专题05 平面解析几何（选择题、填空题）-备战2022年高考数学（理）母题题源解密（全国甲卷）（解析版）

这是一份专题05 平面解析几何（选择题、填空题）-备战2022年高考数学（理）母题题源解密（全国甲卷）（解析版），共40页。试卷主要包含了求两圆公共弦长一般有两种方法，故选D等内容，欢迎下载使用。

专题05 平面解析几何（选择题、填空题）

1．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为
A． B．
C． D．
【试题来源】2021年全国高考甲卷（理）
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案．
【解析】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；因为，由余弦定理可得，
整理可得，所以，即．故选A
【名师点睛】双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键．

1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=
A．2 B．3
C．6 D．9
【答案】C
【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，
即，解得.故选：C．
【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.
2．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】圆的方程可化为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离．依圆的知识可知，四点四点共圆，且，
所以，而，
当直线时，，，此时最小．
∴即，由解得，．
所以以为直径的圆的方程为，即，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．故选：D．
【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
3.【2020年高考全国Ⅲ卷理数】设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为直线与抛物线交于两点，且，
根据抛物线的对称性可以确定，所以，
代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，
故选：B．
【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.
4．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】11.设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=
A． 1 B． 2
C． 4 D． 8
【答案】A
【解析】，，根据双曲线的定义可得，
，即，，，
，即，解得，故选：A．
【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.
5.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为.
由题意可得，可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为；
圆心到直线的距离均为
圆心到直线的距离均为；
所以圆心到直线的距离为.故选：B．
6．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为
A．4 B．8
C．16 D．32
【答案】B
【解析】，双曲线的渐近线方程是，
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限，联立，解得，故，
联立，解得，故，，
面积为：，
双曲线，其焦距为，
当且仅当取等号，的焦距的最小值：.故选：B．
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
7．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】法一：如图，由已知可设，则，
由椭圆的定义有．
在中，由余弦定理推论得．
在中，由余弦定理得，解得．
所求椭圆方程为，故选B．

法二：由已知可设，则，
由椭圆的定义有．
在和中，由余弦定理得，
又互补，，两式消去，
得，解得．所求椭圆方程为，故选B．
【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p=
A．2 B．3
C．4 D．8
【答案】D
【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，
所以，解得，故选D．
【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，从而解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，从而得到选D．
9．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F为双曲线C：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点．若，则C的离心率为
A． B．
C．2 D．
【答案】A
【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，∴，，
又点在圆上，，即．，故选A．

【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a的关系，可求双曲线的离心率．
10．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，
又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，则，
，故选A．
【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．

