2022版新高考数学一轮总复习课后集训：26+两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式+Word版含解析

课后限时集训(二十六)　两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式

建议用时：40分钟

一、选择题

1．(多选)下列选项中，值为的是(　　)

A．cos 72°cos 36° B．sinsin

C．＋ D．－cos215°

AB　[对于A，cos 36°cos 72°＝＝＝＝，故A正确；

对于B，sinsin＝sincos＝×2sincos＝sin＝，故B正确；

对于C，原式＝

＝＝＝＝4，故C错误；

对于D，－cos215°＝－(2cos215°－1)

＝－cos 30°＝－，故D错误．

故选AB.]

2．(多选)已知cos＝，则sin＝(　　)

A．－ B．－ 

C． D．

AD　[由cos＝，得sin＝±.

所以sin＝2sincos＝±，即sin＝－sin

＝－sin＝±.

故选AD.]

3．(多选)(2020·山东济南模拟)已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则(　　)

A．cos β＝ B．sin β＝

C．cos(α－β)＝ D．sin(α－β)＝－

AC　[因为α∈，cos α＝，所以sin α＝，又α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝＝，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－＋＝，A正确．sin β＝，B错误．cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，C正确．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，D错误．]

4．已知α满足sin α＝，则coscos＝(　　)

A． B． 

C．－ D．－

A　[coscos＝coscos＝sin·cos＝sin＝cos 2α＝(1－2sin2α)＝＝，故选A.]

5．若α∈(0，π)，且sin α＋2cos α＝2，则tan＝(　　)

A． B． 

C． D．

A　[由二倍角公式，得sin α＋2cos α＝2sincos ＋2＝2，

化简可得2sincos＝4sin2，

∵α∈(0，π)，∴∈，

∴sin≠0，∴cos＝2sin，∴tan＝.]

6．已知tan＝－2，则＝(　　)

A．2 B． 

C．－2 D．－

D　[∵tan α＝tan＝＝＝3，

∴＝＝＝＝＝－，故选D.]

二、填空题

7．已知sin＝，α∈，则cos的值为________．

－　[由已知得cos α＝，sin α＝－，

所以cos＝cos α＋sin α＝－.]

8．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则＝________.

5　[因为sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，所以sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以＝＝5.]

9．化简：＝________.

－1　[＝＝＝－1.]

三、解答题

10．(2020·杭州中学月考)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y＝2x上．

(1)求cos 2α的值；

(2)已知α∈，sin＝，－<β<0，求sin(α－2β)的值．

[解]　(1)由题意得，tan α＝2，

∴cos 2α＝＝＝＝－.

(2)由且α∈，

解得sin α＝，cos α＝.

又sin＝，β＋∈，

∴cos＝.

∴cos β＝cos

＝coscos＋sinsin

＝×＋×＝，

则cos 2β＝2cos2β－1＝2×－1＝，

sin 2β＝－＝－.

∴sin(α－2β)＝sin αcos 2β－cos αsin 2β

＝×－×＝.

11．已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－.

(1)求sin(α－β)的值；

(2)求cos β的值．

[解]　(1)∵α，β∈，∴－＜α－β＜.

又∵tan(α－β)＝－＜0，

∴－＜α－β＜0.

∴sin(α－β)＝－.

(2)由(1)可得，cos(α－β)＝.

∵α为锐角，且sin α＝，∴cos α＝.

∴cos β＝cos[α－(α－β)]

＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)

＝×＋×＝.

1．(2020·杭州模拟)如图，点A，B在圆O上，且点A位于第一象限，圆O与x正半轴的交点是C，点B的坐标为，∠AOC＝α.若|AB|＝1，则sin α＝(　　)

A. B．

C. D．

B　[∵A，B在圆O上，且点A位于第一象限，圆O与x正半轴的交点是C，点B的坐标为，由2＋2＝1知圆O的半径为1，

∵∠AOC＝α，|AB|＝1，故△AOB为等边三角形，∠BOC＝60°－α，

cos∠BOC＝cos(60°－α)＝，sin∠BOC＝sin(60°－α)＝.

则sin α＝sin[60°－(60°－α)]＝sin 60°cos(60°－α)－cos 60°sin(60°－α)＝×－×＝，故选B.]

2．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则＝(　　)

A．8 B．4 

C．2 D．1

C　[因为m＝2sin 18°，m2＋n＝4，

所以n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°.

所以＝

＝＝＝＝2.故选C.]