2022版新高考数学一轮总复习课后集训：67+n次独立重复试验与二项分布+Word版含解析

课后限时集训(六十七)　

n次独立重复试验与二项分布

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一、选择题

1．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为(　　)

A． B． 

C． D．

B　[设A＝{第一次拿到白球}，B＝{第二次拿到红球}，则P(AB)＝×，P(A)＝.

所以P(B|A)＝＝.]

2．已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，，，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为(　　)

A． B． 

C． D．

B　[甲、乙、丙三人都没有被录取的概率为P1＝××＝，所以三人中至少有一人被录取的概率为P＝1－P1＝，故选B.]

3．袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是(　　)

A． B． 

C． D．

D　[袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率P1＝，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率P＝C2＝.]

4．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(　　)

A．0.8 B．0.75 

C．0.6 D．0.45

A　[令A＝“第一天空气质量优”，B＝“第二天空气质量优”，则P(AB)＝0.6，P(A)＝0.75，P(B|A)＝＝0.8.]

5．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，有下列说法：①目标恰好被命中一次的概率为＋；②目标恰好被命中两次的概率为×；③目标被命中的概率为×＋×；④目标被命中的概率为1－×，以上说法正确的是(　　)

A．②③ B．①②③ 

C．②④ D．①③

C　[对于说法①，目标恰好被命中一次的概率为×＋×＝，所以①错误，结合选项可知，排除B、D；对于说法③，目标被命中的概率为×＋×＋×，所以③错误，排除A.故选C.]

二、填空题

6．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥2)＝________.

　[因为随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，又P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)2＝，解得p＝，所以Y～B，则P(Y≥2)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)＝.]

7．如果生男孩和生女孩的概率相等，则有3个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为________．

　[设女孩个数为X，女孩多于男孩的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝C2× ＋C3＝3× ＋＝.]

8．三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，将T2，T3两个元件并联后再和T1串联接入电路，如图所示，则电路不发生故障的概率为________．

　[三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，将T2，T3两个元件并联后再和T1串联接入电路，则电路不发生故障的概率为：

p＝×＝.]

三、解答题

9．设某人有5发子弹，他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为.若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完．

(1)求他前两发子弹只命中一发的概率；

(2)求他所耗用的子弹数X的分布列．

[解]　记“第k发子弹命中目标”为事件Ak(k＝1,2,3,4,5)，则A1，A2，A3，A4，A5相互独立，且P(Ak)＝，P()＝.

(1)法一：他前两发子弹只命中一发的概率为

P(A1)＋P(A2)＝P(A1)P()＋P()P(A2)＝×＋×＝.

法二：由独立重复试验的概率计算公式知，他前两发子弹只命中一发的概率为P＝C××＝.

(2)X的所有可能取值为2,3,4,5.

P(X＝2)＝P(A1A2)＋P( )＝×＋×＝，

P(X＝3)＝P(A1 )＋P(A2A3)＝×2＋×2＝，

P(X＝4)＝P(A1A3A4)＋P(A2 )＝3×＋3×＝，

P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝.

综上，X的分布列为

10．唐三彩是中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位．唐三彩的制作工艺十分复杂，而且优质品检验异常严格，检验方案是：先从烧制的这批唐三彩中任取3件做检验，这3件唐三彩中优质品的件数记为n.如果n＝2，再从这批唐三彩中任取3件做检验，若都为优质品，则这批唐三彩通过检验；如果n＝3，再从这批唐三彩中任取1件做检验，若为优质品，则这批唐三彩通过检验；其他情况下，这批唐三彩都不能通过检验．假设这批唐三彩的优质品率为，即取出的每件唐三彩是优质品的概率都为，且各件唐三彩是否为优质品相互独立．

(1)求这批唐三彩通过检验的概率；

(2)已知每件唐三彩的检验费用都为100元，且抽取的每件唐三彩都需要检验，对这批唐三彩做质量检验所需的总费用记为X元，求X的分布列．

[解]　(1)设“第一次取出的3件唐三彩中恰有2件优质品”为事件A1，“第一次取出的3件唐三彩全是优质品”为事件A2，“第二次取出的3件唐三彩都是优质品”为事件B1，“第二次取出的1件唐三彩是优质品”为事件B2，“这批唐三彩通过检验”为事件A，

依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，

所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝C2××3＋3×＝.