1．求圆的方程必须具备三个独立的条件．从圆的标准方程来看，关键在于求出圆心坐标和半径，从圆的一般方程来讲，能知道圆上的三个点即可求出圆的方程，因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．
2．判断直线与圆的位置关系时，通常用几何法，其步骤是：
（1）明确圆心C的坐标（a,b）和半径长r，将直线方程化为一般式；
（2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d；
（3）比较d与r的大小，写出结论.
3．判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是：
（1）确定两圆的圆心坐标和半径长；
（2）利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求；
（3）比较的大小，写出结论.
4．涉及直线被圆截得的弦长问题，一般有两种求解方法：
一是利用半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，结合勾股定理求解；
二是若斜率为k的直线l与圆C交于两点，则.
5．求两圆公共弦长一般有两种方法：
一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求解；
二是求出两圆公共弦所在直线的方程，转化为直线被圆截得的弦长问题.
6．求过圆上的一点的切线方程：
先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则由图形可写出切线方程为;若,则由图形可写出切线方程为;若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可求切线方程.
7．求过圆外一点的圆的切线方程：
（1）几何方法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为，即.由圆心到直线的距离等于半径长，即可得出切线方程.
（2）代数方法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为，即,代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由,求得k,切线方程即可求出.
8．在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．
9．求椭圆的方程有两种方法：
（1）定义法．根据椭圆的定义，确定a2,b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．
（2）待定系数法．这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：
第一步，做判断．根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）．
第二步，设方程．根据上述判断设方程为或．
第三步，找关系．根据已知条件，建立关于的方程组（注意椭圆中固有的等式关系）．
第四步，得椭圆方程．解方程组，将解代入所设方程，即为所求．
注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为．
10．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法：
（1）求出a,c，代入公式．
（2）只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为a,c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e或e2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）．
11．在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．求双曲线方程时，一是注意判断标准形式；二是注意a、b、c的关系易错易混.
12．求解双曲线的标准方程时，先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴，从而设出相应的标准方程的形式，然后利用待定系数法求出方程中的的值，最后写出双曲线的标准方程.在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为.
13．对于双曲线的渐近线，有下面两种考查方式：
（1）已知双曲线的方程求其渐近线方程;
（2）给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程，由渐近线方程可确定a,b的关系，结合已知条件可解.
14．求双曲线的离心率一般有两种方法：
（1）由条件寻找满足的等式或不等式，一般利用双曲线中的关系将双曲线的离心率公式变形，即，注意区分双曲线中的关系与椭圆中的关系，在椭圆中，而在双曲线中.
（2）根据条件列含的齐次方程，利用双曲线的离心率公式转化为含或的方程，求解可得，注意根据双曲线离心率的范围对解进行取舍.
15．求解双曲线的离心率的范围，一般是根据条件，结合和，得到关于的不等式，求解即得.注意区分双曲线离心率的范围，椭圆离心率的范围.另外，在建立关于的不等式时，注意双曲线上的点到焦点的距离的最值的应用.
16．抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即或，使问题简化．
17．与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是p与交点横（纵）坐标的和还是与交点横（纵）坐标的差，这是正确解题的关键．

一、单选题
1．圆C：被直线截得的最短弦长为
A． B．
C． D．
【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（五）（文）
【答案】B
【分析】由于直线过定点，所以由圆的性质可知当直线与弦垂直时，弦长最短，从而利用弦、弦心距和半径的关系可求得答案
【解析】直线过定点，圆心，当直线与弦垂直时，弦长最短，，所以最短弦长为，故选B．
2．若直线：与：互相垂直，则的值为
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省资阳中学2022 届高三上学期第一次质量检测
【答案】C
【分析】由两直线垂直直接列方程求解即可
【解析】因为直线：与：互相垂直，
所以，得，解得，故选C
3．已知双曲线的一个焦点到其中一条渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省成都市2022届高三（文）零诊考试
【答案】A
【分析】由一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，可得，进而可得结果．
【解析】因为一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，
设焦点为，渐近线为，所以，即，
所以双曲线的渐近线方程为．故选A．
4．已知抛物线的焦点为，准线，点在抛物线上，点M在直线上的射影为A，且直线的斜率为，则的面积为．
A． B．
C． D．
【试题来源】福建省南安第一中学2021届高三二模
【答案】C
【分析】由题意可知焦准距为2，由直线的斜率为和抛物线的定义，可求出是以4为边长的正三角形，从而求出三角形的面积．
【解析】设准线与轴交于点，所以，因为直线的斜率为，所以，所以，由抛物线定义知，，且，所以是以4为边长的正三角形，其面积为．故选C．
5．已知双曲线的左焦点为F，点F到双曲线C的一条渐近线的距离为，则双曲线C的渐近线方程为
A． B．
C． D．
【试题来源】重庆市第一中学校2021届高三下学期第三次月考
【答案】A
【分析】首先根据题意得到，从而得到，即可得到答案．
【解析】由题知设，一条渐近线方程为，即．
因为，所以，故渐近线方程为．故选A
6．抛物线的焦点到直线的距离为
A． B．1
C． D．
【试题来源】重庆市第八中学2021届高三下学期高考适应性月考（六）
【答案】D
【分析】由抛物线可得焦点坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解．
【解析】由抛物线可得焦点坐标为，根据点到直线的距离公式，可得，故选D．
7．已知左、右焦点分别为，的双曲线：上一点到左焦点的距离为6，点为坐标原点，点为的中点，若，则双曲线的渐近线方程为
A． B．
C． D．
【试题来源】云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷（八）（文）
【答案】A
【分析】首先由，得到，再根据双曲线的定义，得到的值，即可根据公式，计算双曲线的渐近线方程．
【解析】由，得，所以点P在双曲线左支上，故，所以，得双曲线的方程为，所以双曲线C的渐近线方程为，故选A．
8．设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为．设，与相交于点．若，且的面积为，则的值为
A． B．
C． D．
【试题来源】江西省景德镇一中2022届高三7月月考（理）
【答案】D
【分析】如图所示，．由于轴，，，可得，．利用抛物线的定义可得，代入可取，再利用即可得出．
【解析】如图所示，，．所以．

