备战2022年高考数学（理）母题题源解密（全国甲卷）专题18 数列（解答题）（解析版）

这是一份备战2022年高考数学（理）母题题源解密（全国甲卷）专题18 数列（解答题）（解析版），共30页。试卷主要包含了常见的裂项公式，已知数列满足，在数列中，，等内容，欢迎下载使用。

专题18 数 列（解答题）

1．已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【试题来源】2021年全国高考甲卷（理）
【答案】答案见解析
【分析】选①②作条件证明③时，可设出，结合的关系求出，利用是等差数列可证；
选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出，结合等差数列定义可证；
选②③作条件证明①时，设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列．
【解析】选①②作条件证明③：设，则，
当时，；
当时，；
因为也是等差数列，所以，解得；
所以，所以．
选①③作条件证明②：因为，是等差数列，
所以公差，所以，即，
因为，所以是等差数列．
选②③作条件证明①：设，则，
当时，；
当时，；
因为，所以，解得或；
当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；
当时，，不合题意，舍去．
综上可知为等差数列．
【名师点睛】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，等差数列的证明通常采用定义法或者等差中项法．

1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】
设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
【解析】（1）设的公比为，由题设得 即.
所以 解得（舍去），.
故的公比为.
（2）设为的前n项和.由（1）及题设可得，.所以
，
.
可得
所以.
2．【2020年高考全国III卷理数】设数列{an}满足a1=3，．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
【解析】（1） 猜想 由已知可得
，
，
……
.
因为，所以
（2）由（1）得，所以
. ①
从而.②
得，
所以
3．【2019年高考全国II卷理数】已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，.
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
【答案】（1）见解析；（2），.
【解析】（1）由题设得，即．
又因为a1+b1=l，所以是首项为1，公比为的等比数列．
由题设得，即．
又因为a1–b1=l，所以是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由（1）知，，．
所以，．
【名师点睛】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题.

1．结构不良型试题是2021年高考出现的新题型：题目所给的三个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且，在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分．
2．给出与的递推关系，求an，常用思路是一是利用转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an．
3．求数列的前项和常见思路：
（1）对于等差和等比数列，直接结合求和公式求解；
（2）等差数列等比数列时，常采取分组求和法；
（3）等差数列等比数列时，常采取错位相减法；
（4）裂项相消法．用裂项相消法解题的关键步骤，①判断结构，即根据通项的结构，看它是否可以裂项，能裂项就写出通项裂项后的表达式；②写出和式，即按通项裂项后的表达式写出和式，看哪些项能相互抵消；③化简整理，即计算并整理和式，得到和式的最简结果．
4．常见的裂项公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．

