专题05 平面解析几何（选择题、填空题）-备战2022年高考数学（理）母题题源解密（全国甲卷）（原卷版）

专题05  平面解析几何（选择题、填空题）

1．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为

A．  B．

C．  D．

【试题来源】2021年全国高考甲卷（理）

【答案】A

【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案．

【解析】因为，由双曲线的定义可得，

所以，；因为，由余弦定理可得，

整理可得，所以，即．故选A

【名师点睛】双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键．

1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=

A．2  B．3

C．6  D．9

2．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为

A．  B． 

C．  D．

3.【2020年高考全国Ⅲ卷理数】设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为

A．   B．  

C．   D．

4．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】11.设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=

A． 1  B． 2

C． 4  D． 8

5.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为

A．  B． 

C．  D．

6．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为

A．4  B．8 

C．16  D．32

7．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为

A．  B．

C．  D．

8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p=

A．2            B．3           

C．4              D．8

9．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F为双曲线C：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点．若，则C的离心率为

A．   B．  

C．2  D．

10．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为

A．  B．

C．  D．

1．求圆的方程必须具备三个独立的条件．从圆的标准方程来看，关键在于求出圆心坐标和半径，从圆的一般方程来讲，能知道圆上的三个点即可求出圆的方程，因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．

2．判断直线与圆的位置关系时，通常用几何法，其步骤是：

（1）明确圆心C的坐标（a,b）和半径长r，将直线方程化为一般式；

（2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d；

（3）比较d与r的大小，写出结论.

3．判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是：

（1）确定两圆的圆心坐标和半径长；

（2）利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求；

（3）比较的大小，写出结论.

4．涉及直线被圆截得的弦长问题，一般有两种求解方法：

一是利用半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，结合勾股定理求解；

二是若斜率为k的直线l与圆C交于两点，则.

5．求两圆公共弦长一般有两种方法：

一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求解；

二是求出两圆公共弦所在直线的方程，转化为直线被圆截得的弦长问题.

6．求过圆上的一点的切线方程：

先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则由图形可写出切线方程为;若,则由图形可写出切线方程为;若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可求切线方程.

7．求过圆外一点的圆的切线方程：

（1）几何方法

当斜率存在时，设为k，则切线方程为，即.由圆心到直线的距离等于半径长，即可得出切线方程.

（2）代数方法

当斜率存在时，设为k，则切线方程为，即,代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由,求得k,切线方程即可求出.

8．在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．

9．求椭圆的方程有两种方法：

（1）定义法．根据椭圆的定义，确定a2,b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．

（2）待定系数法．这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：

第一步，做判断．根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）．

第二步，设方程．根据上述判断设方程为或．

第三步，找关系．根据已知条件，建立关于的方程组（注意椭圆中固有的等式关系）．

第四步，得椭圆方程．解方程组，将解代入所设方程，即为所求．

注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为．

10．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法：

（1）求出a,c，代入公式．

（2）只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为a,c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e或e2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）．

11．在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．求双曲线方程时，一是注意判断标准形式；二是注意a、b、c的关系易错易混.

12．求解双曲线的标准方程时，先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴，从而设出相应的标准方程的形式，然后利用待定系数法求出方程中的的值，最后写出双曲线的标准方程.在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为.

13．对于双曲线的渐近线，有下面两种考查方式：

（1）已知双曲线的方程求其渐近线方程;

（2）给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程，由渐近线方程可确定a,b的关系，结合已知条件可解.

14．求双曲线的离心率一般有两种方法：

（1）由条件寻找满足的等式或不等式，一般利用双曲线中的关系将双曲线的离心率公式变形，即，注意区分双曲线中的关系与椭圆中的关系，在椭圆中，而在双曲线中.

（2）根据条件列含的齐次方程，利用双曲线的离心率公式转化为含或的方程，求解可得，注意根据双曲线离心率的范围对解进行取舍.

15．求解双曲线的离心率的范围，一般是根据条件，结合和，得到关于的不等式，求解即得.注意区分双曲线离心率的范围，椭圆离心率的范围.另外，在建立关于的不等式时，注意双曲线上的点到焦点的距离的最值的应用.

16．抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即或，使问题简化．

17．与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是p与交点横（纵）坐标的和还是与交点横（纵）坐标的差，这是正确解题的关键．