轴，，，所以四边形为平行四边形，
，．，解得，代入可取，
，解得．故选．
9．已知圆的方程为，过点的直线与圆相交于，两点，当最小时，则直线方程为
A． B．
C． D．
【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（六）（文）
【答案】D
【分析】由题意可知当最小时，则弦最小，此时，从而可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程
【解析】由题意可得圆心坐标为，由三角形的大边对大角可知，当最小时，则弦最小，
所以，，
所以直线方程为，故选D．
10．已知过点且与两坐标轴都有交点的直线与圆相切，则直线的方程为
A． B．
C．或 D．或
【试题来源】【高频考点解密】2021年高考数学（文）二轮复习讲义 分层训练
【答案】A
【分析】根据点斜式设出直线的方程，然后根据直线与圆的位置关系得到方程，解方程即可．
【解析】由于直线过点且与两坐标轴都有交点，则直线的斜率存在且不为零，
设直线的方程为，即，
圆的圆心坐标为，半径为，由题意可得，解得，
所以，直线的方程为，即．故选A．
11．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为
A．1 B．
C．2 D．
【试题来源】河北省唐山市第十一中学2021届高三下学期3月调研
【答案】A
【分析】利用抛物线的定义进行转化，结合图象可知当三点共线时即可得出答案．
【解析】如图所示，设此抛物线的焦点为，准线．
过点作，垂足为．
则，到轴的距离，
则点到点的距离与到轴的距离之和为
设，因此当、、三点共线时，取得最小值．
．即的最小值为，
所以则点到点的距离与到轴的距离之和为．故选A．

12．设，为椭圆：的两个焦点，点在上，且，，成等比数列，则的离心率的最大值为
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省南京市第二十九中学2021-2022学年高三上学期8月第二次学情调研
【答案】B
【分析】由椭圆定义得，再结合基本不等式可建立的不等关系可得答案．
【解析】设，，因为成等比数列，
所以，由得，
即，当且仅当时 等号成立，所以椭圆C的离心率的最大值为．故选B．
13．已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，的延长线交y轴于点N．若M为的中点，则
A．4 B．6
C．8 D．10
【试题来源】湖南省永州市第四中学2021届高三下学期高考冲刺（二）
【答案】B
【解析】不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线交x轴于点，作于点A，于点B，如图，而点，M为的中点，则，

所以．故选B
14．过抛物线的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段中点的横坐标为3，则等于（　　）
A．2 B．4
C．6 D．8
【试题来源】江苏省2021年对口高考单招一模
【答案】D
【分析】根据抛物线方程得它的准线为，从而得到线段中点到准线的距离等于4．过、分别作、与垂直，垂足分别为、，根据梯形中位线定理算出，结合抛物线的定义即可算出的长．
【解析】抛物线方程为，抛物线的焦点为，准线为
设线段的中点为，则到准线的距离为，
过、分别作、与垂直，垂足分别为、，

