2022版新高考数学一轮总复习课后集训：31+正弦定理、余弦定理的综合应用+Word版含解析

课后限时集训(三十一)

正弦定理、余弦定理的综合应用

建议用时：40分钟

一、选择题

1．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(　　)

A．北偏东15° B．北偏西15°

C．北偏东10° D．北偏西10°

B　[如图所示，由AC＝BC得∠CAB＝∠CBA＝45°.

利用内错角相等可知，点A位于点B的北偏西15°，故选B.]

2．在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30°，60°，则塔高为(　　)

A. m B． m

C. m D． m

A　[如图，由已知可得∠BAC＝30°，

∠CAD＝30°，∴∠BCA＝60°，

∴∠ACD＝30°，∴∠ADC＝120°，

又AB＝200 m，∴AC＝ m.

在△ACD中，由正弦定理，得＝，

即DC＝＝(m)．]

3．(2020·武昌区模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)

A．6海里 B．6海里

C．8海里 D．8海里

A　[由题意可知：∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ACD＝110°，

∴∠ACB＝110°－65°＝45°，

∴∠ABC＝180°－30°－45°＝105°.又AB＝24×0.5＝12，

在△ABC中，由正弦定理得＝，

即＝，∴BC＝6，故选A.]

4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，则cos C的最小值为(　　)

A. B． 

C. D．－

C　[因为cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，所以1－2sin2A＋1－2sin2B＝2－4sin2C，得a2＋b2＝2c2，cos C＝＝≥＝，当且仅当a＝b时等号成立，故选C.]

5．(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝8，b<4，c＝7，且满足(2a－b)cos C＝ccos B，则下列结论正确的是(　　)

A．C＝60°　　　　　　 B．△ABC的面积为6

C．b＝2 D．△ABC为锐角三角形

AB　[∵(2a－b)cos C＝ccos B，∴(2sin A－sin B)cos C＝sin Ccos B，∴2sin Acos C＝sin Bcos C＋cos Bsin C，即2sin Acos C＝sin(B＋C)，∴2sin Acos C＝sin A．∵在△ABC中，sin A≠0，∴cos C＝，∴C＝60°，A正确．由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得49＝64＋b2－2×8bcos 60°，即b2－8b＋15＝0，解得b＝3或b＝5，又b<4，∴b＝3，C错误．∴△ABC的面积S＝absin C＝×8×3×＝6，B正确．又cos A＝＝<0，∴A为钝角，△ABC为钝角三角形，D错误．]

6．(多选)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列四个结论中正确的是(　　)

A．若＝，则B＝

B．若B＝，b＝2，a＝，则满足条件的三角形共有两个

C．若a，b，c成等差数列，sin A，sin B，sin C成等比数列，则△ABC为正三角形

D．若a＝5，c＝2，△ABC的面积为4，则cos B＝

AC　[对于A，由正弦定理可得tan B＝1，又B∈(0，π)，所以B＝，故A正确；对于B，由于b>a，所以△ABC为钝角三角形，满足条件的三角形只有1个，故B错误；对于C，由等差数列的性质，可得a＋c＝2b≥2，得b2≥ac，由等比数列的性质得sin Asin C＝sin2B，得ac＝b2，所以a＝b＝c，△ABC为等边三角形，C正确；对于D，S＝acsin B＝5sin B＝4，sin B＝，又<<，所以<B<或<B<，所以cos B＝或－，故D错误．综上所述，选AC.]

二、填空题

7．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时________海里．

10　[如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，

所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，

在Rt△ABC中，AC＝10，∠CAB＝60°，得AB＝5，

于是这艘船的速度是＝10(海里/时)．]

8．(2020·湖北孝感统考)在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝2，A＝，则asin C＝________，a＋b的取值范围是________．

　(＋1,4＋2)　[由正弦定理，可得＝，则asin C＝csin A＝2sin ＝.由＝＝，可得a＝＝，b＝＝，所以a＋b＝＋＝1＋＝1＋＝1＋.

由△ABC是锐角三角形，可得0<C<，0＜－C<，则<C<，所以<<，2－<tan <1，所以1＋<a＋b<1＋＝4＋2，所以a＋b的取值范围为(＋1,4＋2)．]

9.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为________．

　[设AB＝a，∵AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，∴AD＝a，BD＝，BC＝.

在△ABD中，cos∠ADB＝＝，

∴sin∠ADB＝，∴sin∠BDC＝.

在△BDC中，＝，

∴sin C＝＝.]

