高中数学高考课后限时集训27 正弦定理、余弦定理的综合应用 作业

正弦定理、余弦定理的综合应用

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一、选择题

1．一名学生在河岸上紧靠河边笔直行走，某时刻测得河对岸靠近河边处的参照物与学生前进方向成30°角．前进200 m后，测得该参照物与前进方向成75°角，则河的宽度为(　　)

A．50(＋1)m　　 B．100(＋1)m

C．50 m   D．100  m

A　[如图所示，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，AB＝200 m，由正弦定理，得BC＝＝100(m)，所以河的宽度为BCsin 75°＝100×＝50(＋1)(m)．]

2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，则cos C的最小值为(　　)

A.   B.

C.   D．－

C　[因为cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，所以1－2sin2A＋1－2sin2B＝2－4sin2C，得a2＋b2＝2c2，cos C＝＝≥＝，当且仅当a＝b时等号成立，故选C.]

3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a＋b－c)(a＋b＋c)＝3ab，且c＝4，则△ABC面积的最大值为(　　)

A．8   B．4

C．2   D.

B　[由已知等式得a2＋b2－c2＝ab，则cos C＝＝＝.由C∈(0，π)，所以sin C＝.又16＝c2＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab，则ab≤16，所以S△ABC＝absin C≤×16×＝4.故Smax＝4.故选B.]

4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c·cos B＝2a＋b，若△ABC的面积为S＝c，则ab的最小值为(　　)

A．8   B．10

C．12   D．14

C　[在△ABC中，由已知及正弦定理可得2sin Ccos B＝2sin A＋sin B＝2sin(B＋C)＋sin B，即2sin Ccos B＝2sin Bcos C＋2sin Ccos B＋sin B，所以2sin Bcos C＋sin B＝0.因为sin B≠0，所以cos C＝－，C＝.由于△ABC的面积为S＝ab·sin C＝ab＝c，所以c＝ab.由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab·cos C，整理可得a2b2＝a2＋b2＋ab≥3ab，当且仅当a＝b时，取等号，所以ab≥12.]

5．在△ABC中，sin B＝，BC边上的高为AD，D为垂足，且BD＝2CD，则cos∠BAC＝(　　)

A．－   B.

C．－   D.

A　[依题意设CD＝x，AD＝y，则BD＝2x，BC＝3x.因为sin B＝，所以AB＝＝3y.因为BC边上的高为AD，如图所示，所以AB2＝AD2＋BD2＝y2＋4x2＝9y2，即x＝y.所以AC＝＝＝y.根据余弦定理得cos∠BAC＝＝＝＝－.故选A.]

二、填空题

6．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时________海里．

10　[如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，

所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，

在Rt△ABC中，得AB＝5，

于是这艘船的速度是＝10(海里/时)．]

7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin B＝bcos A．若a＝4，则△ABC周长的最大值为________．

12　[由正弦定理＝，

可将asin B＝bcos A转化为sin Asin B＝sin Bcos A.

又在△ABC中，sin B＞0，∴sin A＝cos A，

即tan A＝.

∵0＜A＜π，∴A＝.由于a＝4，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，得16＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，又bc≤2，∴(b＋c)2≤64，即b＋c≤8，∴a＋b＋c≤12.]

8.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为        ．

　[设AB＝a，∵AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，∴AD＝a，BD＝，BC＝.

在△ABD中，cos∠ADB＝＝，

∴sin∠ADB＝，∴sin∠BDC＝.

在△BDC中，＝，

∴sin C＝＝.]

三、解答题

9.在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝，∠A＝120°，BD＝3.

(1)求AD的长；

(2)若∠BCD＝105°，求四边形ABCD的面积．

[解]　(1)∵在△ABD中，AB＝，∠A＝120°，BD＝3，

∴由余弦定理得cos 120°＝，解得AD＝(AD＝－2舍去)，∴AD的长为.

(2)∵AD∥BC，∠A＝120°，BD＝3，AB＝AD＝，∠BCD＝105°，

∴∠DBC＝30°，∠BDC＝45°，∴由正弦定理得＝＝，解得BC＝3－3，DC＝.

如图，过点A作AE⊥BD，交BD于点E，过点C作CF⊥BD，交BD于点F，

则AE＝AB＝，CF＝BC＝，

∴四边形ABCD的面积S＝S△ABD＋S△BDC＝BD·(AE＋CF)＝×3×＝.