根据梯形中位线定理，可得，再由抛物线的定义知，，
．故选D．
15．已知双曲线的右焦点为，抛物线与双曲线共焦点，点在双曲线的渐近线上，是等边三角形（为原点），则双曲线的标准方程为
A． B．
C． D．
【试题来源】天津市宝坻区大口屯高级中学2021届高考模拟
【答案】A
【分析】根据抛物线的焦点坐标，结合双曲线的渐近线方程和等边三角形的性质进行求解即可．
【解析】因为抛物线的焦点坐标为，所以有，
双曲线的渐近线方程为，
因为点在双曲线的渐近线上，是等边三角形，
所以有，而，解得，故选A
16．已知直线过抛物线：的焦点，与抛物线交于，两点，且，，成等差数列，则直线的斜率
A． B．
C． D．
【试题来源】广东省2022届高三上学期8月阶段性质量检测
【答案】D
【分析】设出直线方程，与抛物线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系，结合抛物线定义、等差数列的性质进行求解即可．
【解析】根据题意可得直线的斜率存在．因为抛物线：的焦点，所以直线的方程可设为，与抛物线方程联立得，设，
因此，因为，，成等差数列，所以，
于是有，化简得，而，所以解得
或（舍去），因为，所以，解得，故选D
17．双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支在第一象限的交点为，与轴的交点为，且为的中点，若的周长为，则双曲线的渐近线方程为
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省2021-2022学年高三入学考试数学（理）
【答案】B
【分析】由的周长为，结合双曲线的定义和对称性得到，，再由为的中点，得到为等边三角形求解．
【解析】如图所示：由对称性可知，因为的周长为，所以，

又，所以，．因为为的中点，所以，
则为等边三角形，所以，，．
因为，所以在中，．所以，，
即双曲线的渐近线方程为．故选B
18．已知椭圆和双曲线有公共焦点，，和在第一象限的交点为，且双曲线的虚轴长为实轴长的倍，则椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
【试题来源】全国Ⅰ卷2021届高三高考数学（文）押题试题（一）
【答案】B
【分析】设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，椭圆长半轴长为，由双曲线定义和椭圆定义可求得关系，从而得离心率．
【解析】设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，椭圆长半轴长为，设，
则，，又，所以，，
由余弦定理得，即，
，，
所以，，所以椭圆离心率为．故选B．
19．已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若，且在，之间，则
A． B．
C． D．
【试题来源】湖南省益阳市箴言中学2021届高三下学期十模试
【答案】B
【分析】求出焦点坐标，利用面积比得是线段的中点，设，则可得点坐标，由在另一渐近线上求得值，从而可得线段长．
【解析】双曲线中，，所以，设，
因为，所以点为线段的中点，则．
又点在直线，则，解得，所以，
此时，．故选B．
【名师点睛】本题考查双曲线的几何性质，渐近线方程，焦点坐标等等．解题关键是由面积比得出点为线段的中点，这样设出一个点的坐标，由另一点在另一渐近线上，求得（或）坐标，从而易得线段长．
20．已知为圆上一动点，则点到直线的距离的最大值是
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省成都市2022届高三（文）零诊考试
【答案】C
【解析】因为圆，所以圆心，半径，所以圆心到直线的距离，
所以圆上的点到直线的距离最大值为，故选C．
【名师点睛】本题考查圆上的点到直线距离的最值问题，利用圆的几何性质是解题的关键．
21．已知圆，，则这两圆的公共弦长为
A．2 B．
C．2 D．1
【试题来源】湖南省新高考2021届高三下学期考前押题《最后一卷》
【答案】C
【分析】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，用垂径定理求弦长．
【解析】由题意知，，
将两圆的方程相减，得，所以两圆的公共弦所在直线的方程为．
因为圆的圆心为，半径，所以圆的圆心到直线的距离．
所以这两圆的公共弦的弦长为．故选C．
22．已知双曲线C：的焦距为，其两条渐近线均与圆相切，则双曲线C的离心率为
A． B．
C．2 D．
【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（五）（文）
【答案】D
【分析】由题得圆心到直线的距离等于半径，即，化简即得解．
【解析】双曲线的渐近线为，
因为两条渐近线均与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
即，因为，整理得到，故双曲线C的离心率为．故选D
23．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为
A． B．
C． D．
【试题来源】重庆市第八中学2021届高三下学期高考适应性考试（二）
【答案】B
【分析】求出关于直线的对称点坐标，由到圆心距离减去圆半径可得．
【解析】设点A关于直线的对称点，的中点为
故解得，要使从点A到军营总路程最短，
即点到军营最短距离，“将军饮马”的最短总路程为．故选B．
24．已知椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M、N)，△AF1B的周长为，且直线AM与AN的斜率之积为－，则椭圆C的标准方程为
A． B．
C． D．
【试题来源】【高频考点解密】2021年高考数学（理）二轮复习讲义 分层训练
【答案】C
【分析】先利用周长为求得值，得到M，N坐标，再设点，利用直线AM与AN的斜率之积构建关系，结合满足已知方程，解得，即得结果．
【解析】由△AF1B的周长为，可知，
解得，则，设点，由直线AM与AN的斜率之积为－，
可得，即 ①．
又，所以 ②，
由①②解得，所以椭圆C的标准方程为．故选C．
25．已知点是椭圆上异于顶点的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是平分线上的一点，且，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】内蒙古呼和浩特市2021届高三二模（理）
【答案】C
【分析】延长、相交于点，连接，利用椭圆的定义分析得出，设点，求出的取值范围，利用椭圆的方程计算得出，由此可得出结果．
【解析】如下图，延长、相交于点，连接，

