2022版新高考数学一轮总复习课后集训：30+正弦定理、余弦定理+Word版含解析

这是一份2022版新高考数学一轮总复习课后集训：30+正弦定理、余弦定理+Word版含解析，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 课后限时集训(三十)　正弦定理、余弦定理建议用时：40分钟一、选择题1．(2020·大连测试)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝(　　)A． B．±  C．－ D．D　[由正弦定理得＝，∴sin C＝＝＝.又AB＜AC，∴0＜C＜B＝60°，∴cos C＝＝.故选D.]2．(2020·南昌模拟)在△ABC中，已知C＝，b＝4，△ABC的面积为2，则c＝(　　)A．2 B．2  C．2 D．B　[由S＝absin C＝2a×＝2，解得a＝2.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12，故c＝2.]3．(多选)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，以下四个结论中，正确的是(　　)A．若a＞b＞c，则sin A＞sin B＞sin CB．若A＞B＞C，则sin A＞sin B＞sin CC．acos B＋bcos A＝cD．若a2＋b2＞c2，则△ABC是锐角三角形ABC　[对于A，由于a＞b＞c，由正弦定理＝＝，可得sin A＞sin B＞sin C，故A正确；对于B，A＞B＞C，由大边对大角可知，a＞b＞c，由正弦定理＝＝，可得sin A＞sin B＞sin C，故B正确；对于C，根据正弦定理可得acos B＋bcos A＝2R(sin Acos B＋sin Bcos A)＝2Rsin(B＋A)＝2Rsin(π－C)＝2Rsin C＝c(其中R为△ABC的外接圆半径)，故C正确；对于D，a2＋b2＞c2，由余弦定理可得cos C＝＞0，由C∈(0，π)，可得C是锐角，但A或B可能为钝角，故D错误．]4．(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝(　　)A． B．  C． D．A　[由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝16＋9－2×4×3×＝9，AB＝3，所以cos B＝＝，故选A.]5．(多选)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则(　　)A．若2cos C(acos B＋bcos A)＝c，则C＝B．若2cos C(acos B＋bcos A)＝c，则C＝C．若边BC的高为a，则当＋取得最大值时，A＝D．若边BC的高为a，则当＋取得最大值时，A＝AC　[因为在△ABC中，0＜C＜π，所以sin C≠0.对于A，B，利用正弦定理得2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，整理得2cos Csin(A＋B)＝sin C，即2cos Csin[π－(A＋B)]＝sin C，即2cos Csin C＝sin C，又sin C≠0，所以cos C＝，所以C＝，故A正确，B错误．对于C，D，由等面积法得×a2＝bcsin A，所以a2＝2bcsin A，又b2＋c2＝a2＋2bccos A＝2bcsin A＋2bccos A，则＋＝＝2sin A＋2cos A＝4sin≤4，当且仅当A＋＝＋2kπ，k∈Z，即A＝＋2kπ，k∈Z时，＋取得最大值4，又0＜A＜π，所以A＝.故C正确，D错误．]6．(多选)(2020·山东烟台期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，则下列结论正确的是(　　)A．sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6B．△ABC是钝角三角形C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍D．若c＝6，则△ABC的外接圆的半径为ACD　[因为(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，所以可设(其中x＞0)，解得所以由正弦定理可得sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6，所以A正确．由上可知边a最短，边c最长，所以角A最小，角C最大．又cos A＝＝＝，cos C＝＝＝，所以cos 2A＝2cos2A－1＝，所以cos 2A＝cos C，由三角形中角C最大且角C为锐角，可得△ABC是锐角三角形，且2A∈(0，π)，C∈，所以2A＝C，所以B错误，C正确．设△ABC的外接圆的半径为R，则由正弦定理得2R＝，又sin C＝＝，所以2R＝，解得R＝，所以D正确．故选ACD.]二、填空题7．在△ABC中，A＝，a＝c，则＝________.1　[由a＝c得sin A＝sin C，即sin ＝sin C，∴sin C＝，又0＜C＜，∴C＝，从而B＝，∴b＝c，因此＝1.]8．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A＋acos B＝0，则B＝________.　[∵bsin A＋acos B＝0，∴＝.由正弦定理，得－cos B＝sin B，∴tan B＝－1.又B∈(0，π)，∴B＝.]9．(2020·北京高考适应性考核)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝4，b＝5，c＝6，则cos A＝________，△ABC的面积为________．　　[依题意得cos A＝＝，所以sin A＝＝，所以△ABC的面积为bcsin A＝.]三、解答题10．[结构不良试题](2020·北京西城区统一测试)已知△ABC满足________，且b＝，A＝，求sin C的值及△ABC的面积．