一、单选题

1．圆C：被直线截得的最短弦长为

A．  B．

C．  D．

2．若直线：与：互相垂直，则的值为

A．  B．

C．  D．

3．已知双曲线的一个焦点到其中一条渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为

A．  B．

C．  D．

4．已知抛物线的焦点为，准线，点在抛物线上，点M在直线上的射影为A，且直线的斜率为，则的面积为．

A．  B．

C．  D．

5．已知双曲线的左焦点为F，点F到双曲线C的一条渐近线的距离为，则双曲线C的渐近线方程为

A． B．

C． D．

6．抛物线的焦点到直线的距离为

A．  B．1

C．  D．

7．已知左、右焦点分别为，的双曲线：上一点到左焦点的距离为6，点为坐标原点，点为的中点，若，则双曲线的渐近线方程为

A． B．

C． D．

8．设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为．设，与相交于点．若，且的面积为，则的值为

A．  B．

C．  D．

9．已知圆的方程为，过点的直线与圆相交于，两点，当最小时，则直线方程为

A． B．

C． D．

10．已知过点且与两坐标轴都有交点的直线与圆相切，则直线的方程为

A． B．

C．或 D．或

11．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为

A．1  B．

C．2  D．

12．设，为椭圆：的两个焦点，点在上，且，，成等比数列，则的离心率的最大值为

A．  B．

C．  D．

13．已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，的延长线交y轴于点N．若M为的中点，则

A．4  B．6

C．8  D．10

14．过抛物线的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段中点的横坐标为3，则等于（　　）

A．2  B．4

C．6  D．8

15．已知双曲线的右焦点为，抛物线与双曲线共焦点，点在双曲线的渐近线上，是等边三角形（为原点），则双曲线的标准方程为

A．  B．

C．  D．

16．已知直线过抛物线：的焦点，与抛物线交于，两点，且，，成等差数列，则直线的斜率

A．  B．

C．  D．

17．双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支在第一象限的交点为，与轴的交点为，且为的中点，若的周长为，则双曲线的渐近线方程为

A． B．

C． D．

18．已知椭圆和双曲线有公共焦点，，和在第一象限的交点为，且双曲线的虚轴长为实轴长的倍，则椭圆的离心率为

A．  B．

C．  D．

19．已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若，且在，之间，则

A．  B．

C．  D．

20．已知为圆上一动点，则点到直线的距离的最大值是

A．  B．

C．  D．

21．已知圆，，则这两圆的公共弦长为

A．2  B．

C．2  D．1

22．已知双曲线C：的焦距为，其两条渐近线均与圆相切，则双曲线C的离心率为

A．  B．

C．2  D．

23．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为

A．  B．

C．  D．

24．已知椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M、N)，△AF1B的周长为，且直线AM与AN的斜率之积为－，则椭圆C的标准方程为

A． B．

C． D．

25．已知点是椭圆上异于顶点的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是平分线上的一点，且，则的取值范围是

A．  B．

C．  D．

26．抛物线的准线方程为，F为抛物线的焦点，P为抛物线上一个动点，Q为曲线上的一个动点，则的最小值为

A．7  B．

C．8  D．

27．已知抛物线：的焦点为，点，分别在抛物线上，且，，则

A．4 B．6

C．8 D．12

28．已知直线l与圆x2+y2=8相切，与抛物线y2=4x相交于A，B两点，（O为坐标原点）直线l方程为

A．x+y-4=0或x-y+4=0 B．x-y-4=0或x+y-4=0

C．x+2y+4=0或x-2y-4=0 D．x-2y+4=0或x+2y+4=0

29．已知抛物线的焦点为，直线过点与抛物线交于，两点，与其准线交于点（点在点，之间），若，且，则

A．1  B．2

C．4  D．5

30．已知双曲线的右焦点为，直线､是双曲线的两渐近线，，是垂足．点在双曲线上，经过分别与､平行的直线与､相交于､两点，是坐标原点，的面积为，四边形的面积为．则

A．  B．

C．  D．

31．已知双曲线，过其右焦点作渐近线的垂线，垂足为，交轴于点，交另一条渐近线于点，并且点位于点，之间．已知为原点，且，则双曲线离心率为

A．2  B．

C．  D．

32．已知点在圆：上，椭圆：的右焦点为，点在椭圆上，且圆上的所有点均在椭圆外，若的最小值为，且椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，过点作圆的切线，则切线斜率为

A．  B．

C．  D．

33．双曲线与椭圆有两个公共焦点，，其中在轴左侧且该双曲线与直线相切，则的值是

A．  B．

C．  D．1

34．已知抛物线，过点的直线交抛物线于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，O为坐标原点，则四边形的面积是

A．  B．

C．  D．

35．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与其左支交于点，若存在，使，，且，则双曲线的离心率为

A．  B．

C．  D．

二、填空题

36．过原点且倾斜角为的直线与圆相交，则直线被圆截得的弦长为___________．

37．设椭圆的左、右焦点分别为，A是椭圆上一点，，若原点到直线的距离为，则该椭圆的离心率为___________．

38．已知双曲线的左､右顶点分别为，，右焦点为F，P为C上一点，且轴，过点的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点N，直线与y轴交于点H，若(为坐标原点)，则C的离心率为___________．

39．已知双曲线的右焦点为F，以（O为原点）为直径的圆与双曲线E的两条渐近线分别交于点M，N（M，N异于点O）．若，则双曲线E的离心率为___________．

40．已知双曲线：的一条渐近线为，则双曲线的实轴长为___________．

41．已知椭圆：的右焦点为，若过的直线与椭圆交于，两点，则的取值范围是___________．

42．若直线经过点，则圆锥曲线的离心率为___________．

43．设点P是直线上的动点，过点P引圆的切线（切点为），若的最大值为，则该圆的半径r等于___________．

44．已知、分别是双曲线的左右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为___________．

45．已知F是抛物线的焦点，P是抛物线上的一个动点，A（3，1），则周长的最小值为___________．

46．如图，过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及准线于点，，，，且，则___________．

47．已知椭圆：的左顶点为，上顶点为，右焦点为，且是等腰三角形，则椭圆的离心率为___________．

48．已知双曲线的左、右焦点分别为，，斜率大于0的直线经过点与的右支交于，两点，若与的内切圆面积之比为9，则直线的斜率为___________．

49．已知双曲线的左、右焦点分別为，过作直线l垂直于双曲线的一条渐近线，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若，且，则双曲线C的离心率的取值范围为___________．

50．已知椭圆的中心为原点，焦点在轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为，离心率为，若，，为椭圆上三个不同的点，且，则的面积为___________．