(2)X的所有可能取值为300,400,600，

P(X＝300)＝C3＋C2×＝，

P(X＝400)＝3＝，

P(X＝600)＝C2×＝.

所以X的分布列为

1．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为(　　)

A． B．3×

C．× D．C×3×

B　[由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为3×.]

2．甲、乙等4人参加4×100米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是(　　)

A． B． 

C． D．

D　[甲不跑第一棒共有A·A＝18(种)情况，甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类：

(1)乙跑第一棒，共有A＝6(种)情况；(2)乙不跑第一棒，共有A·A·A＝8(种)情况，∴甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率为＝，故选D.]

3．(2019·全国卷Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．

0.18　　[记事件M为甲队以4∶1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.]

4．(2019·北京高考)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

(1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；

(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1 000元的人数，求X的分布列和数学期望；

(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2 000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．

[解]　(1)由题意知，样本中仅使用A的学生有18＋9＋3＝30人，仅使用B的学生有10＋14＋1＝25人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．

故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40人．

所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率估计为＝0.4.

(2)X的所有可能值为0,1,2.

记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1 000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1 000元”．

由题设知，事件C，D相互独立，且P(C)＝＝0.4，P(D)＝＝0.6.

所以P(X＝2)＝P(CD)＝P(C)P(D)＝0.24，

P(X＝1)＝P(C∪D)＝P(C)P()＋P()P(D)

＝0.4×(1－0.6)＋(1－0.4)×0.6＝0.52，

P(X＝0)＝P()＝P()P()＝0.24.

所以X的分布列为

故X的数学期望E(X)＝0×0.24＋1×0.52＋2×0.24＝1.

(3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2 000元”．

假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，

则由上个月的样本数据得P(E)＝＝.

答案示例1：可以认为有变化．理由如下：

P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．

一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2 000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化．

答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：

事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，

但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．

(2020·郑州模拟)手机是人们必不可少的工具之一，极大地方便了人们的生活、工作、学习．某调查机构调查了某地区各品牌手机的线下销售情况，将数据整理得到如下表格．

该地区某商场出售各种品牌的手机，以各品牌手机的市场占有率作为各品牌手机的售出概率．

(1)此商场有一个优惠活动，即每天抽取一个数字n(n≥2，且n∈Z)，规定若当天卖出的第n台手机恰好是当天卖出的第一台D品牌手机时，则此台D品牌手机可以打五折．为保证每天该活动的中奖概率小于0.05，求n的最小值；(lg 0.5≈－0.3，lg 0.9≈－0.046)

(2)此商场中的一个手机专卖店只出售A和D两种品牌的手机，A，D品牌手机的售出概率之比为3∶1，若此专卖店某天售出3台手机，其中A手机X台，求X的分布列及此专卖店当天所获利润的期望值．

[解]　(1)售出一台D品牌手机的概率P＝0.1，售出一台非D品牌手机的概率P′＝0.9，

由题意可得0.9n－1×0.1＜0.05，即0.9n－1＜0.5，

所以n－1＞≈6.52，

故n＞7.52，即n的最小值为8.

(2)依题意可知A品牌手机售出的概率P1＝，D品牌手机售出的概率P2＝，

X的所有可能取值为0,1,2,3，则可得X～B，

所以P(X＝0)＝3＝，P(X＝1)＝C××2＝，

P(X＝2)＝C×2×＝，P(X＝3)＝3＝，

故X的分布列为

所以此专卖店当天所获利润的期望值为×1 000×3＋×(1×100＋2×1 000)＋×(2×100＋1×1 000)＋×3×100＝975(元).