10．(2019·绵阳模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且2csin B＝3atan A.

(1)求的值；

(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．

[解]　(1)∵2csin B＝3atan A，

∴2csin Bcos A＝3asin A，

由正弦定理得2cbcos A＝3a2，

由余弦定理得2cb·＝3a2，化简得b2＋c2＝4a2，

∴＝4.

(2)∵a＝2，由(1)知b2＋c2＝4a2＝16，

∴由余弦定理得cos A＝＝，

根据基本不等式得b2＋c2≥2bc，即bc≤8，当且仅当b＝c时，等号成立，∴cos A≥＝.

由cos A＝，得bc＝，且A∈，

∴△ABC的面积S＝bcsin A＝××sin A＝3tan A.

∵1＋tan2A＝1＋＝＝，

∴tan A＝≤＝.∴S＝3tan A≤.

∴△ABC面积的最大值为.

1．△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知cos C＋cos A＝1，则cos B的取值范围为(　　)

A.　　　　　 B.

C.   D.

D　[∵cos C＋cos A＝1，

∴由余弦定理可得·＋·＝1，化简可得b2＝ac，

则cos B＝＝≥＝，

∴≤cos B＜1，即cos B∈.故选D.]

2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sin B＋2sin Acos C＝0，则当cos B取最小值时，＝(　　)

A.   B.

C．2   D.

B　[由sin B＋2sin Acos C＝0，根据正弦定理和余弦定理得b＋2a·＝0，

∴a2＋2b2－c2＝0，∴b2＝，∴cos B＝＝＝＋≥，当且仅当＝，即＝时取等号，cos B取最小值.故选B.]

3.如图所示，在△ABC中，C＝，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足，若DE＝2，则cos A＝        .

　[∵AD＝DB，∴∠A＝∠ABD，

∴∠BDC＝2∠A.设AD＝DB＝x，

∴在△BCD中，＝，可得＝.①

在△AED中，＝，可得＝.②

联立①②可得＝，解得cos A＝.]

4．(2019·石家庄模拟)已知△ABC的面积为3，且内角A，B，C依次成等差数列．

(1)若sin C＝3sin A，求边AC的长；

(2)设D为AC边的中点，求线段BD长的最小值．

[解]　(1)∵△ABC的内角A，B，C依次成等差数列，

∴B＝60°.

设A，B，C所对的边分别为a，b，c，由△ABC的面积S＝3＝acsin B可得ac＝12.

∵sin C＝3sin A，∴由正弦定理知c＝3a，∴a＝2，c＝6.

△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝28，∴b＝2.

即边AC的长为2.

(2)∵BD是AC边上的中线，∴＝(＋)，

∴2＝(2＋2＋2·)＝(a2＋c2＋2accos∠ABC)

＝(a2＋c2＋ac)≥(2ac＋ac)＝9，当且仅当a＝c时取“＝”．

∴||≥3，即BD长的最小值为3.

1.(2019·福建宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为        ．

80　[由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，

所以∠DAC＝15°，

由正弦定理得AC＝＝＝40(＋)．

在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°，

由正弦定理＝，

得BC＝＝＝160sin 15°＝40(－)．

在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1 600×(8＋4)＋1 600×(8－4)＋2×1 600×(＋)×(－)×＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝32 000，

解得AB＝80.

故题图中海洋蓝洞的口径为80.]

2．(2019·福州质检)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在边AB，BC上，CD＝5，CE＝3，且△EDC的面积为3.

(1)求边DE的长；

(2)若AD＝3，求sin A的值．

[解]　(1)如图，在△ECD中，

S△ECD＝CE·CDsin∠DCE＝×3×5×sin∠DCE＝3，

所以sin∠DCE＝，

因为0°＜∠DCE＜90°，

所以cos∠DCE＝＝.

所以DE2＝CE2＋CD2－2CD·CEcos∠DCE＝9＋25－2×3×5×＝28，

所以DE＝2.

(2)因为∠ACB＝90°，所以sin∠ACD＝sin(90°－∠DCE)＝cos∠DCE＝，

在△ADC中，由正弦定理得＝，

即＝，

所以sin A＝.