三、解答题

10．(2020·福州模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设bsin A＝a(2＋cos B)．

(1)求B；

(2)若△ABC的面积等于，求△ABC的周长的最小值．

[解]　(1)因为bsin A＝a(2＋cos B)，

由正弦定理得sin Bsin A＝sin A(2＋cos B)，

显然sin A＞0，所以sin B－cos B＝2，

所以2sin＝2，∵B∈(0，π)，

所以B－＝，∴B＝.

(2)依题意＝，∴ac＝4.

所以a＋c≥2＝4，当且仅当a＝c＝2时取等号．

又由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2＋ac≥3ac＝12.∴b≥2.

当且仅当a＝c＝2时取等号．

所以△ABC的周长最小值为4＋2.

11.(2020·青岛模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AD＝，BC＝.

(1)若CD＝1＋，求四边形ABCD的面积；

(2)若sin∠BCD＝，∠ADC∈，求sin∠ADC.

[解]　(1)连接BD，在Rt△ABD中，由勾股定理可得，BD2＝AB2＋AD2＝4，故BD＝2，△BCD中，由余弦定理可得，cos C＝＝＝，

因为C为三角形的内角，故C＝，

所以S△ABD＝AB·AD＝×1×＝，S△BCD＝BC·CDsin C＝××(1＋)×＝，故求四边形ABCD的面积S＝＋.

(2)在△BCD中，由正弦定理可得＝，

所以sin∠BDC＝＝，

因为∠ADC∈，所以∠BDC∈，cos∠BDC＝，

Rt△ABD中，tan∠ADB＝＝，故∠ADB＝，

所以sin∠ADC＝sin＝×＋×＝.

1．(2020·朝阳区二模)圭表(如图①)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”)．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图②是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为26.5°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为a，则表高(即AC的长)为(　　)

图①

图②

A． B．

C． D．

D　[由题可知：∠BAD＝73.5°－26.5°＝47°，

在△BAD中，由正弦定理可知：＝，即＝，

则AD＝，又在△ACD中，＝sin∠ADC＝sin 73.5°，

所以AC＝，故选D.]

2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝30，c＝20，若bsin C＝20cos，则b＝________，sin(2C－B)＝________.

10　　[在△ABC中，由正弦定理＝，得bsin C＝csin B．又bsin C＝20cos ，∴csin B＝ccos ，sin B＝cos ，∴tan B＝.又0<B<π，∴B＝.在△ABC中，由余弦定理得b2＝202＋302－2×20×30×cos ＝700，∴b＝10，由bsin C＝20cos，得sin C＝.∵a>c，∴cos C＝，∴sin(2C－B)＝sin 2Ccos B－cos 2Csin B＝2sin Ccos Ccos －(cos2C－sin2C)sin ＝2×××－×＝.]

3．(2020·凉山模拟)如图，在平面四边形ABCD中，∠D＝，sin∠BAC＝cos B＝，AB＝13.

(1)求AC；

(2)求四边形ABCD面积的最大值．

[解]　(1)在三角形ABC中，sin∠BAC＝cos B＝，可得AC⊥BC，AB＝13，所以BC＝AB·cos B＝13×＝5，AC＝AB·sin B＝13×＝12，

所以AC＝12.

(2)S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝AC·BC＋AD·CD·sin D＝×12×5＋×AD·CD＝30＋·AD·CD，

在三角形ADC中，AC2＝AD2＋CD2－2AD·DC·cos ≥2AD·DC＋DC＝3AD·DC，

所以3AD·DC≤AC2＝122，所以AD·DC≤48，

所以S四边形ABCD≤30＋·48＝30＋12.

所以四边形ABCD面积的最大值为30＋12.

1．(2020·泉州模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________．

80　[由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，

所以∠DAC＝15°，

由正弦定理得AC＝＝＝40(＋)．

在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°，

由正弦定理＝，

得BC＝＝＝160sin 15°＝40(－)．

在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1 600×(8＋4)＋1 600×(8－4)＋2×1 600×(＋)×(－)×＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝32 000，

解得AB＝80.

故图中海洋蓝洞的口径为80.]

2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在边AB，BC上，CD＝5，CE＝3，且△EDC的面积为3.

(1)求边DE的长；

(2)若AD＝3，求sin A的值．

[解]　(1)如图，在△ECD中，

S△ECD＝CE·CDsin∠DCE＝×3×5×sin∠DCE＝3，所以sin∠DCE＝.

因为0°＜∠DCE＜90°，

所以cos∠DCE＝＝.

所以DE2＝CE2＋CD2－2CD·CEcos∠DCE＝9＋25－2×3×5×＝28，所以DE＝2.

(2)因为∠ACB＝90°，所以sin∠ACD＝sin(90°－∠DCE)＝cos∠DCE＝，

在△ADC中，由正弦定理得＝，

即＝，所以sin A＝.