专题06 三视图-备战2022年高考数学（理）母题题源解密（全国甲卷）（解析版）

专题06  三视图

1．在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）

A．  B． 

C．  D．

【试题来源】2021年全国高考甲卷（理）

【答案】D

【分析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断．

【解析】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，

所以其侧视图为，故选D.

1．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为

A．  B．

C．  D．

【答案】A

【解析】根据三视图，画出多面体立体图形，

上的点在正视图中都对应点M,直线上的点在俯视图中对应的点为N,

∴在正视图中对应,在俯视图中对应的点是,线段,上的所有点在侧试图中都对应,

∴点在侧视图中对应的点为.故选A.

【点睛】本题主要考查了根据三视图判断点的位置，解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还原立体图形的方法，考查了分析能力和空间想象，属于基础题.

2．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是

A．6+4         B．4+4

C．6+2         D．4+2

【答案】C

【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，

根据立体图形可得：，

根据勾股定理可得：，是边长为的等边三角形，

根据三角形面积公式可得：

该几何体的表面积是：.故选C．

【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.

1．三视图问题的常见类型及解题策略

（1）由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．

（2）由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示．

（3）由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．

2．已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积．

3．求柱体、锥体、台体体积的一般方法

（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．

（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、割补法等方法进行求解．

①等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积．

②割补法：运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体．要弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系，如果是由几个规则的几何体堆积而成的，其体积就等于这几个规则的几何体的体积之和；如果是由一个规则的几何体挖去几个规则的几何体而形成的，其体积就等于这个规则的几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积．因此，从一定意义上说，用割补法求几何体的体积，就是求体积的“加、减”法．

（3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．

一、单选题

1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

A．2  B．4

C．6  D．12

【试题来源】浙江省路桥中学2021届高三下学期数学综合练习试题（五）

【答案】A

【解析】由三视图可该几何体是底面为直角梯形，高为2的四棱锥，如图所示，

所以该几何体的体积为，故选A

2．一个几何体的三视图均为圆，则该几何体可以是

A．正方体  B．球体

C．三棱柱  D．四棱锥

【试题来源】全国2021届高三高考数学信心提升试题

【答案】B

【分析】根据该几何体的三视图，分析即可得答案．

【解析】根据几何体的三视图均为圆，可得该几何体为球体．故选B

3．某个由四棱柱和三棱柱组成的组合体的三视图如图所示，则该组合体的表面积为

A．  B．

C．  D．

【试题来源】河南省2021届高三仿真模拟考试（三）（理）

【答案】A

【解析】该组合体的直观图如图所示，其中下底面是边长为的正方形，

所以该组合体的表面积．故选A．

4．将直角三角形､矩形､直角梯形如图一放置，它们围绕固定直线L旋转一周形成几何体，其三视图如图二，则这个几何体的体积是

附：柱体的体积公式为底面面积，为柱体的高)锥体的体积公式为底面面积，为锥体的高)台体的体积公式为台体的上､下底面面积，为台体的高

A．  B．

C．  D．

【试题来源】四川省遂宁市2021届高三三三模（理）

【答案】C

【解析】根据几何体的三视图转换为几何体为该几何体为由圆锥，圆柱和圆台构成的组合体；

如图所示：所以．故选．

5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A．  B．

C．  D．

【试题来源】（全国1卷）2021届高三5月卫冕联考（理）

【答案】C

【分析】由三视图画出几何体的直观图，然后结合已知的数据求解即可

【解析】由三视图可知该几何体为如图所示的四棱锥，所以该几何体的表面积为．故选C．

6．若空间某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是

A．  B．

C．  D．

【试题来源】全国Ⅰ卷2021届高三5月份高考数学（理）巩固试题

【答案】C

【分析】根据三视图，可在长方体中利用构造法还原几何体，利用长方体的对角线计算外接球的直径，进而计算表面积．

【解析】据三视图分析知，该几何体是由长方体截得如下图所示几何体，

长方体的对角线为，即为外接球的直径，

故外接球的半径为，外接球的表面积．故选C．

7．古代名著中的《营造法式》集中了当时的建筑设计与施工经验，对后世影响深远，如图为《营造法式》中的殿堂大木制作示意图，其中某处木件嵌入处部分的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A．  B．

