]

5．已知双曲线C：－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|＝7，则|PF2|＝(　　)

A．1 B．13 

C．17 D．1或13

B　[由题意知双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，可得＝，解得a＝3，所以c＝＝5.又由F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|＝7，可得点P在双曲线的左支上，所以|PF2|－|PF1|＝6，可得|PF2|＝13.故选B.]

6．(2020·西安模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的顶点到其一条渐近线的距离为1，焦点到其一条渐近线的距离为，则其一条渐近线的倾斜角为(　　)

A．30° B．45° 

C．60° D．120°

B　[设双曲线－＝1的右顶点A(a,0)，右焦点F2(c,0)到渐近线y＝x的距离分别为1和，则有即＝.

则＝＝－1＝2－1＝1，即＝1.

设渐近线y＝x的倾斜角为θ，则tan θ＝＝1.

所以θ＝45°，故选B.]

7．(多选)已知双曲线E过点(3，)，(6，)，则(　　)

A．E的方程为－y2＝1

B．直线x－y－1＝0与E有且仅有一个公共点

C．曲线y＝ln(x－1)过E的一个焦点

D．E的离心率为

ABC　[设双曲线E的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，因为双曲线E过点(3，)，(6，)，所以解得故双曲线E的方程为－y2＝1，选项A正确；联立直线与双曲线的方程，得消去x得y2－2y＋2＝0，Δ＝0，故选项B正确；E的一个焦点为点(2,0)，易知该点在曲线y＝ln(x－1)上，故C正确；因为a＝，c＝2，所以双曲线E的离心率e＝，选项D错误．故选ABC.]

8．(多选)(2020·山东滨州期末)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，则能使双曲线C的方程为－＝1的条件是

(　　)

A．双曲线的离心率为

B．双曲线过点

C．双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0

D．双曲线的实轴长为4

ABC　[由题意可得焦点在x轴上，且c＝5.A选项，若双曲线的离心率为，则a＝4，所以b2＝c2－a2＝9，此时双曲线的方程为－＝1，故A正确；B选项，若双曲线过点，则得此时双曲线的方程为－＝1，故B正确；C选项，若双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，可设双曲线的方程为－＝m(m＞0)，所以c2＝16m＋9m＝25，解得m＝1，此时双曲线的方程为－＝1，故C正确；D选项，若双曲线的实轴长为4，则a＝2，所以b2＝c2－a2＝21，此时双曲线的方程为－＝1，故D错误．故选ABC.]

二、填空题

9．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝________；b＝________.

1　2　[由2x＋y＝0，得y＝－2x，所以＝2.

又c＝，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2.]

10．(2020·南宁模拟)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．

2　[由已知得|AB|＝|CD|＝，|BC|＝|AD|＝|F1F2|＝2c.因为2|AB|＝3|BC|，所以＝6c，

又b2＝c2－a2，所以2e2－3e－2＝0，

解得e＝2，或e＝－(舍去)．]

11．已知焦点在x轴上的双曲线＋＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________．

(0,2)　[对于焦点在x轴上的双曲线－＝1(a>0，b>0)，它的焦点(c,0)到渐近线bx－ay＝0的距离为＝b.双曲线＋＝1，即－＝1，其焦点在x轴上，则解得4<m<8，则焦点到渐近线的距离d＝∈(0,2)．]

12．已知椭圆＋＝1与双曲线x2－＝1的离心率分别为e1，e2，且有公共的焦点F1，F2，则4e－e＝________，若P为两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|＝________.

0　3　[由题意得椭圆的半焦距满足c＝4－m，双曲线的半焦距满足c＝1＋n，

又因为两曲线有相同的焦点，所以4－m＝1＋n，

即m＋n＝3，

则4e－e＝4×－(1＋n)＝3－(m＋n)＝0.

不妨设F1，F2分别为两曲线的左、右焦点，点P为两曲线在第一象限的交点，

则

解得

则|PF1|·|PF2|＝3.]

1．(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为________．

2　[如图，由＝，得F1A＝AB.

又OF1＝OF2，所以OA是三角形F1F2B的中位线，

即BF2∥OA，

BF2＝2OA.

由·＝0，得F1B⊥F2B，OA⊥F1A，

则OB＝OF1，所以∠AOB＝∠AOF1，

又OA与OB都是渐近线，得∠BOF2＝∠AOF1，

又∠BOF2＋∠AOB＋∠AOF1＝180°，

得∠BOF2＝∠AOF1＝∠BOA＝60°，

又渐近线OB的斜率为＝tan 60°＝，

所以该双曲线的离心率为e＝＝＝＝2.]

2．(2020·黄冈模拟)双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F(0，－8)，则该双曲线的标准方程为______．已知点A(－6,0)，若点P为C上一动点，且P点在x轴上方，当点P的位置变化时，△PAF的周长的最小值为________．

－＝1　28　[∵双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F(0，－8)，

∴解得a＝4，b＝4.

∴双曲线的标准方程为－＝1.

设双曲线的上焦点为F′(0,8)，则|PF|＝|PF′|＋8，

△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋|PA|＋|AF|＋8.

当P点在第二象限，且A，P，F′共线时，|PF′|＋|PA|最小，最小值为|AF′|＝10.

而|AF|＝10，故△PAF的周长的最小值为10＋10＋8＝28.]