1．设为数列的前项和，已知，．
（1）证明：为等比数列；
（2）求的通项公式，并判断是否成等差数列？
【试题来源】2021年高考考前20天终极冲刺攻略（二）（课标全国卷）
【答案】（1）证明见解析；（2），，，成等差数列．
【分析】（1）由已知条件和递推关系先求得，进而得到，然后根据确定了的递推关系，利用等比数列的定义证明是等比数列；（2）由（1）的结论，利用等比数列的通项公式求得数列的通项公式，进而得到，然后利用分组求和和等比数列的求和公式求得的表达式，然后利用等差数列的定义证明，，成等差数列．
【解析】（1）证明：因为，，所以，所以，
所以，，所以是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）由（1）知，，所以，所以，
所以，所以，
即，，成等差数列．
2．已知等差数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若___________，求数列的前项和．
在①，②，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解．
【试题来源】重庆市第一中学校2021届高三下学期第三次月考
【答案】答案见解析．
【分析】（1）由题意可得，，解方程组可求出，从而可求出数列的通项公式；（2）若选条件①，则可得，然后分为奇数和为偶数两种情况求解；若选条件②，可得，然后代入可求得答案；若选条件③，则，则，
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由题意，，
解得，，所以；
（2）选条件①：因为，，
所以
当n为偶数时，；
当n为奇数时，为偶数，．
所以．
选条件②：因为
所以．
选条件③：因为，，
所以．
3．设Sn为等差数列{an}的前n项和．已知a3＝5，S7＝49．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．
【试题来源】黑龙江省哈尔滨六中2021届高三三模（文）
【答案】（1）an＝2n﹣1；（2）．
【分析】（1）利用已知条件建立等量关系式求出数列的通项公式．
（2）利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和．
【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d，首项为a1
由题意可得，解得，
所以{an}的通项公式为an＝2n﹣1．
（2）由（1）得，
从而．
4．已知是递减的等比数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【试题来源】河北省唐山市第十一中学2021届高三下学期3月调研
【答案】（1），；（2），．
【分析】（1）由递减的等比数列，及已知得且，写出的通项公式；
（2）由（1）得，利用分组、错位相减法求．
【解析】（1）若递减的等比数列公比为，则，
所以且，故，可得．所以，．
（2）由（1）：，所以，
若，则，
所以，可得，
所以
5．已知数列满足：
（1）问数列是否为等差数列或等比数列？说明理由．
（2）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式．
【试题来源】湖南省长沙市雅礼中学2021-2022学年高三上学期入学考试
【答案】（1）数列不是等差数列也不是等比数列，理由见解析；
（2）证明见解析，．
【分析】（1）根据递推公式求出数列前4项，结合等差数列和等比数列的定义进行求解判断即可；
（2）根据递推公式，结合等比数列的定义进行求解即可．
【解析】（1），，
，．
因为，，，所以数列不是等差数列．
因为，，，所以数列也不是等比数列．．
（2）因为对任意正整数，，，，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
从而对，，．
所以数列的通项公式是．
6．在①，的等差中项是3，②的等比中项是，③．这三个条件中任选择两个，补充在下面问题中并解答．如果选多种方案解答，按第一种方案计分．
已知正项等比数列满足___________，___________．
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项积为，求数列的前n项和．
【试题来源】2022届高三数学一轮复习
【答案】条件选择见解析；（1）；（2）．
【分析】（1）根据题意可知，三种组合条件都可以，只需列方程组，求出与，即可得到数列的通项公式；（2）现根据题意，求出数列的前n项积为，再根据裂项相消即可得到数列的前n项和．
【解析】（1）记数列的公比为．
选①②，则，解得，
所以数列的通项公式为．
选①③，则，解得，
所以数列的通项公式为．
选②③，则，解得，
所以数列的通项公式为．
（2）由题意得，
所以，
．
7．在数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【试题来源】安徽省合肥六中2021届高三6月份高考数学（文）模拟试题
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用递推关系得到是以2为公差，为首项的等差数列，再代入通项公式，即可得到答案；（2）利用错位相减法求和，即可得到答案；
【解析】（1），，
是以2为公差，为首项的等差数列，
，．
（2）由（1）知，
两边乘以3得，
两式相减得