C．  D．

【试题来源】四川省仁寿第一中学校南校区2021届高三仿真高考（文）（二）

【答案】D

【分析】由三视图可得该木件嵌入处部分是高为，底面为边长和的矩形的四棱锥，即可求得表面积．

【解析】由三视图可知，该木件嵌入处部分是高为，底面为边长和的矩形的四棱锥，侧面为边长为2的等边三角形，并且侧面底面，如图所示：易知，

所以表面积．故选D．

8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为

A．  B．

C．  D．

【试题来源】全国卷地区“超级全能生”（丙卷）2021届高三5月联考（理）

【答案】C

【分析】由三视图还原原几何体如图，是半径为2的半球内部挖去一个圆锥，圆锥的底面与半球的大圆面重合，圆锥的高为半球的半径，从而可求出几何体的体积

【解析】由三视图还原原几何体如图，

该几何体是半径为2的半球内部挖去一个圆锥，圆锥的底面与半球的大圆面重合，

圆锥的高为半球的半径．则该几何体的体积．故选C．

9．如图所示的是某多面体的三视图，其中A和B分别对应该多面体的两个顶点，则这两个顶点的距离为

A．  B．2

C．  D．

【试题来源】陕西省名校2021届高三下学期5月检测（文）

【答案】D

【分析】由三视图还原成直观图，根据所给数据，利用图象即可得解．

【解析】根据题意可得如图所示直观图，为一组合体，底面为直角梯形，侧棱垂直底面，

所以，由高，所以两个顶点的距离为，故选D．

10．香水是香料溶于乙醇中的制品，早在公元前1500年，埃及艳后克娄巴特拉七世就已经开始用15种不同气味的香水洗澡了．近年来，香水已经逐渐成为众多女士的日常用品．已知“香奈儿”的一款饱受热评的男士香水的包装瓶如图（1）所示，其三视图如图（2）所示，其中图（2）中方格小正方形的边长为1，则该香水瓶的体积为

A．  B．

C．  D．

【试题来源】全国Ⅱ卷2021届高三高考数学（理）冲刺预测试题

【答案】D

【分析】根据三视图可得包装瓶由棱柱和圆柱组合而成，利用体积公式可求其体积．

【解析】由三视图可得包装瓶的直观图如图所示：

故其体积为，故选D．

11．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是

A．  B．

C．  D．

【试题来源】浙江省杭州市桐庐中学2020-2021学年高三上学期暑期阶段性测试试题

【答案】C

【分析】由三视图知该几何体是直四棱柱和圆柱的组合体，分别计算体积相加即为组合体的体积．

【解析】根据三视图知，该几何体由一个直四棱柱和一个圆柱组成的组合体．如图所示：

计算该组合体的体积为．故选C．

12．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．  B．

C．8  D．16

【试题来源】浙江省杭州市高级中学2021届高三下学期高考仿真模拟

【答案】B

【分析】根据三视图知该几何体是三棱锥且一个侧面与底面垂直，再根据椎体的体积公式，即可求出该几何体的体积．

【解析】由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其高为，底面三角形的高为，

该几何体的体积为．故选B

【名师点睛】由三视图还原几何体，要弄清楚几何体的特征，把三视图中的数据、图形特点准确地转化为对应几何体中的线段长度、图形特点，再进行计算．

13．某四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是边长为2的正方形，正视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为