因为，则，
因为为的角平分线，所以，，则点为的中点，
因为为的中点，所以，，
设点，由已知可得，，，
则且，且有，
，
故，所以，．故选C．
26．抛物线的准线方程为，F为抛物线的焦点，P为抛物线上一个动点，Q为曲线上的一个动点，则的最小值为
A．7 B．
C．8 D．
【试题来源】重庆市第一中学2021届高三下学期第二次月考
【答案】A
【分析】根据抛物线定义，要使最小等价于最小，即三点共线，再由圆上点到定直线距离最小，可知只需圆心到距离减去半径为最小，即可求最小值．
【解析】由题意可知抛物线方程为，曲线：，图象如下：

过作准线于，则由抛物线定义知，
所以，则要使最小，只需三点共线且最小即可．
所以只要到直线距离最短，即到距离减去半径，故最小值为7．故选A
27．已知抛物线：的焦点为，点，分别在抛物线上，且，，则
A．4 B．6
C．8 D．12
【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（六）（文）
【答案】B
【分析】由抛物线的定义及其性质，解三角形的知识结合焦点弦公式，即可解出．
【解析】令，则，过，作准线：的垂线，垂足为，，过作，垂足为，如图，易得，所以在中，，
所以直线的倾斜角为，焦点弦，所以，故选B．

28．已知直线l与圆x2+y2=8相切，与抛物线y2=4x相交于A，B两点，（O为坐标原点）直线l方程为
A．x+y-4=0或x-y+4=0 B．x-y-4=0或x+y-4=0
C．x+2y+4=0或x-2y-4=0 D．x-2y+4=0或x+2y+4=0
【试题来源】山东省菏泽市2021届高三二模
【答案】B
【分析】先讨论直线斜率不存在的情况得直线斜率必存在，进而设，，由圆与直线相切可知，直线与抛物线联立方程，并结合根与系数关系和数量积运算得，进而解得答案．
【解析】若直线斜率不存在，由题知，此时，
，不合题意，故斜率必存在；设，
由圆与直线相切可知，圆心到直线的距离，
所以①，由消去得，所以，，
，
由题，可得②，
由①②可得，，则直线为或．故选B.
29．已知抛物线的焦点为，直线过点与抛物线交于，两点，与其准线交于点（点在点，之间），若，且，则
A．1 B．2
C．4 D．5
【试题来源】福建省莆田二中2019-2020学年高三8月月考（文）
【答案】C
【分析】设，则，，设准线与轴的交点为，，，在准线上的射影分别为，，分别在三角形和三角形中，运用相似三角形的性质，对应边成比例，解方程可得的值，即可得到所求抛物线的方程．
【解析】设，则，，设准线与轴的交点为，，
，在准线上的射影分别为，，由抛物线的定义可得，，
在中，，即为；在中，，即，
解得，可得，故选C．