，

8．从①，②，③中任选一个填入下面的空中，并解答．
设等比数列的公比，且____．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【试题来源】2022届高三数学一轮复习精讲精练
【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析．
【分析】（1）根据可得关于 的方程 ，两个方程解出两个未知数；
（2）若选①②，结合表达式的特点，可用错位相减法求和，若选③，
，可用分组求和法解题．
【解析】（1）设的公比为，因为，故，
即，解得或舍去，所以
（2）设的前项和为，
若选①，，两式相减得
所以
若选②，
两式相减得，所以．
若选③
当为偶数时，当为奇数时，，
所以
9．在等比数列{an}中，公比，其前n项和为Sn，且S2=6，___________．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，且数列{cn}满足c1=1，cn+1﹣cn=bn+1bn，求数列{cn}的通项公式．
从①．S4=30，②．S6﹣S4=96，③．a3是S3与2的等差中项，这三个条件中任选一个，补充到上面问题中的横线上，并作答．
【试题来源】2022届高三数学一轮复习精讲精练
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）选条件①时，利用等比数列的定义和性质的应用求出数列的通项公式；选条件②时，利用等比数列的定义和性质的应用求出数列的通项公式；选条件③时，利用等差中项的应用求出数列的通项公式．
（2）由（1），得， 则，利用累加法结合裂项相消法，可求出数列{cn}的通项公式．
【解析】（1）若选条件①时， 由S2=6及S4=30，
得a1+a2=6，a1+a2+a3+a4=30，两式相减，得a3+a4=24，
即q2(a1+a2)=24，所以q2=4，由，解得，
代入a1+a2=6，得a1+2a1=6，解得a1=2，
所以数列{an}的通项公式为．
若选条件②时，S6﹣S4=96．
因为S6﹣S4=a5+a6=96，a1+a2=6，所以，a1+a1q=6，
两式相除，得q4=16，结合q>0，得q=2，
所以a1+2a1=6，解得a1=2，所以数列{an}的通项公式为．
若选条件③时，a3是S3与2的等差中项．
由a3是S3与2的等差中项，得2a3=S3+2，
则2a3=a1+a2+a3+2，由a1+a2=6，得a3=8，
由通项公式，得a1+a1q=6，，
消去a1，得3q2﹣4q﹣4=0，结合q>0，解得q=2，
代入a1+a1q=6，得a1=2，所以数列{an}的通项公式为．
（2）由（1），得，
，
所以当时，cn=c1+(c2﹣c1)+(c3﹣c2)+(c4﹣c3)+ +(cn﹣cn﹣1)
．
又c1=1也适合上式，故数列{cn}的通项公式是．
10．已知数列满足，数列的前项和为，若______，在以下三个条件中任选一个条件填入横线上，完成问题（1）和（2）：
①；
②数列满足：，，且的前项和为；
③．
问题：
（1）求数列的通项公式；
（2）数列是首项和公比均为2的等比数列，求数列中有多少个小于2021的项．
【试题来源】重庆市巴蜀中学2021届高三适应性（九）
【答案】选择见解析；（1）；（2）9个．
【分析】（1）选①：根据递推公式得到，即可求出结果，注意检验时是否符合；
选②：利用累加法求出，进而可以求出结果；
选③：根据前项和与的关系，证得数列为等差数列，进而可求出结果；
（2）根据等差数列和等比数列的通项公式，求出，结合单调性解不等式即可求出结果．
【解析】（1）选①：当，，当，，
作差有，则，
又，符合，所以．
选②：，
又，所以，所以．
选③：当，，，，
作差：，
所以，，有，
故数列为等差数列，，，所以．
（2），，易知为单调递增数列，
又，，
所以，，，所以有9项符合．
11．在①，且；②成等差数列，且；③（为常数）这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：已知数列的前项和为，________，其中．
（1）求的通项公式；
（2）记，数列的前项和为，求证：．
【试题来源】福建省莆田市2021届高三高中毕业班3月第二次教学质量检测
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）若选条件①：把已知条件变形为，从而得到，即得到数列是首项为，公比为的等比数列；
若选条件②：由已知条件得到，再根据与的关系式得到，从而得到数列是首项为，公比为的等比数列；
若选条件③：根据与的关系式得到，从而得到数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）由（1）得到，从而根据错位相减求和法求．
【解析】（1）若选条件①：由，得，
即，所以，
因为，所以，即，
又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以；
若选条件②：因为成等差数列，所以，
即，所以，
又，，所以，即，所以，所以，
又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以；
若选条件③：因为，所以时，，
两式相减并整理，得，即，
又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以．
（2）由（1）知所以，所以，
所以，所以，
两式相减，得，
整理，得，所以．
又，
所以，故在上单调递增，所以，所以．
12．已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．
若______，求数列的前n项和．
【试题来源】重庆市第八中学2021届高三下学期高考适应性考试（三）
【答案】（1）；（2）答案见解析．
【分析】（1）直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；
（2）选条件①时，利用裂项相消法求出数列的和；选条件②时，利用错位相减法求出数列的和；选条件③时，利用分组求和法求出数列的和．
【解析】（1）对于，
当n =1时，有；当，有，
①-②得，所以．经检验：对n =1都成立．
所以数列的通项公式为．
（2）选条件①：