A．  B．8

C．  D．4

【试题来源】四川省眉山市仁寿一中南校区2021届高三二模（文）

【答案】A

【分析】先根据三视图还原成实物图，再求体积．

【解析】由三视图还原原几何体如图，该几何体是四棱锥，底面为正方形，边长为2，

侧棱底面，，则该四棱锥的体积．故选A．

【名师点睛】（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．

14．在《九章算术》中有称为“羡除”的五面体体积的求法．现有一个类似于“羡除”的有三条棱互相平行的五面体，其三视图如图所示，则该五面体的体积为

A．  B．

C．  D．

【试题来源】福建省泉州市永春一中2019届高三高考数学（理）前适应性试题

【答案】C

【解析】根据三视图还原原几何体的直观图如下图所示：

其中，底面为直角三角形，且，，，

侧棱、、与底面垂直，且，，

过点分别作、分别交、于点、，

则三棱柱为直棱柱，四棱锥的底面为矩形，高为，

所以，．故选C．

【名师点睛】求空间几何体体积的方法如下：

（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；

（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．

15．已知某几何体的三视图如图所示，点A，B在正视图中的位置如图所示(A，B分别为正视图中等腰梯形的两个顶点)，则在此几何体的侧面上，从A到B的最短距离为

A．  B．

C．  D．

【试题来源】全国Ⅱ卷普通高等学校招生全国统一考试2021届高三（理）（黑卷）

【答案】A

【分析】作出三视图的直观图，并展开，根据三视图中的数据求得展开图中的边长，半径，圆心角等，从而求得AB的长．

【解析】由三视图可知该几何体为下底面半径，上底面半径，高为的圆台，故其母线长为，其侧面展开图为以上、下底面周长为弧长，圆台母线长为半径的扇环，如图所示，将圆台补形为圆锥，由相似三角形知，，即，解得，

即圆锥的母线为3，记扇形的圆心角为，则，即，解得

由三视图可知，点B为展开图中圆弧的中点，在中，

，，，则，故故选A

16．已知一个几何体的三视图如图，则其外接球的体积为

A．  B．

C．  D．

【试题来源】全国2021届高三高考数学（文）信息试题（一）

【答案】C

【分析】根据三视图还原原几何体，将几何体补成长方体，计算出几何体的外接球直径，结合球体体积公式即可得解．

【解析】根据三视图还原原几何体，如下图所示：

由图可知，该几何体为三棱锥，且平面，

将三棱锥补成长方体，

所以，三棱锥的外接球直径为，故，

因此，该几何体的外接球的体积为．故选C．

17．如图是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的表面积为

A． B．

C． D．

【试题来源】全国Ⅰ卷2021届高三高考数学（文）押题试题（二）

【答案】C

【分析】由三视图可是该几何体为四棱锥，求出每个面的面积再相加即可

【解析】由三视图可知，该空间几何体是一个四棱锥（如下图），且平面平面ABCD， ，ABCD为矩形，且，

所以该几何体的表面积为故选C

18．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是

A．  B．

C．  D．

【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（五）（文）

【答案】D

【解析】该三视图对应的直观图是三棱柱，如图所示，所以，

侧面积，又底面积，所以表面积，故选D．

19．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个四面体的三视图，则该四面体四个面中，最大面的面积为

A．2  B．

C．3  D．4

【试题来源】江西省景德镇一中2022届高三7月月考（理）

【答案】C

【分析】由三视图可知，四面体可以嵌入到棱长为2的正方体中，其中，分别是对应棱的中点，如图所示．  分别计算出四个面的面积，进而可得结果．

【解析】由三视图可知，四面体可以嵌入到棱长为2的正方体中，其中，分别是对应棱的中点，如图所示．的面积为，的面积为，的面积为，

对于，，，，

由余弦定理得，则，

所以，的面积为．

故该四面体四个面中，最大面的面积为3．故选C．

20．刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”．意思是把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的棱剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2：1，这一结论今称刘徽原理．如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为

A．4π  B．3π

C．  D．

【试题来源】陕西省渭南市富平县2021届高三下学期二模（理）

【答案】D

【分析】先依题意利用三视图求得四棱锥所在的长方体的外接球的直径，计算即可．

【解析】根据几何体的三视图知，该“阳马”是底面对角线长为的正方形，一条长为的侧棱与底面垂直的四棱锥，将该四棱锥补成长方体，长方体的外接球与四棱锥的外接球相同，球直径等于长方体的对角线长，即，球体积为，故选D