30．已知双曲线的右焦点为，直线､是双曲线的两渐近线，，是垂足．点在双曲线上，经过分别与､平行的直线与､相交于､两点，是坐标原点，的面积为，四边形的面积为．则
A． B．
C． D．
【试题来源】云南省曲靖市2021届高三二模（文）
【答案】A
【分析】由双曲线方程求出两条渐近线方程，设，得出两条与渐近线平行的直线方程，联立直线方程求出A、B的坐标，可得与的值，即可求出四边形OAMB的面积，再求出的面积即可．
【解析】由题意知，双曲线的渐近线方程为，不妨设，则，设，
所以过M与平行的直线方程为，过M与平行的直线方程为；
所以，解得，同理，解得，
所以，，得；
又，为等腰三角形，所以，
所以，所以．故选A
31．已知双曲线，过其右焦点作渐近线的垂线，垂足为，交轴于点，交另一条渐近线于点，并且点位于点，之间．已知为原点，且，则双曲线离心率为
A．2 B．
C． D．
【试题来源】湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高三上学期月考（一）
【答案】C
【分析】由已知求得，，再由．求得，由双曲线的离心率公式可得选项．
【解析】双曲线的右焦点，渐近线的方程为，即，
渐近线OA的方程为，即．所以，，．所以，．
解得或（舍去），所以双曲线的离心率为，故选C．

32．已知点在圆：上，椭圆：的右焦点为，点在椭圆上，且圆上的所有点均在椭圆外，若的最小值为，且椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，过点作圆的切线，则切线斜率为
A． B．
C． D．
【试题来源】广东省广州市省实、广雅、执信、六中四校2022届高三上学期8月联考
【答案】B
【分析】由题意求得，设椭圆的左焦点，得到，结合的最小值为，求得，得到椭圆的方程，设切线方程为，结合圆心到直线的距离等于半径，即可求解．
【解析】由题意，椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，，可得，
圆心坐标为，，设椭圆的左焦点，则，
所以，
而取最小时为共线时，且为，
解得，所以，所以椭圆的方程为，
设过点点作圆的切线方程为，则，
解得，即切线斜率为．故选B．

33．双曲线与椭圆有两个公共焦点，，其中在轴左侧且该双曲线与直线相切，则的值是
A． B．
C． D．1
【试题来源】浙江省杭州市桐庐中学2020-2021学年高三上学期暑期阶段性测试试题
【答案】D
【分析】利用公共焦点得到，再运用双曲线与直线相切得到，两式联解得解．
【解析】因为双曲线与椭圆有两个公共焦点，，
，，又双曲线与直线相切，
化简得，，
把代入方程化简得，，解得(舍负)．故选D．
34．已知抛物线，过点的直线交抛物线于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，O为坐标原点，则四边形的面积是
A． B．
C． D．
【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（五）（理）
【答案】A
【分析】由抛物线定义将A到焦点的距离转化为A到准线的距离，求出A的横坐标，进而得到纵坐标，设出直线AB，代入抛物线方程利用根与系数的关系求出|y1-y2|，进而求出面积．
【解析】抛物线的准线方程为，设，，由抛物线的定义可知，，由抛物线的对称性，不妨令，设直线的方程为，由得，，所以，四边形的面积，故选A．
35．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与其左支交于点，若存在，使，，且，则双曲线的离心率为
A． B．
C． D．
【试题来源】湖南省邵阳市第二中学2021-2022学年高三上学期7月第一次月考
【答案】D
【解析】存在，使，说明为线段上的点，说明，即为直角，过且斜率为的直线与其左支交于点，说明，所以△为等腰直角三角形，
所以在轴上，是在上的投影，是在上的投影，
分别是线段和的长度，，
说明，所以，所以△≌△，所以△为等腰直角三角形，
，
所以双曲线的离心率为，故选D．
二、填空题
36．过原点且倾斜角为的直线与圆相交，则直线被圆截得的弦长为___________．
【试题来源】天津市滨海新区2020届高三下学期毕业班质量检测（二）
【答案】
【分析】由已知求出直线方程，将圆方程化为标准方程求出圆心和半径，然后求出圆心到直线的距离，再利用弦长、弦心距和半径的关系求出弦长
【解析】由题意得直线方程为，即，
由，得，则圆心为，半径为2，
所以圆心到直线的距离为，
所以所求弦长为，故答案为
37．设椭圆的左、右焦点分别为，A是椭圆上一点，，若原点到直线的距离为，则该椭圆的离心率为___________．
【试题来源】四川省内江市2022届高三零模（理）
【答案】
【分析】由，求得，过作，根据题意得到，根据，得到，整理得到，结合离心率的定义，即可求解．
【解析】因为，不妨设点，其中，
代入椭圆方程，可得，解得，所以，即，
过作，因为原点到直线的距离为，即，
由，可得，即，
又由，整理得，即，
因为，解得，即椭圆的离心率为．故答案为．

