数学必修 第四册第十章 复数10.2 复数的运算10.2.2 复数的乘法与除法学案设计

10.4 复数综合复习习题课

【学习重点】

复数的相关概念、复数的加法和减法及几何意义、复数的乘法和除法、复数的三角形式的乘法和除法及几何意义

【学习难点】

复数的三角形式、三角形式的的乘法和除法及几何意义

考点1：复数的相关概念

1．虚数单位i：(1)i2＝            (2)i和实数在一起，服从实数的运算律．

2．代数形式：a＋bi(a、b∈R)，其中a叫       ，b叫      

3．复数的分类

复数z＝a＋bi(a、b∈R)中，

z是实数⇔       ，　z是虚数⇔      

z是纯虚数⇔      

4．a＋bi与        (a、b∈R)互为共轭复数

5.复数相等的条件：a＋bi＝c＋di(a、b、c、d∈R)⇔      

特别a＋bi＝0(a、b∈R)⇔      

【典型例题】

例1. 实数m取什么数值时，复数分别是：

(1)实数？  (2)虚数？  (3)纯虚数？

例2. 欧拉公式(为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数的虚部为（   ）

A． B． C． D．

例3. 已知，则是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

例4. 已知（其中是虚数单位），则（   ）

A． B． C． D．

【变式练习】

1．若复数满足，其中i是虚数单位，则的虚部为________.

2．已知复数，复数，给出下列命题：

①；②；③复数与其共轭复数在复平面内的点关于实轴对称；④复数的虚部为0.

其中真命题的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

考点2：复数的运算法则

z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a、b、c、d∈R)．

（1）z1±z2＝                  

（2）z1·z2＝                  

（3）＝                       

【典型例题】

例5.若复数，则______.

例6.已知，i为虚数单位.

（1）若，求；

（2）若，求实数a，b的值.

【变式练习】

1．表示虚数单位，则______.

2．已知复数z满足|3+4i|+z=1+3i.

(1)求；

(2)求的值.

3. 已知复数，为虚数单位.

（1）求的值；

（2）类比数列的有关知识，求的值.

考点3：复数的几何意义

1.建立直角坐标系表示复数的平面叫做              ，x轴叫做         ，y轴叫做         . 实轴上的点都表示         ，除了原点外，虚轴上的点都表示         ．原点对应复数         ，建立复平面后，复平面内的点与复数集构成一一对应关系．以原点O为起点，复数z在复平面内的对应点Z为终点的向量，与复数z一一对应，         叫做复数z的模．

2.复数加法的几何意义：如果复数所对应的向量分别为与，则当与不共线时，以与为两条邻边作平行四边形，则所对应的向量就是         ，

3.复数减法的几何意义：如果复数所对应的向量分别为与

根据向量加法的三角形法则有：．于是：．

由平面向量的坐标运算：，即得         与复数对应．

【典型例题】

例7. 在复平面内，O是原点，对应的复数分别为－2＋i，3＋2i, 1＋5i，那么对应的复数为(　   　)

A．4＋7i B．1＋3i C．4－4i D．－1＋6i

【变式练习】

1.若复数的对应点在直线上，则（    ）

A． B． C． D．1

2．1977年是高斯诞辰200周年，为纪念这位伟大的数学家对复数发展所做出的杰出贡献，德国特别发行了一枚邮票（如图）.这枚邮票上印有4个复数，其中的两个复数的和：（    ）

A． B． C． D．

3. 已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点在(    )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

考点4：复数的三角形式及几何意义

1.复数的三角形式

z＝a+bi＝r（cos θ+isin θ）的右边称为非零复数z＝a+bi的三角形式，

其中的θ称为z的         在［0，2π）内的辐角称为z的辐角主值，记作        

2.复数三角形式的乘法法则

法则：r1（cos θ1+isin θ1）×r2（cos θ2+isin θ2）＝                          

模相乘，辐角相加.

几何意义：设对应的向量分别为，将绕原点旋转，再将的模变为原来                  的倍，如果所得向量为则对应的复数为，当时，按            方向旋转角，当时，按            方向旋转角.

3.复数三角形式的除法法则

法则：                        

模相除，辐角相减.

几何意义：设对应的向量分别为，将绕原点O旋转，再将的模变为原来的        倍，如果所得向量为则对应的复数为.当时，按            方向旋转角，当时，按       方向旋转角

【典型例题】

例8. 计算：

(1)× ；

(2)2；

(3) 2÷

例9.如图，向量对应的复数为－1＋i，把绕点O按逆时针方向旋转150°，得到1.求向量1对应的复数(用代数形式表示)

例10. 如图，若1与2分别表示复数Z1＝1＋2i，Z2＝7＋i，求∠Z2OZ1，并判断△OZ1Z2的形状．

【变式练习】

1.复数2×＝_________.

2. 设3＋4i的辐角主值为θ，则(3＋4i)·i的辐角主值是(　　)

A．＋θ B．－θ

C．θ－ D．－θ

3. 复平面内向量对应的复数为2＋i，A点对应的复数为－1，现将绕A点顺时针方向旋转90°后得到的向量为，则点C对应的复数为_________.