二、填空题

21．某正三棱锥正视图如图所示，则侧视图的面积为___________．

【试题来源】四川省广元市2021届高三三模（理）

【答案】

【解析】如图，根据正三棱锥正视图可绘出原图，正三棱锥高为，底面边长为，

结合原图易知，即正三棱锥的侧视图，为底面三角形的高，

则侧视图的面积，故答案为．

22．如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为___________．

【试题来源】2021年浙江省高考最后一卷数学（第六模拟）

【答案】

【分析】根据三视图判断几何体的形状，再结合几何体体积公式计算即可．

【解析】由三视图易知该几何体是一个棱长为4的正方体左、右两侧分别放置一个底面半径为2，

母线长为2的圆柱，则此几何体的体积．故答案为

23．如图为某一圆柱的三视图，则该圆柱的侧面积为___________．

【试题来源】上海市建平中学2021届高三三模

【答案】

【分析】根据三视图得到圆柱的底面半径和高，代入圆柱的侧面积公式求解．

【解析】由三视图知圆柱的底面半径为0．3米，高为0．6米，

所以该圆柱的侧面积为．故答案为．

24．沈阳方圆大厦是“世界上最具创意性和革命性的完美建筑”的美誉建筑，大厦立面以颇具传统文化意味的“古钱币”为外形，借此预示着入驻大厦的业主财源广进，事业发达，也有人认为这是象征中国传统文化的天圆地方，若将“内方”视为空心，其正视图和侧视图如图所示，则其表面积为___________．

【试题来源】山西省大同市浑源县第七中学2021届高三下学期第六次模拟（文）

【答案】

【分析】根据几何体的正视图和侧视图，可得该几何体是圆柱体挖去一个直四棱柱而构成，则所以其表面积为圆柱的表面积加上“内方”的侧面积，减去上下两个正方形面积，从而可得答案．

【解析】根据几何体的正视图和侧视图，可得该几何体是底面直径为100，高为40的圆柱体，挖去一个底面是正方形、高为40的直四棱柱而构成．

所以其表面积为圆柱的表面积加上“内方”的侧面积，减去上下两个正方形面积．

＝

，故答案为．

25．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为．直径为4的球的体积为，则___________．

【试题来源】上海市交通大学附属中学2021届高三最后模拟

【答案】

【分析】根据三视图可得原几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥，即可求得体积，得出所求．

【解析】根据三视图可得原几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥，如图所示，

则，又，则．故答案为．

26．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最短棱长为___________．

【试题来源】河南省商丘市2020-2021学年高三下学期春季诊断性考试（理）

【答案】

【分析】根据三视图还原几何体，然后计算即可．

【解析】由图可知该三棱锥的最短棱为底面三角形的直角边即，棱长最短为．故答案为．

27．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为___________．

【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（六）（文）

【答案】

【解析】该几何体为如图所示的三棱锥，所以体积为．

28．某几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的表面积(单位：)为___________．

【试题来源】上海市黄浦区2021届高三三模

【答案】

【分析】根据俯视图发现几何体底面为直角三角形，有一条棱与底面垂直，那么四个面都是直角三角形，画出几何体的直观图，求四个直角三角形面积之和即为表面积．

【解析】该几何体的直观图如图所示，表面积为.

【名师点睛】由三视图要准确得出几何体的直观图，画出直观图后需检验该几何体的三视图是否和题目中一致，然后再进行计算，需要对几何体有一定的空间想象能力．

29．如图所示，长度为1的正方形网格图中，粗线画出的是某棱锥的三视图，则关于该棱锥说法正确的有___________(填序号)．

①该棱锥是四棱锥；

②该棱锥最大的侧面积为3；

③该棱锥的体积为；

④该棱锥的最长棱棱长为．

【试题来源】江西省宜春市上高二中2021届高三热身考（文）

【答案】①②③

【分析】根据三视图知几何体为四棱锥，将四棱锥放在棱长为2的正方体中，结合图形判断命题即可．

【解析】由三视图知该几何体是四棱锥，放入棱长为2的正方体中，如图所示四棱锥．

①：该棱锥是四棱锥，故①正确；

②：该棱锥最大的侧面积为，且，

所以，所以，故②正确；

③：该棱锥的体积为，故③正确；

④：该棱锥的最长棱棱长为，故④错误．故答案为①②③

30．一个空间几何体的主视图，侧视图是周长为8，一个内角为的菱形，俯视图是圆及其圆心（如图），那么这个几何体的表面积为___________．

【试题来源】四川省绵阳南山中学2021届高三高考适应性考试（二）（理）

【答案】

【分析】由三视图还原几何体，该几何体由两个有公共底面且全等的圆锥构成，圆锥的底面直径为2，母线长度为2，可得答案．

【解析】由三视图可知，该几何体由两个有公共底面且全等的圆锥构成，

由主视图，侧视图是周长为8，一个内角为的菱形可得，这两个圆锥的底面半径为2，母线长为2，

所以每个圆锥的底面圆的周长为，每个圆锥的侧面积为 ，

所以该几何体的表面积为 ，故答案为