38．已知双曲线的左､右顶点分别为，，右焦点为F，P为C上一点，且轴，过点的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点N，直线与y轴交于点H，若(为坐标原点)，则C的离心率为___________．
【试题来源】重庆市第八中学2021届高三下学期高考适应性月考（六）
【答案】
【分析】根据三角形相似列出比例关系，转化求解双曲线的离心率即可．
【解析】因为，所以，因为，
所以，因为，，所以，即离心率．故答案为
39．已知双曲线的右焦点为F，以（O为原点）为直径的圆与双曲线E的两条渐近线分别交于点M，N（M，N异于点O）．若，则双曲线E的离心率为___________．
【试题来源】陕西省渭南市富平县2020届高三下学期二模（理）
【答案】
【分析】利用圆的对称性，求出，即可求出渐近线的斜率，转化为离心率即可．
【解析】因为为直径，点 在圆上，所以 ，且，即，
那么，渐近线的斜率为，
所以离心率为 ．故答案为
40．已知双曲线：的一条渐近线为，则双曲线的实轴长为___________．
【试题来源】广东省广州市省实、广雅、执信、六中四校2022届高三上学期8月联考
【答案】
【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出的关系，再结合双曲线中对应关系，联立求解，从而求出，即可求解．
【解析】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，
又双曲线中，故，解得（舍去），
所以 ，实轴长．故答案为．
41．已知椭圆：的右焦点为，若过的直线与椭圆交于，两点，则的取值范围是___________．
【试题来源】重庆市巴蜀中学2021届高三适应性（九）
【答案】
【解析】由椭圆性质可知，当，分别为椭圆的顶点时，取最值．
当为椭圆的右顶点时，最小，此时，
此时恰为椭圆的左顶点，最大，此时，此时的最小值为，
同理可得的最大值为2，即的取值范围是．故答案为．
42．若直线经过点，则圆锥曲线的离心率为___________．
【试题来源】重庆市第八中学2021届高三下学期高考适应性考试（一）
【答案】
【分析】由直线所过点的坐标求得，得曲线形状为双曲线，再根据双曲线的性质求得得离心率．
【解析】由条件，，，所以是焦点在y轴上的双曲线，
故离心率．故答案为．
43．设点P是直线上的动点，过点P引圆的切线（切点为），若的最大值为，则该圆的半径r等于___________．
【试题来源】【高频考点解密】2021年高考数学（理）二轮复习讲义 分层训练
【答案】1
【分析】设圆的圆心为，由题意可知，当与直线垂直时，取得最大值，然后利用点到直线的距离公式求出的最小值，因为为，可得，进而可求出圆的半径
【解析】设圆的圆心为，因为点P是直线上的动点，
所以当点到点的距离最小时，取得最大值，此时与直线垂直，
因为为，所以，点到直线的距离为，
在中，，故答案为1
44．已知、分别是双曲线的左右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为___________．
【试题来源】重庆市第七中学2021届高三下学期高考仿真模拟
【答案】
【分析】延长交于点，利用角平分线结合中位线和双曲线定义求得的关系，然后利用求得结果．
【解析】延长交于点，因为是的平分线，，，