所以数列的前n项和：
．
选条件②：
则．所以数列的前n项和：

④乘以2，得
④-⑤得

所以．
选条件③：
，
所以，当n为偶数时，；
当n为奇数时， ，
故 ．
13．已知数列满足，，数列满足，．
（1）证明数列为等比数列并求数列的通项公式；
（2）数列满足，设数列的前项和，证明：．
【试题来源】2022届高三数学一轮复习
【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析．
【分析】（1）要证明数列为等比数列，只要证明等于一定值即可，由代入化简即可得证，然后跟等比数列的通项求出答案即可；（2）求出数列的通项，利用将裂项成，即可求得数列的前项和，从而证明结论．
【解析】（1）证明：当时，，
又，数列是首项为2，公比为2的等比数列，
，；
（2）证明：，，
当时，当时，
，
当时符合，，
，
．
又，．
14．在①，，成等比数列且，②，③，，，这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答本题．
问题：已知等差数列的公差为，前项和为，且满足 _______．
（1）求；
（2）若的前项和为，证明：．
【试题来源】2022届高三数学一轮复习精讲精练
【答案】（1）选①②③都有；（2）证明见解析．
【分析】（1）选①，用表示两已知条件，求得，可得通项公式；选②，时求得，然后由求得数列的递推式，得出公差，可得通项公式；选③，由等差数列的性质：数列也是等差数列，求得，从而易得，得通项公式；（2）用放缩法，结合裂项相消法求得放缩后的和，证明不等式成立．
【解析】（1）若选择条件①：
由，得；即①，
又，，成等比数列，得，
即②，由①②解得，．所以．
若选择条件②：由，得，
两式相减并整理得，
由于，所以，所以，即，
令，得，解得，所以．
若选择条件③：
由等差数列的前项和为，得，
又数列是等差数列，得数列也是等差数列，
所以，即，解得，故；
，解得，所以．
（2）证明：由，可得，
所以，
所以．
15．从①，，②，，③这三个条件中任选一个，补充在下面题目条件中，并解答．
已知数列的前项和为，，且 ____．
（1）求；
（2）已知是，的等比中项，求数列的前项和．
【试题来源】2022届高三数学一轮复习精讲精练
【答案】（1）选①②③都有；（2）．
【分析】（1）选①，已知式中转化为后可得数列是等差数列，且得公差，求得后得通项公式；选②，已知式中转化为后得，也得到数列是等差数列，求出公差后得通项公式；选③，得数列是以2为首项，为公差的等差数列，求出后，再由和与项关系求得；
（2）由（1）求得，可用裂项相消法求得和．
【解析】（1）选条件①时，，，
整理得，故（常数），
所以数列是以2为首项，3为公差的等差数列．
故（首项符合通项），故．
选条件②时，，，
整理得，故，
故数列是等差数列，公差，
故（首项符合通项），
选条件③时，
所以数列是以2为首项，为公差的等差数列，所以，
则时，．
又，所以．
（2）由（1）得，由于是，的等比中项，
所以，则，
故：．
16．在①；②；③（）三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．
已知数列中，，__________．
（1）求；
（2）若数列的前项和为，证明：．
【试题来源】重庆市杨家坪中学2021届高三下学期第二次月考
【答案】选①②③（1）；（2）答案见解析．
【分析】选①：（1）利用累加法以及等差数列前项和公式即可求解；选②：将
整理后即可得
是等差数列，求其通项公式可得；选③：根据已知化简为，
可得是等差数列，求其通项公式可得；（2）利用裂项求和求出，再利用不等式放缩和单调性即可求证．
【解析】（1）选①：由（）可得
当时，



当时，，符合，
所以当时，；
选②：由，可得，
即，
又，所以是首项为2，公差为2的等差数列，
所以，所以；
选③：由可得，即，
又，所以是首项为4，公差为4的等差数列，
所以，所以；
（2）证明：由（1）得，
所以，
因为，所以，
因为随着的增大而增大，所以，
综上．
17．已知数列，，．，数列的前项和为，（）．
（1）求的值和的通项公式；
（2）令，求．
【试题来源】山东省新高考质量测评联盟2021届高三4月联考
【答案】（1）；；（2）．
【分析】（1）根据前项和与的关系即可求出数列的通项公式；
（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消即可求出结果．
【解析】（1）数列，，．，数列的前项和为，
①．
当时，整理得，解得．
当时，②，
①-②得，
由于．，所以，整理得（常数），
由于，数列是以2为首项，2为公差的等差数列，
故，所以．
（2）由（1）得，
所以，
故．
18．设等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求满足不等式的正整数的集合．
【试题来源】江苏省南京市第二十九中学2021-2022学年高三上学期8月第二次学情调研
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）设公差为，由等差数列前项和公式和通项公式列式求得后可得通项公式；
（2）由（1）求得，由等比数列前项和公式求得数列和前项后解不等式可得结论．
【解析】（1）设等差数列的公差为，
则由，得，解得，所以；
（2）由（1），，
，，
不等式为
，，，，
又，所以或2．满足题意的集合为．
19．已知数列满足．
（1）证明为等差数列，并求数列的通项；
（2）设，求数列的前项和．
【试题来源】湖南师大附中2020-2021学年高三上学期月考（一）
【答案】（1）证明见解析，；（2）．
【分析】（1）由得是公差为2的等差数列，再由可得答案．
（2）得 ，再利用分组转化为等差和等比数列求和可得答案．
【解析】（1）由，得，
故是公差为2的等差数列，故，由，得，
故，于是．
（2）依题意，，
故