从①B＝，②a＝，③a＝3sin B这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答．[解]　当选择条件①时，∵B＝，A＝，∴sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×－×＝.由正弦定理＝，得＝，解得a＝3，∴S△ABC＝absin C＝.当选择条件②时，∵a＜b，∴A＜B，又A为钝角，∴无解．当选择条件③时，由题意得B为锐角．由正弦定理＝，得＝，得sin B＝，∴a＝3，sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×－×＝.∴S△ABC＝absin C＝.11．(2020·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2＋cos A＝.(1)求A；(2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形．[解]　(1)由已知得sin2A＋cos A＝，即cos2A－cos A＋＝0.所以2＝0，cos A＝.由于0<A<π，故A＝.(2)证明：由正弦定理及已知条件可得sin B－sin C＝sin A.由(1)知B＋C＝，所以sin B－sin＝sin .即sin B－cos B＝，sin＝.由于0<B<，故B＝.从而△ABC是直角三角形．1．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的外接圆的面积为3π，且cos2A－cos2B＋cos2C＝1＋sin Asin C，则△ABC的最大边长为(　　)A．2 B．3  C． D．2C　[由cos2A－cos2B＋cos2C＝1＋sin Asin C得1－sin2A－1＋sin2B＋1－sin2C＝1＋sin Asin C，即－sin2A＋sin2B－sin2C＝sin Asin C，由正弦定理得b2－a2－c2＝ac，即c2＋a2－b2＝－ac，则cos B＝＝＝－，则B＝150°，即最大值的边为b，∵△ABC的外接圆的面积为3π，设外接圆的半径为R，∴πR2＝3π，得R＝，则＝2R＝2，即b＝2sin B＝2×＝，故选C.]2．(2020·广西桂林模拟)在△ABC中，若＝，则△ABC的形状是(　　)A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形D　[由已知＝＝＝，所以＝或＝0，即C＝90°或＝，由正弦定理，得sin Ccos C＝sin Bcos B，即sin 2C＝sin 2B，因为B，C均为△ABC的内角，所以2C＝2B或2C＋2B＝180°，所以B＝C或B＋C＝90°，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.]3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－)bc，sin Asin B＝cos2，BC边上的中线AM的长为.(1)求角A和角B的大小；(2)求△ABC的面积．[解]　(1)由a2－(b－c)2＝(2－)bc，得a2－b2－c2＝－bc，∴cos A＝＝，又0＜A＜π，∴A＝.由sin Asin B＝cos2，得sin B＝，即sin B＝1＋cos C，则cos C＜0，即C为钝角，∴B为锐角，且B＋C＝，则sin＝1＋cos C，化简得cos＝－1，解得C＝，∴B＝.(2)由(1)知，a＝b，在△ACM中，由余弦定理得AM2＝b2＋2－2b··cos C＝b2＋＋＝()2，解得b＝2，故S△ABC＝absin C＝×2×2×＝.1．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足cos2A－cos2B＋cos2C＝1＋sin Asin C，且sin A＋sin C＝1，则△ABC的形状为(　　)A．等边三角形B．等腰直角三角形C．顶角为150°的等腰三角形D．顶角为120°的等腰三角形D　[∵cos2A－cos2B＋cos2C＝1＋sin Asin C，∴(1－sin2A)－(1－sin2B)＋(1－sin2C)＝1＋sin Asin C，∴可得sin2A＋sin2C－sin2B＝－sin Asin C，∴根据正弦定理得a2＋c2－b2＝－ac，∴由余弦定理得cos B＝＝＝－，∵B∈(0°，180°)，∴B＝120°，∵sin2B＝sin2A＋sin2C＋sin Asin C.∴变形得＝(sin A＋sin C)2－sin Asin C，又∵sin A＋sin C＝1，得sin Asin C＝，∴上述两式联立得sin A＝sin C＝，∵0°＜A＜60°，0°＜C＜60°，∴A＝C＝30°，∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形，故选D.]2．[结构不良试题](2020·北京高考)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a的值；(2)sin C和△ABC的面积．条件①：c＝7，cos A＝－；条件②：cos A＝，cos B＝.[解]　选条件①：c＝7，cos A＝－，且a＋b＝11.(1)在△ABC中，由余弦定理，得cos A＝＝＝－，解得a＝8.(2)∵cos A＝－，A∈(0，π)，∴sin A＝.在△ABC中，由正弦定理，得＝，∴sin C＝＝＝.∵a＋b＝11，a＝8，∴b＝3，∴S△ABC＝absin C＝×8×3×＝6.若选条件②：cos A＝，cos B＝，且a＋b＝11.(1)∵A∈(0，π)，B∈(0，π)，cos A＝，cos B＝，∴sin A＝，sin B＝.在△ABC中，由正弦定理，可得＝，∴＝＝＝.又∵a＋b＝11，∴a＝6，b＝5.(2)sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝＝.∴S△ABC＝absin C＝×6×5×＝.