高中数学高考课后限时集训27 正弦定理、余弦定理 作业

　　　　　　　正弦定理、余弦定理

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一、选择题

1．已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b等于(　　)

A．2　　　　B．1　　　　C.　　　　D.

D　[由正弦定理＝，得＝，所以＝，所以b＝.]

2．(2019·成都模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a＞b，则B＝(　　)

A.  B.  C.  D.

A　[由正弦定理得，sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B，因为sin B≠0，所以sin Acos C＋sin Ccos A＝，即sin(A＋C)＝，所以sin B＝.已知a＞b，所以B不是最大角，所以B＝.]

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则cos B等于(　　)

A．－  B.  C．－  D.

B　[由正弦定理知＝＝1，即tan B＝，

由B∈(0，π)，所以B＝，所以cos B＝cos ＝，故选B.]

4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　　)

A.  B.  C.  D.

C　[由题可知S△ABC＝absin C＝，所以a2＋b2－c2＝2absin C，由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcos C，所以sin C＝cos C．因为C∈(0，π)，所以C＝.故选C.]

5．在△ABC中，若＝，则△ABC的形状是(　　)

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．等腰直角三角形

D．等腰三角形或直角三角形

D　[由已知＝＝＝，所以＝或＝0，即C＝90°或＝.当C＝90°时，△ABC为直角三角形．当＝时，由正弦定理，得＝，所以＝，即sin Ccos C＝sin Bcos B，即sin 2C＝sin 2B.因为B，C均为△ABC的内角，所以2C＝2B或2C＋2B＝180°，所以B＝C或B＋C＝90°，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.]

二、填空题

6．在锐角△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asin B＝b，则角A＝________．

　[因为2asin B＝b，所以2sin Asin B＝sin B，得sin A＝，所以A＝或A＝.因为△ABC为锐角三角形，所以A＝.]

7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________．

　[在△ABC中，由cos A＝，cos C＝，可得sin A＝，sin C＝，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos A·sin C＝，由正弦定理得b＝＝.]

8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为________．

＋1　[∵b＝2，B＝，C＝，

由正弦定理＝，

得c＝＝＝2，A＝π－(＋)＝，

∴sin A＝sin(＋)＝sin cos ＋cos sin ＝.

则S△ABC＝bc·sin A＝×2×2×＝＋1.]

三、解答题

9．(2019·北京高考)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－.

(1)求b，c的值；

(2)求sin(B－C)的值．

[解]　(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得

b2＝32＋c2－2×3×c×(－)．

因为b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×(－)．

解得c＝5.所以b＝7.

(2)由cos B＝－得sin B＝.

由正弦定理得sin C＝sin B＝.

在△ABC中，∠B是钝角，所以∠C为锐角．

所以cos C＝＝.

所以sin(B－C)＝sin Bcos C－cos Bsin C＝.

10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为.

(1)求sin Bsin C；

(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．

[解]　(1)由题设得acsin B＝，

即csin B＝.

由正弦定理，得sin Csin B＝，

故sin Bsin C＝.

(2)由题设及(1)，得cos Bcos C－sin Bsin C＝－，

即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝.

由题意得bcsin A＝，a＝3，所以bc＝8.

由余弦定理，得b2＋c2－bc＝9，

即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝.

故△ABC的周长为3＋.

1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos B－c－＝0，a2＝bc，b＞c，则＝(　　)

A.  B．2  C．3  D.

B　[由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B可得acos B＝，又acos B－c－＝0，a2＝bc，所以c＋＝，即2b2－5bc＋2c2＝0，所以有(b－2c)·(2b－c)＝0.所以b＝2c或c＝2b，又b＞c，所以＝2.故选B.]

2．在△ABC中，B＝30°，AC＝2，D是AB边上的一点，CD＝2，若∠ACD为锐角，△ACD的面积为4，则sin A＝________，BC＝________．

　4　[依题意得S△ACD＝CD·AC·sin∠ACD＝2·sin∠ACD＝4，解得sin∠ACD＝.又∠ACD是锐角，所以cos∠ACD＝.在△ACD中，AD＝＝4.由正弦定理得，＝，即sin A＝＝.在△ABC中，＝，即BC＝＝4.]

3．(2019·西安质检)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知2acos2＋2ccos2＝b.

(1)求证：2(a＋c)＝3b；

(2)若cos B＝，S＝，求b.

[解]　(1)证明：由已知得，

a(1＋cos C)＋c(1＋cos A)＝b.

在△ABC中，过B作BD⊥AC，垂足为D，

则acos C＋ccos A＝b.

所以a＋c＝b，即2(a＋c)＝3b.

(2)因为cos B＝，所以sin B＝.

因为S＝acsin B＝ac＝，

所以ac＝8.

又b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)，2(a＋c)＝3b，

所以b2＝－16×(1＋)，所以b＝4.

1．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S△ABC＝2，a＋b＝6，＝2cos C，则c等于(　　)

A．2  B．4  C．2  D．3

C　[∵＝2cos C，

由正弦定理，

得sin Acos B＋cos Asin B＝2sin Ccos C，

∴sin(A＋B)＝sin C＝2sin Ccos C，

由于0＜C＜π，sin C≠0，∴cos C＝，∴C＝，

∵S△ABC＝2＝absin C＝ab，∴ab＝8，

又a＋b＝6，解得或

c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋16－8＝12，

∴c＝2，故选C.]

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－)bc，sin Asin B＝cos2，BC边上的中线AM的长为.

(1)求角A和角B的大小；

(2)求△ABC的面积．

[解]　(1)由a2－(b－c)2＝(2－)bc，

得a2－b2－c2＝－bc，∴cos A＝＝，

又0＜A＜π，∴A＝.

由sin Asin B＝cos2，

得sin B＝，即sin B＝1＋cos C，

则cos C＜0，即C为钝角，

∴B为锐角，且B＋C＝，

则sin(－C)＝1＋cos C，化简得cos(C＋)＝－1，

解得C＝，∴B＝.

(2)由(1)知，a＝b，在△ACM中，

由余弦定理得AM2＝b2＋()2－2b··cos C＝b2＋＋＝()2，

解得b＝2，

故S△ABC＝absin C＝×2×2×＝.