．
20．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
已知是公差不为的等差数列，其前项和为，___________且､､成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列是各项均为正数的等比数列，且，，求数列的前项和．
【试题来源】江苏省泰州市姜堰第二中学2020-2021学年高三上学期学情检测二
【答案】（1）若选①，，若选②，，若选③，；（2）若选①，
，若选②， ，若选③， ．
【分析】（1）根据，，成等比数列，用等差数列的基本量进行运算，可得首项和公差的关系，结合条件即可得到答案；（2）由（1）解出的通项公式，进而根据分组求和即可得到答案．
【解析】（1）设数列的公差为．因为，，成等比数列，则，
故，化简得．因为，所以，所以．
若选①，则，即，则；
若选②，则，即，则；
若选③，则，即，则；
（2）因为数列是各项均为正数的等比数列，且，，
设数列的公比为，则．
若选①，则，故，，
所以，由，得．又，则，所以，
所以．
若选②，则，故，，
所以，由，得．又，则，所以，
所以．
若选③，则，故，，
所以，由，得．又，则，所以，
则．
21．设数列的前项和为，已知（且），是数列的前项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）求满足条件的正整数的最大值．
【试题来源】湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高三上学期月考（一）
【答案】（1）；（2）2021．
【分析】（1）由数列的前项和与项满足，，利用和的关系，经分类讨论可得数列是等比数列，进而求数列的通项公式．
（2）由（1）可得，则，即可得到，再解不等式即可；
【解析】（1）因为，当时，，解得，
当时，，所以，即，
因为，故，
所以，则是以2为首项，4为公比的等比数列，
故．
（2）由（1）得，
所以．
即


，
所以正整数的最大值为2021．
22．已知等差数列的公差为2，其前n项和，．
（1）求实数p的值及数列的通项公式；
（2）在等比数列中，，，若的前n项和为，求证：数列为等比数列．
【试题来源】江苏省2021年对口高考单招一模
【答案】（1）1，；（2）证明见解析．
【分析】（1）先写出等差数列的前n项和公式，对照系数，求出p的值和，即可得到通项公式；
（2）先求出的前n项和，即可得到，利用等比数列的定义即可证明．
【解析】（1）
又，，所以，，即，
所以．
（2）因为，，所以，
所以，所以
所以，所以，
又，所以
所以数列是以为首项，3为公比的等比数列．
23．在数列中，已知，（）．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）记，数列的前项和为，求使得的整数的最小值；
（3）是否存在正整数、、，且，使得、、成等差数列？若存在，求出、、的值；若不存在，请说明理由．
【试题来源】重庆一中2021届高三高考数学押题卷试题（一）
【答案】（1）证明见解析；（2）10；（3）不存在，证明见解析．
【分析】（1）证明数列为等比数列，即转化变形方向为与的关系．首先分离与，然后两边同取倒数，再同减去1，即可得证；（2）先由（1）结论求出，再化简，根据分式形式，裂项求和得，求解不等式，估值可得整数的最小值；（3）假设存在正整数、、，使得、、成等差数列，得到、、的等量关系，根据整数性质，等式左偶右奇不可能成立．
【解析】（1）证明：由，得，从而，
，又，故数列为等比数列；
（2）解：由（1）得，，故，
所以，
，
令，则，
解得，，．
故使得的整数的最小值为10；
（3）解：假设存在正整数、、满足题意，则，
即，即
两边同除以得， (*)
由得，，；
所以为奇数，而、均为偶数，
故(*)式不能成立；即不存在正整数、、，且，使得、、成等差数列．
【名师点睛】数列常见裂项形式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
24．在数列中，，且成等比数列．
（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）设数列满足，其前项和为，证明：．
【试题来源】山东省临沂市沂水县第一中学2021届高三高考二轮模拟检测
【答案】（1）证明见解析；；（2）证明见解析．
【分析】（1）利用已知条件推出数列是等差数列，其公差为，首项为1，求出通项公式，结合由，，成等比数列，转化求解即可．（2）化简通项公式，利用裂项消项法，求解数列的和即可．
【解析】证明：（1）由，得，即，
所以数列是等差数列，其公差为，首项为1，
因此，，，
由成等比数列，得，即，
解得或（舍去），故．
（2）因为，
所以
因为，所以．
【名师点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①；②；③；④；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误．
25．已知，分别为数列，的前项和，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若对任意正整数，都有成立，求满足等式的所有正整数．
【试题来源】安徽省淮北市2020届高三二模（理）
【答案】（1），；（2）等式的所有正整数的取值为1和3．
【分析】（1）根据，当时，求出，当，由，求出的递推关系，即可求出数列的通项公式；
（2）由（1）得，令，可得，再求出，得出的通项，进而求出，令，研究的单调性，求出的解即可．
【解析】（1）由，
当时，，两式相减得，
即，（），又，得
即也满足上式，故是以1为首项，3为公比的等比数列
得，；
（2）由（1）得对任意正整数成立，
设
又
所以．．
又即，得，，
所以，由，得，即
记，则，，，
以下证明时．
因
即时单调递减，
综上可得，等式的所有正整数的取值为1和3．
【名师点睛】本题考查数列的前项和与通项的关系、等比数列的定义、数列的单调性，意在考查计算求解、推理论证和综合应用能力，属于中档题．