又是中点，所以，且，
又，，，．
45．已知F是抛物线的焦点，P是抛物线上的一个动点，A（3，1），则周长的最小值为___________．
【试题来源】陕西省渭南市富平县2021届高三下学期二模（理）
【答案】
【解析】的焦点坐标为，求周长的最小值，即求的最小值，
设点在准线上的射影为，根据抛物线的定义，可知
因此，的最小值，即的最小值
根据平面几何知识，可得当，，三点共线时最小，
因此的最小值为，，
所以周长的最小值为，故答案为．

【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当，，三点共线时最小，是解题的关键．
46．如图，过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及准线于点，，，，且，则___________．

【试题来源】陕西省渭南市富平县2020届高三下学期二模（文）
【答案】
【分析】分别过点，作准线的垂线，交准线于、两点，，由题意可得，所以，即可求出的值，再利用，平行线分线段成比例即可求解．
【解析】如图：分别过点，作准线的垂线，交准线于、两点，设，则，
由双曲线的定义可得，所以，在中，，
因为，，所以，可得，
设准线与轴相交于点，因为，所以即，可得，故答案为．

47．已知椭圆：的左顶点为，上顶点为，右焦点为，且是等腰三角形，则椭圆的离心率为___________．
【试题来源】广东省2022届高三上学期8月阶段性质量检测
【答案】
【分析】先根据椭圆方程确定题中三点的坐标，并求出的三边长，再根据是等腰三角形列等式求解可得，从而椭圆的离心率为．
【解析】根据椭圆方程，可得，，，，，，
有，，若是等腰三角形，则，
有，两边平方整理得，把，代入得，
又，所以，．离心率．故答案为．
48．已知双曲线的左、右焦点分别为，，斜率大于0的直线经过点与的右支交于，两点，若与的内切圆面积之比为9，则直线的斜率为___________．
【试题来源】甘肃省民乐县第一中学2021届高三押题卷（三）（理）
【答案】
【分析】设与的内切圆圆心分别为，， 的内切圆与三边分别切于点，，， 利用内切圆的性质得．设直线的倾斜角为，在中，，在中，，由题得得，再由二倍角公式可得答案．
【解析】设与的内切圆圆心分别为，，连接，，，
的内切圆与三边分别切于点，，，如图，

则，
所以，即，同理，所以，
设直线的倾斜角为，则，
在中，，
在中，，
由题得，所以，
解得，所以．故答案为﹒
49．已知双曲线的左、右焦点分別为，过作直线l垂直于双曲线的一条渐近线，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若，且，则双曲线C的离心率的取值范围为___________．
【试题来源】重庆市第一中学2021届高三下学期第二次月考
【答案】
【分析】由题意知在、之间，若过作直线l垂直于B，交于A，可令求、坐标，进而可得、，应用向量共线的坐标表示，列方程得到a、c的齐次方程，即可求的范围．
【解析】由题意，双曲线C的渐近线为，若过作直线l垂直于B，交于A，．
因为且，所以在、之间，如图示，令，
所以，，则，，
所以， 即，
所以，故，得，又，所以．故答案为

【名师点睛】首先判断、、的位置关系，再设直线方程并求、坐标，利用向量共线的坐标表示列方程，结合已知求参数范围即可．
50．已知椭圆的中心为原点，焦点在轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为，离心率为，若，，为椭圆上三个不同的点，且，则的面积为___________．
【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（六）（文）
【答案】
【分析】根据题意求得椭圆，当的斜率不存在时，设：，求得；
当直线的斜率存在时，设直线，联立方程组，结合弦长公式和点到直线的距离公式，求得，得到，即可求解．
【解析】由题意，椭圆上一点到焦点的最小距离为，离心率为，
可得，解得，则，所以椭圆为，
当直线的斜率不存在时，设直线：，
不妨令，，由，得，，
故，将代入椭圆方程，可得，所以，
所以；当直线的斜率存在时，设直线：，
联立方程组 ，整理得，
设，，则，，
设，由，可得，，代入，可得，
所以，且到直线的距离，
所以，
所以，综上可得，则的面积为．故答案为．